La proportionnalité dans les IO

Première partie théorique : introduction, état de l’art et problématique

Les problèmes et la résolution de problèmes

Les problèmes : recherche d’une définition

Le Larousse (2015) définit un problème comme étant une « Question à résoudre par un raisonnement scientifique et constituant un exercice ». Cette définition qui semble un peu limitée mérite d’être complétée. Mes recherches m’ont amenée à trouver différentes définitions.
Vergnaud (1991) définit un problème comme étant « toute structuration dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration d’hypothèses et de vérification pour produire une solution ».
Cette définition met donc en avant le fait que l’énoncé proposé doit poser un vrai « problème » à la personne qui le découvre, c’est-à-dire qu’il doit être dans une démarche de recherche.
Pour Pernoux.D (2012), « Est un problème, pour un élève donné, toute situation (réelle ou imaginaire) dans laquelle des questions sont posées, ces questions étant telles que l’élève ne peut y répondre de manière immédiate ». Pernoux met ici en avant l’aspect « cognitif » du problème. Comme Vergnaud nous l’explique, le problème amène à une démarche complexe de recherche intellectuelle.

La résolution de problèmes

La résolution de problèmes est un processus complexe qui fait appel à diverses compétences.
Descaves (1992) propose un schéma permettant de comprendre les étapes essentielles à la résolution d’un problème pour un élève.

La résolution de problème dans les IO

« L’apprentissage et la pratique des mathématiques développent l’imagination, la rigueur et la précision des élèves. Plusieurs objectifs : la connaissance des nombres et le calcul, la résolution de problèmes, l’approche de la géométrie et des mesures. En partant de situations proches de la réalité, les élèves acquièrent les bases d’une première culture scientifique. » (Eduscol, 2008).
Telles sont les premières lignes des dernières instructions officielles concernant les mathématiques de 2008. Le terme « résolution de problèmes », présent dans cette partie introductive, montre bien son importance dans le programme scolaire.
En 2012, une progression concernant les mathématiques et appliquant les programmes de 2008 est publiée. Dès l’introduction, la résolution de problème est mise en avant : « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. »

Au cycle 1

Le programme de mathématiques portant sur la résolution de problèmes ne concerne que les quantités : « Résoudre des problèmes portant sur les quantités ».

La proportionnalité

Définition

« Une situation de proportionnalité est une situation dans laquelle deux ou plusieurs grandeurs sont liées par des relations linéaires ou multilinéaires. On parle alors de conservation de rapport entre ces deux grandeurs. » (Julo & al, 1994). Bien souvent, la proportionnalité intervient dans des situations de grandeurs mais aussi dans des situations de la vie quotidienne.
A l’école élémentaire, la proportionnalité est introduite dès le CM1 à partir de la notion de situation de proportionnalité dans le champ multiplicatif. Les problèmes sont alors au service de l’acquisition de la notion. On apprend par la résolution de problèmes. On ne peut comprendre la notion de proportionnalité sans résoudre de problèmes. ERMEL liste des notions qui sont étudiées dans le cadre de la proportionnalité : « la relation entre les grandeurs, la relation entre les nombres, la multiplication, la division, les pourcentages et l’agrandissement de figures » (Equipe Ermel, 1999). Cette notion peut être source de difficultés pour les apprenants puisqu’elle demande une reconnaissance de situation (une situation est proportionnelle ou non).

La proportionnalité dans les IO

La notion de proportionnalité est présente dans le pilier 2 du socle commun des connaissances et compétences : « Résoudre un problème mettant en jeu une situation de proportionnalité » (livret personnel, p10, 2006).
On la retrouve également dans les programmes 2008 au cycle 3: « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d’unité, en utilisant des procédures variées (dont la “règle de trois”) ». Cependant, cette notion est travaillée depuis la maternelle si l’on prend l’exemple des jeux d’échanges qui traitent déjà de cette celle-ci.
Au cycle 3, la notion de proportionnalité porte sur :
– La résolution de problèmes dans des contextes porteurs de sens avec des relations simples entre les nombres
– La prise de conscience, dans certaines situations mettant en relation 2 grandeurs, que si on multiplie une grandeur par un nombre, l’autre est multipliée par le même nombre (linéarité)
– La rencontre de situations de proportionnalité dans lesquelles on découvre un rapport entre 2 grandeurs (recettes)
– L’utilisation de différentes représentations de la situation : tableau, graphique. Cette notion évoluera par la suite au collège et jusqu’au lycée.

La proportionnalité et ses procédures de résolution

« Deux suites de nombres réels sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première suite au terme correspondant de la deuxième suite par un même opérateur multiplicatif : le coefficient de proportionnalité » (Charnay, 2011).
Les propriétés qui caractérisent la proportionnalité sont également des procédures pouvant être utilisées dans la résolution de problème sur cette notion. La présentation des différentes procédures va s’appuyer sur le problème suivant.
Pour résoudre un problème, l’élève doit identifier les unités de grandeurs qui sont en lien dans le problème. Ensuite, il doit identifier que le problème donné relève bien d’une situation de proportionnalité. Pour finir, il doit mettre en œuvre une procédure de résolution faisant appel à ses connaissances. La difficulté ici est de ne pas utiliser de procédures additives.

Les difficultés et les aides possibles pour se représenter un problème

Les élèves sont confrontés à des difficultés fréquentes au cours du processus de représentation. En effet, la lecture et la compréhension de l’énoncé est un des premiers obstacles à franchir. Dès lors, l’élève n’identifie pas la tâche à accomplir. Ces difficultés peuvent être liées à la formulation de l’énoncé, au vocabulaire utilisé ou à une surcharge cognitive d’informations présentes dans l’énoncé. Selon Julo (2002), « il faut aider ni trop, ni trop peu ». En effet, l’enseignant ne peut pas donner une représentation d’un problème, puisque ce processus est personnel. Il ne doit pas non plus trop guider l’élève dans les procédures. Il faut donc aider au niveau de la représentation du problème sans en donner la solution en proposant des aides diversifiées.
Des variables didactiques peuvent répondre aux besoins des élèves. La place de la question dès le début du texte, l’ordre des données qui correspondent ou non à l’ordre du traitement, le nombre de données à traiter, la présence de données inutiles, la difficulté du vocabulaire employé, le nombre d’étapes nécessaires à la résolution, le contexte familier de l’énoncé, les mots inducteurs (en plus, en mois, de fois, chacun, perdre, enlever, gagner, distribuer, …), jouer sur le support du problème (tableau, texte), les nombres utilisés (grands, petits), la schématisation et la théâtralisation du problème.
Pour aider à cette activité de compréhension et d’interprétation, le didacticien Gamo (2001) conseille également de faire reformuler verbalement ou schématiquement un énoncé aux élèves. Cela pourrait amener l’élève en difficulté à franchir l’étape de la représentation mentale.

La multi présentation de Jean Julo

Une autre aide possible concernant la représentation de problèmes a été proposée par Jean Julo. Elle consiste à proposer aux élèves le même problème mais avec un habillage différent, un contexte sémantique changeant. Demandant le même type de traitement (mêmes données numériques), ces problèmes sont identiques. Rappelons que l’étape de représentation doit permettre aux élèves de donner du sens au problème.
La théorie de Julo consiste à penser que l’habillage, le contexte sémantique influe sur la représentation du problème. Pour cela, l’enseignant propose à l’élève trois problèmes identiques d’un point de vue numérique, mais avec trois déguisements différents.
D’après Julo, (1994) pour qu’une aide à la représentation soit efficace, elle « doit répondre aux trois critères suivants :
– l’aide ne contient pas d’indices sur la solution,
– l’aide n’oriente pas vers une procédure de résolution,
– l’aide ne suggère pas une modélisation du problème. »

Présentation de la problématique

Après de nombreuses recherches concernant la résolution de problème, la problématique retenue est la suivante :
La multi présentation-peut-elle être une aide dans la résolution de problèmes portant sur la notion de proportionnalité ?
Le choix de cette problématique me permet de traiter un axe principal de mon projet d’école qui s’oriente autour de la résolution de problème, et plus particulièrement des aides possibles à mettre en œuvre au sein de la classe. Avant de débuter mon mémoire, je ne connaissais pas la multiprésentation. Ce sujet m’a donc intriguée, et après de nombreuses recherches, il m’a semblé intéressant de l’appliquer en classe pour voir si les effets décrits par Julo pourraient être bénéfiques. Ayant une classe de cycle 3 avec quelques élèves en difficulté, j’ai donc souhaité expérimenter ma problématique autour de l’aide par la multiprésentation.
Il me semblait alors judicieux de trouver des aides permettant aux élèves qui ont du mal à se représenter un problème de surmonter cet obstacle.

Seconde partie expérimentale : méthode, résultats et discussion

Mes élèves

25 élèves d’une classe de CM1-CM2 ont participé à l’expérimentation : 7 CM2 et 18 CM1.
Dans ma classe, je pratique la résolution de problème régulièrement et parfois comme rituel du matin, mais des difficultés persistent pour certains élèves. Cette année, pour motiver les élèves à participer à l’activité de résolution de problèmes ouverts, la classe est inscrite au concours « maths Isère ». Des habitudes de travail sont présentes ainsi qu’une motivation importante. Les« ateliers problèmes » ont été mis en œuvre dès le début de l’année et ils se poursuivront jusqu’à la fin de celle-ci. Le niveau de la classe en mathématiques est hétérogène.

Analyse a priori de la séquence sur la proportionnalité

Pour vérifier si ce dispositif peut venir en aide aux élèves, j’ai décidé de l’appliquer dans ma classe de CM1-CM2 au cours d’une séquence sur la proportionnalité. Celle-ci est une découverte et une première approche de la proportionnalité pour les élèves de cm1, et une consolidation pour les CM2.
Les compétences mises en œuvre dans cette séquence s’inscrivent dans le BO 2008 : « Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité en utilisant des procédures variées (dont la règle de 3) » ainsi que dans le socle commun de connaissances et compétences « Connaître la propriété de linéarité, la représentation graphique, le tableau de proportionnalité, la règle de trois, les pourcentages, les échelles…… ».
Les programmes de l’éducation nationale sont présentés en première partie.
La séquence a pour objectifs de permettre aux élèves d’être capable d’identifier des problèmes relevant de la proportionnalité, d’expliciter et comparer les différentes stratégies de résolution, de comprendre et manipuler les relations entre les nombres pour résoudre les problèmes de proportionnalité et d’identifier le sens de la règle de trois par le passage à l’unité dans la résolution de problèmes relevant de la proportionnalité.
Comme dans tout apprentissage, des pré-requis sont nécessaires : les quatre opérations doivent être maîtrisées tant du point de vue du sens que de la technique opératoire ainsi que les rapports entre les nombres (double, moitié…). La construction d’un graphique doit également être maîtrisée pour une éventuelle construction graphique d’une situation relevant de la proportionnalité.

1ère étape d’expérimentation

Est-ce que l’habillage du problème a un impact sur la représentation et donc la résolution ? Cette expérimentation doit permettre de savoir si par la suite, la multiprésentation pourra être envisagée pour aider les élèves dans la notion de proportionnalité. On sait par ailleurs que lorsque le contexte des problèmes se rapproche de l’environnement familier des élèves (argent), ceux-ci arrivent plus facilement à se le représenter. Cette séance doit permettre de mettre en avant des obstacles à la résolution de problèmes portant sur la notion de proportionnalité pour ainsi envisager une remédiation. Elle pourra également évaluer l’impact du contexte de l’énoncé sur la représentation du problème.

