La Propagation D’un Soliton Sur un Fluide non Newtoniens

Définition du fluide non newtonien [21],[31]

Un fluide est dit newtonien lorsque le tenseur des contraintes visqueuses est une fonction linéaire du tenseur des déformations. Autrement dit, les contraintes de cisaillement sont proportionnelles au gradient de vitesse, ce qui implique que :
– Dans un écoulement de cisaillement simple, les seules contraintes créées par l’écoulement sont des contraintes de cisaillement.
– La viscosité est indépendante de la vitesse de cisaillement.
– La viscosité est indépendante du temps et les contraintes s’annulent immédiatement lorsque l’écoulement est arrêté.
Un fluide est dit non newtonien lorsque le tenseur des contraintes n’est pas une fonction linéaire du tenseur des déformations. Autrement dit, lorsque sa déformation n’est pas directement proportionnelle à la force qu’on lui applique. Les fluides non newtoniens sont presque tous des colloïdes.

Comportements non linéaires

Un des comportements pratiques les plus intéressants des fluides non-newtoniens est leur relation non linéaire entre contrainte et vitesse de déformation. La structure interne du fluide est complexe et peut être influencée par l’écoulement. Certains fluides ne s’écoulent qu’a partir d’une certaine contrainte seuil (liquide plastique de Bingham. (Fig.1) [22]. Cette propriété est particulièrement utile pour le transport de particules en empêchant la sédimentation (boues de forage). Elle se rencontre dans la vie pratique dans les pates de dentifrices, le ketchup, la graisse et les peintures non-coulantes. La plupart de ces fluides sont rhéofluidifiants : suspensions diluées de particules solides, suspensions de vésicules déformables (comme le sang), encres, peintures, solutions diluées de polymères, polymères liquides (acétate de cellulose), pate à papier (Fig.1). Leur viscosité effective diminue lorsqu’on augmente la contrainte. Cet effet est du en général à une brisure de la structure interne par l’écoulement. Quelques fluides sont rheoepaississants comme les suspensions concentrées ou encore le sable mouillé (Fig.1).

Comportement rhéoépaississant

On rencontre également le comportement rhéoépaississant (en anglais shear thickening): la viscosité augmente lorsqu’on augmente le taux de cisaillement. Dans la plupart des cas connus, le comportement rhéoépaississant n’est observé que sur une gamme limitée de taux de cisaillement, le liquide possédant également un comportement rhéofluidifiant à des taux de cisaillement plus faibles. Par exemple, les suspensions très concentrées (au-dessus de 30% en fraction volumique) de particules solides présentent une brusque augmentation de viscosité qui est liée à un changement important de la structure de la suspension. Un exemple remarquable de comportement rhéoépaississant est observé avec les polymères amphiphiles associatifs. La viscosité des ces solutions est pratiquement constante jusqu’`a un taux de cisaillement critique où la viscosité augmente rapidement de plus d’un ordre de grandeur (fig.1). Ce brutal ”épaississement” de la solution est dû à un changement de type d’association entre les macromolécules : à faible taux de cisaillement, il y a essentiellement des interactions intramoléculaires et, dans une gamme de concentration adéquate, un taux de cisaillement élevé conduit à des interactions intermoléculaires et à la ”gélification” de la solution.

CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES

Depuis la première observation d’une onde solitaire à la surface de l’eau, et son interprétation en utilisant l’équation de KdV, les ondes solitaires en élévation en « eau peu profonde » ont été étudiées de façon extensive. Il a été aussi montré que l’équation de KdV décrit de façon générique différents types de solitons observés dans diverses situations : en acoustique, en magnéto-acoustique, dans des plasmas ioniques, à la surface d’un solide élastique, dans les fibres optiques et de l’eau sous la glace. Nous avons établi le système différentiel qui caractérise le déplacement d’un soliton. L’équation de conservation de la quantité de mouvement n’est pas linéaire. Or dans la plupart des systèmes non linéaires, la solution analytique n’existe pas, et ne peut parfois même pas être approchée par un développement limité. Pour résoudre le système différentiel, nous avons utilisé la méthode de développement asymptotique. C’est une méthode de cheminement efficace basée sur des développements en série. Dans ce travail, nous avons pu avoir des résultats en faisant des développements limités jusqu’au cinquième ordre. Pour avoir l’équation d’évolution de la surface libre de l’eau, on a identifié l’équation de la conservation de la quantité de mouvement à l’équation de KdV. Nous avons pu montrer l’existence d’une excitation d’onde solitaire sur une surface d’un fluide viscoélastique chauffé (fluide de Maxwell). Les ondes solitaires solution du système différentiel peuvent être une perturbation localisée soit positive (élévation), soit négative (dépression). Le cas où le nombre de Deborah est égal à la moitié du nombre de Prandtl est à écarté car ce cas ne satisfait aux équations d’Euler. La faisabilité de la démonstration expérimentale de l’existence de ces ondes solitaires a été proposée par l’équipe du Professeur Miguel MANNA de l’Université de Montpellier II. En perspective, nous allons résoudre numériquement le système différentiel précédent et comparer les résultats obtenus avec les résultats analytiques qu’on vient de trouver.

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Table des matières

Nomenclatures
Liste des figures
INTRODUCTION GENERALE
I-LES EQUATIONS FONDAMENTALES
I.1- Fluides non Newtoniens
I.1.1- Définition des fluides non Newtoniens
I.1.2- Comportement non-linéaire
I.1.3- Comportement rhéofluidifiants
I.1.4- Comportement rheoepaississants
I.1.5-Viscoélasticité
I.2.-Elément dynamique
I.2.1-Tenseurs de contraintes et des extra-contraintes
I.2.2-Interprétation
I.3-Equation de chaleur
I.3.1-Loi de Fourier
I.3.2-Equation de chaleur en milieu homogène et isotrope
I.4-Les relations de conservations
I.4.1-La conservation de masse
I.4.2-La conservation de quantité de mouvement
I.4.3- Loi de comportement
I.5-Equations complémentaires
I.5.1-Tension de surface
I.5.2- Variation de la densité du milieu étudié
I.6-Les conditions aux limites
I.7-Ecritures adimensionnelle des équations
I.7.1-Problématique
II- RESOLUTION DU SYSTEME D’EQUATIONS GERANT LE MOUVEMENT DU SOLITON PAR LA METHODE DE DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE
II.1-Approximations
II.2-Méthode de résolution
II.3-Les solutions du problème
II.4-Discussion sur les solutions théoriques
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES