La spectrométrie par transformation de Fourier en détail

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1.1.3.3 Avantage de Connes sur la fonction d’appareil

La réponse instrumentale pour un spectromètre par transformation de Fourier est indépendante de la longueur d’onde (c’est un sinus cardinal dont les paramètres ne dépendent que de la différence de marche maximale). Pour un spectromètre à réseau ou à prisme, la réponse instrumentale dépend de la longueur d’onde.
Les spectromètres par transformation de Fourier ont une fonction d’instrument beaucoup plus facile à étalonner, ce qui permet une exactitude supérieure sur l’échelle des nombres d’ondes. Le nom d’avantage de Connes a été donné à cette particularité des spectromètres par transformation de Fourier.
En fait cet avantage revient à disposer (pour les interféromètres à balayage dont la différence de marche est pilotée par un laser de référence stabilisé) d’une échelle en nombre d’onde très régulière (à pas constant). Les effets liés à l’étendue finie ou à des détecteurs légèrement hors axe se traduisent simplement par l’application d’un facteur multiplicatif tel que σvrai(i) = (1 + ǫ)σobs(i).

Spectromètre par transformation de Fourier statique

A côté du concept de spectrométrie de Fourier dit à balayage ou plus précisément à balayage temporel de la différence de marche (transformation de Fourier dynamique), un autre concept instrumental a été introduit récemment : il s’agit du concept de transformation de Fourier statique dont une des mises en œuvre a été définie par le CNES.
Ce nouveau concept de spectromètre est adapté à la mesure de bandes spectrales ré- duites. Parmi les concepts de spectromètres par transformation de Fourier statique, on peut également citer celui de spectromètre par transformation de Fourier hétérodyne statique développé par le LESIA à l’Observatoire de Paris. Ce dernier utilise deux ré- seaux de diffraction optique en guise de miroirs. Des applications d’études planétaires sont visées. Ce type de spectromètre offre la possibilité d’effectuer des mesures en mode spectro-imageur (alliant mesure spectrale et imagerie) [DDS+07].

Avantages d’une configuration statique

La configuration statique du spectromètre présente comme principal avantage, pour une application spatiale, de supprimer le mécanisme de déplacement des miroirs. Un mécanisme en moins sur un instrument représente une simplification technique ainsi qu’une amélioration de la robustesse de l’instrument. La suppression d’un mécanisme s’accompagne également d’un gain d’encombrement. Sur le plan de la robustesse de l’instrument, une configuration statique n’est pas soumise au risque de panne du mécanisme. On peut citer par exemple la panne du mécanisme de déplacement du miroir du spectromètre MIPAS à bord d’ENVISAT et la réduction de résolution qui en résulte [FBB+07], [PD07]. Une grosse partie du développement de IASI pour le satellite MetOp a été dédiée au mécanisme des miroirs [SAM+04], [BCC+04].
A côté de ces avantages instrumentaux, on peut également remarquer qu’un spectromètre par transformation de Fourier statique est intrinsèquement moins sensible aux fluctuations temporelles de la scène observée. Ces fluctuations sont principalement duesau déplacement du satellite qui entraîne le changement la scène. Dans un spectromètre par transformation de Fourier statique, tous les échantillons sont acquis simultanément, et, par conséquent, on mesure le spectre de la scène moyenne. Dans le cas dynamique, chaque échantillon voit la scène telle qu’elle est à l’instant de l’acquisition du point courant de l’interférogramme. Donc, si la source varie durant l’acquisition, les différents échantillons ne sont pas enregistrés devant la même scène, et le spectre est moins facilement exploitable. Un spectromètre par transformation de Fourier reposant sur un concept statique est donc mieux adapté à être embarqué sur une plateforme mobile par rapport à l’objet de la mesure. Un moyen de s’affranchir du défilement du satellite devant la scène est d’intégrer une visée à compensation de filé, ce qui suppose une complexification de l’instrument. C’est ce qui a été fait pour le spectromètre IASI. Les points durs associés au nouveau concept de spectrométrie statique sont traités tout au long du document. La principale dificulté réside dans le fait que l’échantillonnage a été reporté dans la dimension spatiale. Celle-ci devient un paramètre primordial pour la mesure.

