La prédiction du risque de rupture en fatigue

Amorçage sur défauts

    Les matériaux peuvent contenir des hétérogénéités qui constituent des sites privilégiés pour l’amorçage de fissures de fatigue. La dimension, la position, la forme et l’orientation des défauts sont conditionnées par le procédé de fabrication. Ainsi dans les alliages élaborés par métallurgie des poudres, comme le superalliage à base de Nickel N18, on peut trouver des porosités (absence de cohésion entre grains de poudres) ou encore des inclusions de céramiques (Figure 1-1). Ces défauts sont rares et leur dimension maximale est bornée par le tamisage des poudres avant frittage. La dimension des inclusions de céramique ou des porosités est directement liée à la dimension maximale des poudres employées lors du frittage. Les défauts peuvent aussi être des constituants du matériau. On citera notamment l’exemple des carbures de niobium présents dans l’alliage INCO718 (Figure 1-2) qui sont à l’origine de l’amorçage de fissures de fatigue, et de la dispersion observée sur les durées de vie. Les hétérogénéités du matériau peuvent aussi être le résultat d’interactions avec l’environnement. Des fissures peuvent s’amorcer en surface lorsque le matériau est plongé dans un environnement actif. Ceci peut aussi se produire au cœur du matériau, au voisinage d’inclusions. Y. Murakami et col. ont mis en évidence l’influence d’espèces fragilisantes – telles que l’hydrogène – présentes dans les inclusions sur la résistance à la fatigue de certains alliages [Murakami,2000a] , [Murakami,2000b]. Les inclusions non-métalliques emprisonnent l’hydrogène présent dans l’environnement et le libèrent progressivement sous l’effet des sollicitations mécaniques et du temps. On voit alors se former au microscope optique une zone fragilisée, plus sombre, autour de l’inclusion – appelée « Optically Dark Area » (Figure 1-3). La dimension effective du défaut à partir duquel peut se former une fissure de fatigue, augmente dans le temps et est proche de la dimension de la zone fragilisée (ODA).

Modèles probabilistes de type « approche directe »

   La première famille de modèles probabilistes introduit donc explicitement les défauts comme source d’aléa du phénomène de fatigue. Le critère de fatigue utilisé fait intervenir un ou plusieurs paramètres caractéristiques de ces défauts (§1.2.1.1). La modélisation du caractère aléatoire du phénomène de fatigue consiste à représenter, analytiquement ou numériquement, la présence des défauts par une distribution statistique de leurs caractéristiques (taille, forme, position …) (cf §1.2.1.2). Le lien entre présence de défauts et limite d’endurance a fait l’objet de nombreuses études et dans un premier temps des relations empiriques ont été établies pour les aciers au carbone [Kitagawa,1976] [Murakami,1986]. On s’intéressera notamment au critère empirique de Murakami et Endo [Murakami,1986] qui permet de relier la limite de fatigue à la dureté Vickers du matériau ainsi qu’à un paramètre caractéristique de la dimension du défaut à l’origine de la rupture. Avec les mêmes objectifs, mais pour d’autres matériaux ou d’autres types de défauts, d’autres auteurs ont exprimé la limite de fatigue en se basant sur les hypothèses de la mécanique linéaire de la rupture. Moyennant certaines hypothèses, on exprime ainsi la limite d’endurance en fonction des caractéristiques d’un défaut et du matériau. Ensuite, afin de tenir compte d’une population de défauts – deux démarches sont possibles : d’une part l’hypothèse du maillon faible, et d’autre part les simulations de Monte Carlo. Un avantage évident de ce type de modélisation est le lien direct qui existe entre la limite de fatigue et la taille de défaut. Les distributions de tailles de défauts peuvent correspondre aux courbes de propreté matériau (spécifiées aux fournisseurs), mais aussi à la probabilité de détection d’une fissure lors d’une inspection en fonction de sa taille et de la zone contrôlée… Le second avantage est la capacité de ce type de démarche à prévoir les effets d’échelle sur les probabilités de rupture, à partir de la connaissance de la distribution de défaut par unité de volume de matière. En revanche, ces approches ont certaines limitations. L’utilisation de la mécanique linéaire de la rupture, par exemple, est applicable lorsque les défauts sont grands et assimilables à des fissures. Cependant, la mécanique linéaire de la rupture n’est pas adaptée pour les défauts de très petite taille. Les modèles empiriques n’ont pas ces limitations, mais sont difficiles à identifier. Par ailleurs, ces modèles prennent difficilement en compte les chargements multiaxiaux. Dans un premier temps nous allons présenter les relations établies entre la taille de défaut et la limite de fatigue pour quelques modèles probabilistes, qu’elle soit empirique ou bien basée sur la mécanique linéaire de la rupture. Puis nous montrerons comment est introduit le caractère probabiliste dans le modèle, c’est-à-dire comment les populations de défauts sont prises en compte.