Première phase

Le professeur explique aux élèves qu’ils ont à résoudre un problème parmi les trois qui leurs sont proposés sur une même feuille. Ils doivent d’abord bien lire les trois énoncés avant de commencer leur résolution. « Il faut bien lire les énoncés et les comprendre avant de commencer la résolution.
– Réfléchis bien avant d’écrire un calcul.
– Tu peux utiliser tout ce qui peut t’aider à comprendre.
– Ecris tous les calculs que tu veux faire sur la feuille où se trouve l’exercice.
– N’oublie pas d’écrire la réponse à la question posée. »
Pour s’aider, les élèves peuvent utiliser tous les moyens qu’ils désirent (schémas ou autre). La notion étudiée, la proportionnalité, n’est pas communiquée aux élèves.
Le choix des données permettra de débuter la séquence sans obstacles majeurs : des petits nombres, des multiples, des énoncés assez simples et un lexique employé qui est abordable.
Rappelons que les trois problèmes ont la même structure mathématique, seul l’habillage est différent.
Pour cette phase d’expérimentation, j’ai fait le choix de ne pas différencier la « présentation » des problèmes (schémas, dessins, etc.) pour n’avoir qu’une variable à analyser : celle du contexte. Les problèmes sont mélangés, « 1,2,3 » ne correspondent pas à un ordre de difficulté. Les élèves répondent sur une petite feuille de papier qu’ils me remettront dès la fin de la phase 1. Le temps donné est de 15 minutes.
L’hypothèse concernant l’impact de l’habillage dans la résolution de problème n’est pas validée dans cette seconde phase. En effet, si l’on s’attarde sur les pourcentages de réussite, 52 % des élèves de la classe ont réussi le problème, soit 13 élèves, un peu moins qu’en phase 1 (54% de réussite). Le pourcentage d’élèves n’ayant pas réussi à résoudre le nouveau problème proposé s’élève à 44%, soit 11 élèves sur 25. 1 élève a réussi à résoudre partiellement le problème en utilisant une procédure pouvant justifier une réponse correcte à la question posée, mais l’erreur se trouve dans le calcul final (figure 12).
La multiprésentation a eu un réel impact pour 2 élèves. Ceux-ci n’avaient pas réussi à résoudre le problème en phase 1 et sont parvenus à le résoudre en phase 2. (Figure 13).
Concernant les productions, on peut également se poser la question de la représentation mentale d’un problème faisant appel à la proportionnalité. Celle-ci semble être un obstacle pour résoudre le problème, les élèves ne se représentant pas le problème clairement, l’opération et le calcul adéquat ne sont donc pas maîtrisés. On retrouve cela dans la figure 10, où l’élève a un résultat et une procédure différente à chaque phase.
Une hypothèse n’avait pas été émise et ressort ici, elle concerne les effets non attendus de la multiprésentation. L’élève a perçu la similitude mathématique entre les 3 problèmes proposés donc répond de façon identique aux problèmes. Cependant, la résolution est fausse. L’élève peut percevoir que les données mathématiques sont constantes et refaire la même chose que précédemment, même si ce n’était pas correct. La réflexion concernant le sens de l’énoncé est donc abandonnée au profit d’une réponse type. Cet effet non désiré se retrouve chez 3 élèves (figure 11). Il est la conséquence de ce nouveau contrat didactique.
La seconde hypothèse concernait les élèves qui auraient réussi à résoudre le premier problème lors de la phase 1. En phase 2, ceux-ci n’auraient pas de difficulté étant donné que la structure mathématique des deux problèmes est identique. Pour valider cette hypothèse, il nous faut donc comparer les pourcentages de réussite entre la phase 1 et la phase 2. 54 % en phase 1, 52 % en phase 2. Seul un élève a réussi à résoudre le premier problème mais n’a pas réussi la résolution du second. 12 élèves ont réussi en phase 1 contre 13 en phase 2 (le second graphique, figure 9, prend en compte l’élève qui a réussi partiellement). On peut donc valider cette hypothèse.

Séance 5 : deuxième étape d’analyse

Dans cette seconde expérience, les élèves ont été amenés à utiliser diverses procédures étudiées pour résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité : linéarité, retour à l’unité…Cette séance arrive donc en fin de séquence pour réinvestir les connaissances et compétences et permettre une automatisation de celles-ci. Les prérequis sont donc plus riches que ceux présents lors de la première expérience. La charge cognitive est donc réduite.
L’hypothèse soulevée est la suivante : lorsqu’un élève est en difficulté face à un problème qu’il n’arrive pas à se représenter, la multiprésentation est une aide qui lui permettra de résoudre un problème identique en termes mathématiques. La multiprésentation par le biais du schéma sera envisagée en dernière aide car son impact semble faciliter la résolution de problème par le dessin, et la représentation mentale de l’énoncé est par conséquent un peu biaisée.

Discussion et conclusion

Mon mémoire avait pour objectif de savoir si la multiprésentation pouvait être une aide dans la résolution de problèmes portant sur des situations de proportionnalité au cycle 3.
L’analyse des expériences vécues met tout d’abord en avant la difficulté à aborder la notion de proportionnalité, qui s’avère être déjà complexe en elle-même. En effet, même si les énoncés et les données mathématiques paraissaient simplistes, c’est la notion en elle-même qui semble être un obstacle à la première séance, d’où le besoin d’un apport théorique riche lors des séances qui suivent. Ce constat se vérifie en phase d’entraînement où une grande majorité d’élèves arrivent à résoudre les problèmes proposés en utilisant toutes les procédures déjà étudiées.
Dans un second temps, il semblerait que la multiprésentation ai été bénéfique pour certains enfants, en particulier la présentation faisant appel au dessin. Le simple fait de changer l’habillage du texte n’a aidé que 3 élèves sur 8 en difficulté. La question que l’on peut alors se poser concerne le dessin qui a été une seconde aide. Celui-ci n’est pas seulement l’énoncé retranscrit en dessin mais laisse apparaître d’autres variables qui pourraient faciliter la résolution telles que le positionnement des objets, le « tableau » etc. Pour finir, la multiprésentation induit une règle du contrat didactique mis en œuvre avec la classe dès le début de la séquence. En effet, après une mise en commun, les élèves ont fait émerger le fait que les données mathématiques des énoncés étaient similaires avec des résultats identiques. Ce constat a été biaisé par certains élèves qui ont utilisé la même procédure pour deux problèmes, mais l’une n’étant pas correcte, la seconde l’était donc également. Pour monter son efficacité, ce dispositif d’aide ne doit pas être utilisé constamment mais occasionnellement, avec par exemple l’insertion d’autres problèmes numériques différents pour ne pas laisser s’installer ce contrat didactique.
J’ai mené cette expérience dans le cadre de mon projet d’école dont l’axe principal concerne l’aide à la résolution de problèmes. Il semblerait que la multiprésentation soit une aide, à utiliser occasionnellement pour ne pas entraîner une nouvelle règle de contrat, permettant à l’élève de faciliter l’étape de la représentation mentale de l’énoncé. Le passage par le schéma apparait également comme une aide importante à la représentation mentale.

Table des matières
Introduction
1. Première partie théorique : introduction, état de l’art et problématique
1.1 Les problèmes et la résolution de problèmes
Les problèmes : recherche d’une définition
La résolution de problème
La résolution de problème dans les IO
1.2 La proportionnalité
Définition 
La proportionnalité dans les IO
La proportionnalité et ses procédures de résolution 
Les problèmes relevant de la proportionnalité et leurs difficultés 
1.3 Les difficultés et les aides possibles pour se représenter un problème
1.4 La multiprésentation de Jean Julo
1.5 Présentation de la problématique
2. Seconde partie expérimentale : méthode, analyse et discussion
2.1 Mes élèves
2.2 Analyse à priori
2.3 Résultats et analyse à postériori
2.4 Discussion et conclusion

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