Présentation du concept instrumental

En 1998, le CNES a déposé un brevet de spectromètre par transformation de Fourier statique dont l’inventeur est Paul Vermande [Ver98].
Dans un spectromètre par transformation de Fourier statique, l’échantillonnage de l’interférogramme est effectué spatialement plutôt que temporellement pour un spectromètre par transformation de Fourier dynamique. La différence de marche varie donc dans la dimension spatiale et tous les échantillons de l’interférogramme sont acquis simultanément.
La mesure spatiale de l’interférogramme nécessite en sortie de l’interféromètre un système d’imagerie, qui remplace le monodétecteur d’un spectromètre par transformation de Fourier dynamique.
La figure 1.24 présente un schéma de principe du concept instrumental. On y reconnaît en partie un interféromètre de Michelson comparable à celui représenté sur la figure 1.10. Ici, la variation de la différence de marche est introduite par des miroirs à échelettes. Un miroir à échelettes est un miroir en forme d’escalier. Chaque marche fournit une différence de marche différente et donc un échantillon de l’interférogramme.
L’association des deux miroirs engendre une matrice de différences de marche, et l’interféromètre est équivalent à une multitude d’interféromètres de Michelson classiques en parallèle.
En sortie de l’interféromètre, l’image des miroirs est acquise grâce à un système d’imagerie. Les rayons tracés en rouge sur la figure 1.24 illustrent la combinaison optique.
L’image est donc une image de l’interférogramme dont l’agencement des échantillons est matriciel comme celui des différences de marche introduites par les miroirs à échelettes.
Une représentation schématique de celle-ci est donnée sur la figure 1.24. Chaque carré de couleur représente le signal pour un échantillon de l’interférogramme.
L’obtention d’un spectre à partir de l’image d’un interférogramme nécessite dans un premier temps une opération de traitement de l’image qui consiste à isoler le signal de chaque échantillon de l’interférogramme. Puis, comme pour un spectromètre par transformation de Fourier classique, on obtient le spectre mesuré en effectuant la transformation de Fourier inverse de l’interférogramme. En résumé, ce concept statique consiste à reprendre un interféromètre de Michelson, à remplacer ses miroirs plans mobiles par des miroirs à échelettes fixes, et à substituer, au monodétecteur en sortie de l’interféromètre, un détecteur matriciel sur lequel on fait l’image des miroirs.
On va maintenant décrire plus en détail, deux aspects clés pour ce concept qui sont l’échantillonnage et la contrainte sur l’étalonnage apportée par la configuration statique. Ensuite, on dressera un bilan des caratéristiques du concept instrumental.

On va voir ici comment l’échantillonnage statique de l’interférogramme répond aux contraintes d’échantillonnage que l’on a introduites au paragraphe 1.1.2.2.
Dans le concept de spectromètre par transformation de Fourier statique, c’est le critère de Shannon-Nyquist généralisé, décrit dans le paragraphe 1.1.2.2, qui est utilisé pour l’échantillonnage. La fréquence d’échantillonnage de l’interférogramme doit être supérieure au double de la largeur de la bande spectrale de mesure. La fréquence d’échantillonnage de l’interférogramme est limitée du fait de la technique de réalisation des miroirs. En effet, on ne peut pas fabriquer des miroirs avec des marches de hauteur inférieure à la dizaine de micromètres géométrique (soit une vingtaine de micromètres en différence de marche). La limite haute pour la largeur spectrale ∆σmax que l’on peut couvrir par transformation de Fourier statique est d’environ : ∆σmax = 1 2 δmin e ≈ 1 2 · 20 µm ≈ 250 cm–1 avec δmin e le pas d’échantillonnage minimal accessible. Ici, le critère de Shannon-Nyquist généralisé prend tous son sens. Les mesures ne sont pas limitées qu’à une bande spectrale de borne inférieure le nombre d’onde nul. On peut décaler la bande de mesure autour d’un nombre d’onde central quelconque.
Le spectromètre doit donc être utilisé pour des mesures dans des bandes spectrales limitées. Pour les mesures satellitales de sondage atmosphérique cela présente un intérêt pour la mesure d’un gaz cible. La mesure spectrale est alors centrée sur une bande d’absorption du gaz.
Une mesure en bande étroite nécessite un filtre passe-bande de sélection de celle-ci.
Sur la figure 1.24, le filtre de sélection est placé en avant du détecteur. Nous verrons au chapitre 2, comment on définit en pratique un échantillonnage compatible avec le critère de Shannon-Nyquist, en associant des miroirs à échelettes et un filtre optique passe-bande. Spectromètre par transformation de Fourier statique 6 

Les miroirs à échelettes

L’originalité du concept repose en tout premier lieu sur les miroirs à échelettes qui remplacent les miroirs plans usuellement employés dans un interféromètre. Il permettent d’effectuer l’échantillonnage de l’interférogramme spatialement plutôt que temporellement.
Contrairement à des miroirs classiques, ceux-ci n’ont pas une surface plane mais une surface en forme d’escalier. La possibilité de donner ce genre de forme à des composants optiques ouvre de nouvelles perspectives dont la réalisation d’un spectromètre basé sur le concept statique.
La figure 1.25 est une photographie de deux miroirs à échelettes. En arrière plan on voit nettement le profil en forme d’escalier du miroir. Le miroir au premier plan est également un miroir à échelettes mais la hauteur des marches de celui-ci est beaucoup plus petite. Le traitement réfléchissant de ces miroirs est un dépôt d’or.
La technique employée pour la conception des miroirs est l’adhérence moléculaire.
Cette technique consiste à plaquer deux composants de formes parfaitement complé- mentaires. Généralement, pour des raisons évidentes de facilité les surfaces sont planes. La bonne correspondance entre les deux surfaces à adhérer crée un vide et les deux éléments « se collent » l’un à l’autre sans colle. Pour réaliser une forme d’escalier, il faut donc adhérer une à une des lames qui forment au final les marches du miroir. Une fois la forme obtenue, il reste à déposer un traitement réfléchissant sur sa surface.
L’utilisation d’une paire de miroirs à échelettes, permet d’obtenir une matrice de différences de marche. Un miroir est formé de « grandes » marches, l’autre de « petites ».
La hauteur cumulée des petites marches est égale à la hauteur d’une grande marche.
Le miroir à grandes échelettes est le miroir en arrière plan sur la figure 1.25. Le miroir à petites échelettes est celui au premier plan. Les petites marches échantillonnent les grandes marches. Les deux miroirs sont croisés de telle sorte que les sens de variation de hauteur soient perpendiculaires. Cette configuration permet de replier dans les deux dimensions transverses l’échantillonnage des différences de marche.
Le nombre total d’échantillons Nech dans l’interférogramme est égal au produit du nombre de marches des deux miroirs : Nech = Ng × Np (1.99) Avec N
g le nombre de grandes échelettes et Np le nombre de petites échelettes. De plus, la hauteur H
g des grandes échelettes est égale à la hauteur cummulée des petites, de hauteur H p : Hg = N p × Hp (1.100)
Au final, le pas d’échantillonnage δe de l’interférogramme est égal au double de la hauteur des petites marches. On en déduit la largeur maximale de la bande spectrale (intervalle spectral libre) ∆σ :2δe 1 4 · H p Ici, les hauteurs des marches sont déterminées par la largeur de la bande spectrale à couvrir. Ces relations sont utiles pour la définition d’un spectromètre reposant sur le concept de spectrométrie par transformation de Fourier statique.

Lame modulatrice

Le spectromètre par transformation de Fourier statique étudié se distingue également par la lame dite modulatrice que l’on a été amené à développer pour nos besoins. La lame modulatrice est une lame compensatrice mobile. On va voir dans un premier temps ce qu’est une lame compensatrice et quelle est sa fonction. Ensuite, on présentera le rôle de la lame modulatrice et le concept sur lequel elle repose. Enfin, on décrira en détail l’intérêt d’un tel composant.
Lame compensatrice classique : Une lame compensatrice est classiquement implantée dans les interféromètres de Michelson. Elle a pour rôle d’égaliser l’épaisseur de verre traversée par les faisceaux dans chacun des deux bras de l’interféromètre. Si l’on envisage la figure 1.24 en faisant abstraction de la lame modulatrice, on s’aperçoit que, compte tenu de l’épaisseur non nulle de la séparatrice, les deux faisceaux ne traversent pas la même épaisseur de verre. Comme son nom l’indique la lame compensatrice compense cette différence.
La compensation de l’épaisseur de la lame séparatrice permet d’annuler le chromatisme dû à la traversée de celle-ci. Le chromatisme de la lame est la variation de l’indice optique de celle-ci en fonction de la longueur d’onde. Si l’on note n(λ) cet indice et ∆s l’épaisseur de verre traversée dans la séparatrice, la différence de marche induite par sa traversée s’écrit : δ(λ) = (n(λ) – 1) · ∆s (1.103)
La différence de marche est donc une fonction de la longueur d’onde, et l’interférogramme mesuré n’est plus rigoureusement la transformée de Fourier du spectre incident.
Pour pallier ce problème, il faut compenser cette épaisseur de verre, en introduisant dans le bras de l’interféromètre où celle-ci fait défaut une lame compensatrice. De la sorte, les variations spectrales de la différence de marche se compensent et il reste seulement la différence de marche engendrée par la différence de longueur des bras.
La lame compensatrice doit être faite avec le même matériau que la lame séparatrice et elle doit être disposée de telle sorte que les épaisseurs de verre traversées soient les mêmes dans les deux bras de l’interféromètre. Si l’on note ∆c l’épaisseur de verre traversée dans la lame compensatrice, la compensation a lieu lorsque : ∆c = ∆s (1.104)
On note is l’angle d’incidence des rayons sur la lame séparatrice, ic l’angle d’incidence des rayons sur la compensatrice, et n l’indice moyen du matériau constituant les lames. Dans un premier temps, les rayons sont réfractés. On note rs et rc les angles réfractés respectivement dans la lame séparatrice et dans la lame compensatrice. Ceux-ci satisfont aux lois de Snell-Descartes :

Où es et ec sont respectivement les épaisseurs de la lame séparatrice et de la lame compensatrice. Les épaisseurs traversées sont égales. Par conséquent : ec cos rc = es cos rs (1.109)
L’épaisseur de la compensatrice est donc : ec = es · cos arcsin sinnic cos arcsin sinnis (1.110)
L’équation 1.110 est utile pour définir les dimensions de la compensatrice. On l’a utilisée lors de l’écriture des spécifications de l’interféromètre adhéré.
Il est important de remarquer que la lame compensatrice égalise les épaisseurs de verre et non les différences de marche introduites par chacune des lames.

Table des matières

Remerciements
Introduction
1 Concept instrumental 
1.1 La spectrométrie par transformation de Fourier
1.1.1 Une des techniques de spectrométrie
1.1.1.1 Généralités concernant les spectromètres
1.1.1.2 Spectrographes à prisme et à réseau
1.1.1.3 Spectromètres de Fabry-Pérot
1.1.1.4 Spectromètres par transformation de Fourier
1.1.2 La spectrométrie par transformation de Fourier en détail
1.1.2.1 Aspect interférentiel du concept
1.1.2.2 Echantillonnage de l’interférogramme
1.1.2.3 Caractéristiques instrumentales
1.1.3 Comparaison avec les autres méthodes d’analyse spectrale
1.1.3.1 Avantage de Jacquinot sur l’étendue géométrique
1.1.3.2 Avantage de Felgett ou avantage multiplex
1.1.3.3 Avantage de Connes sur la fonction d’appareil
1.2 Spectromètre par transformation de Fourier statique
1.2.1 Avantages d’une configuration statique
1.2.2 Présentation du concept instrumental
1.2.2.1 Echantillonnage statique de l’interférogramme
1.2.2.2 Echantillonnage irrégulier de l’interférogramme
1.2.2.3 Influence de la dimension spatiale
1.2.2.4 Bilan sur les caractéristiques du concept
1.2.3 Les composants instrumentaux essentiels
1.2.3.1 Les miroirs à échelettes
1.2.3.2 Lame modulatrice
1.2.3.3 Filtre optique passe-bande
1.2.3.4 Acquisition de l’image de l’interférogramme
2 Maquette expérimentale 
2.1 Historique et évolutions
2.2 Description du banc de mesure
2.2.1 Les sources de lumière
2.2.1.1 La source naturelle : le Soleil à travers l’atmosphère
2.2.1.2 Les sources artificielles
2.2.2 Le spectromètre
2.2.2.1 Le cœur interférométrique
2.2.2.2 Le système d’imagerie des miroirs
2.3 Le cœur interférométrique monobloc
2.3.1 Dimensionnement de la partie statique
2.3.1.1 Dimensions
2.3.1.2 Matériau optique
2.3.1.3 Traitements des surfaces optiques
2.3.1.4 Interfaces mécaniques
2.3.2 La lame modulatrice
2.3.2.1 Principe de fonctionnement
2.3.2.2 Déplacement et précision de déplacement de la lame
2.3.2.3 Temps de commutation et de stabilisation de la lame
2.4 Caractérisation du spectromètre
2.4.1 Caractérisation de l’interféromètre
2.4.1.1 Matrice de différence de marche
2.4.1.2 Stabilité thermique du cœur interférométrique
2.4.2 Caractérisation de la lame modulatrice
2.4.2.1 Etalonnage de la consigne de la lame modulatrice
2.4.2.2 Temps de commutation et de stabilisation
2.4.2.3 Stabilité de la lame modulatrice
2.4.3 Caractérisation des mesures du spectromètre
2.4.3.1 Caractérisation des interférogrammes
2.4.3.2 Caractérisation des spectres
3 Méthode d’exploitation de l’instrument 
3.1 Modélisation instrumentale
3.1.1 Modélisation globale
3.1.2 Modélisation radiométrique
3.1.2.1 Niveau d’obscurité
3.1.2.2 Gains interpixels
3.1.2.3 Non-linéarité du détecteur
3.1.3 Paramètres de mesure étalonnés
3.2 Etalonnage radiométrique
3.2.1 Niveau d’obscurité
3.2.1.1 Méthode de mesure
3.2.1.2 Méthode de traitement et de correction
3.2.2 Gains interpixels de sensibilité
3.2.2.1 Méthode de mesure
3.2.2.2 Méthode de traitement, de correction
3.2.3 Non-linéarité du détecteur
3.2.3.1 Méthode de mesure
3.2.3.2 Méthode de traitement et de correction
3.3 Etalonnage des différences de marche
3.3.1 Méthode de mesure
3.3.2 Méthode de traitement
3.4 Mesures spectrales
3.4.1 Acquisition des interférogrammes
3.4.2 Procédure globale d’acquisition
3.5 Traitements faisant suite aux étalonnages
3.5.1 Correction de l’auto-apodisation de l’interférogramme
3.5.2 Correction de la lumière parasite
3.5.3 Correction en temps réel des gains interpixels
3.5.4 Traitement spécifique des mesures en modulation de phase
3.6 Passage au spectre
3.6.1 Définition de la bande spectrale de calcul des spectres
3.6.2 Calcul du spectre par transformation de Fourier rapide
3.6.3 Calcul du spectre par les matrices de passage
3.6.3.1 Passage du spectre a priori à l’interférogramme
3.6.3.2 Passage du spectre mesuré à l’interférogramme
3.6.3.3 Passage de l’interférogramme au spectre mesuré
3.6.3.4 Matrice d’apodisation de l’interférogramme
3.6.3.5 Matrice de convolution de la réponse instrumentale
3.7 Spectres mesurés
3.7.1 Etude spectrale des mesures atmosphériques
3.7.2 Etude temporelle des mesures
4 Etude du contenu en information et code d’inversion 
4.1 Mesure spectrale de la concentration en dioxyde de carbone
4.2 Modèle direct
4.2.1 Modèle atmosphérique
4.2.1.1 L’équation de transfert radiatif
4.2.1.2 Le code de transfert radiatif SWIM
4.2.2 Modèle instrumental
4.3 Modèle inverse
4.3.1 Présentation de la méthode
4.3.1.1 Présentation du problème inverse
4.3.1.2 Résolution du problème inverse
4.3.1.3 Principaux outils et grandeurs de l’inversion
4.3.2 Présentation de la procédure adaptée à la mesure
4.3.2.1 Présentation du problème à résoudre
4.3.2.2 Procédure d’inversion des mesures du spectromètre
4.3.2.3 Pré-caractérisation de la méthode d’inversion
4.4 Etude du contenu en information
4.4.1 Méthodes de calcul
4.4.2 Nombre de degrés de liberté pour le signal
4.4.3 Fonction de poids verticale
4.5 Analyse d’erreur de la procédure d’inversion
4.5.1 Méthode d’étude et de simulation
4.5.2 Inversions des spectres et des interférogrammes
4.5.3 Influence du contenu en vapeur d’eau
4.5.4 Inversion des déformations du cœur interférométrique
4.5.5 Optimisation de la configuration instrumentale
4.5.6 Inversion de la réflectance spectrale
4.5.7 Synthèse des simulations
5 Campagne de mesure 
5.1 Objectifs de la campagne de mesure
5.2 Déroulement de la campagne de mesure
5.2.1 Partie instrumentale de la campagne de mesure
5.2.2 Traitement d’inversion des interférogrammes
5.3 Variabilité à court terme du CO2 restitué
5.3.1 Inversion de la concentration en dioxyde de carbone
5.3.2 Inversion des déformations et de la réflectance
5.3.2.1 Déformations du cœur interférométrique retrouvées
5.3.2.2 Inversion de la réflectance
5.3.3 Etude des défauts de mesure
5.3.3.1 Dérive d’ordre supérieur de la différence de marche
5.3.3.2 Dérive du contraste interférométrique
5.3.3.3 Interférogrammes aberrants
5.4 Tendance à long terme du CO2 restitué
5.4.1 Analyse préliminaire des mesures
5.4.1.1 Recherche des journées de mesure aberrantes
5.4.1.2 Amélioration des mesures et stabilité thermique
5.4.1.3 Influence de la modélisation temporelle des mesures
5.4.2 Comparaison des mesures à des références
Conclusions et perspectives 
A Détermination et résolution de l’équation de transfert radiatif 
A.1 L’équation de transfert radiatif
A.2 Résolution de l’équation de transfert radiatif
A.2.1 Résolution en ne considérant que l’absorption
A.2.2 Cas de résolution général
B Méthode de résolution d’un problème inverse 
B.1 Résolution du problème inverse
B.1.1 Application du théorème de Bayes
B.1.2 Résolution analytique
B.1.3 Prise en compte des paramètres du modèle direct
B.1.4 Résolution itérative pour un problème non linéaire
B.2 Matrices utiles pour l’inversion
B.2.1 La matrice de gain
B.2.2 La matrice des noyaux de moyennage
B.2.3 Matrice de covariance et état retrouvés
C Elévation de température du spectromètre due au flux incident 
C.1 Hypothèses de calcul
C.2 Echauffement produit par le flux contenu dans le champ seul
C.3 Echauffement produit par l’ensemble du flux incident sur le spectromètre
Bibliographie 

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