Méthode de Monte Carlo

  Une autre méthode pour tenir compte des populations de défauts consiste à effectuer de nombreux tirages aléatoires, et à simuler pour chaque réalisation la vie de la pièce. Il s’agit de la méthode de Monte Carlo. Elle consiste à définir un certain nombre de variables aléatoires caractéristiques, par exemple la dimension et la position des défauts, et à leur affecter une distribution de probabilités par intervalle. Cette approche – contrairement à la précédente – est donc discrète. Un grand nombre de tirages des variables aléatoires d’entrée est effectué, selon les distributions de probabilité déterminées précédemment. Et pour chaque réalisation, une simulation est effectuée. Ceci permet de déterminer la probabilité d’occurrence de chacun des résultats. La méthode est simple à mettre en œuvre mais l’inconvénient de cette méthode est qu’elle impose en général des temps de calculs très longs. Mais elle peut aussi permettre de lever certaines hypothèses pénalisantes de la théorie du maillon faible. L’avantage principal de la méthode de Monte-Carlo, par rapport à la théorie du maillon faible évoquée plus haut est qu’elle permet, en particulier, d’envisager des cas où le défaut le plus critique vis-à-vis de l’amorçage n’est pas celui qui conduit finalement à la rupture. Ceci peut se produire, par exemple, si une fissure commence à se propager depuis une concentration de contrainte puis voit sa vitesse diminuer du fait d’un gradient de contrainte décroissant. Dans ce cas, un défaut moins critique vis-à-vis de l’amorçage pourra être plus critique vis-à-vis de la durée de vie. Ceci peut être observé par exemple dans des pièces travaillant en flexion. Par exemple, sur la figure (Figure 1-12) on compare les évolutions du facteur d’intensité des contraintes d’une fissure traversante initiée à la surface d’une plaque d’épaisseur 10 mm sollicitée en traction et flexion, pour deux gradients de contrainte selon l’épaisseur. Ces deux gradients pourraient correspondre à deux zones différentes d’une structure. Le défaut le plus critique pour l’amorçage n’est pas nécessairement celui qui conduira à la rupture finale, ce qui est contradictoire avec la théorie du maillon faible.

Modèle probabiliste pour les alliages de titane

   Lors de l’élaboration d’un alliage de titane, un composé rigide de Nitrure de Titane (TiN) peut ne pas être éliminé par les différentes opérations d’affinage. Cette ségrégation dénommée Hard-α possède une probabilité très faible d’être présente dans une pièce (de l’ordre de 10-9) mais peut avoir une taille importante. Sous l’action des sollicitations thermomécaniques, elle peut initier une fissure qui se propage plus ou moins vite. A la suite d’un certain nombre d’incidents imputables à des défauts Hard-α présents dans le matériau (dont celui de Sioux-City en 1989 provoqué par l’éclatement d’un disque Fan d’un DC-10 et qui a fait 111 victimes, cf. Figure 1-19), les autorités de certification américaines ont imposé aux motoristes mondiaux de prendre en compte le risque de rupture lié aux défauts Hard-α. Le problème majeur posé par la présence des Hard-α est qu’ils sont susceptibles d’atteindre une taille importante sans pouvoir être détectés. Même s’ils sont extrêmement rares, si un Hard-α est présent dans une zone critique, une rupture très rapide, c’est à dire en moins de 2000 cycles, peut survenir en service. Le seul moyen de l’éviter est de contrôler la pièce périodiquement, avec un pas d’inspection tel qu’on effectue un contrôle avant sa rupture. Par ailleurs leur taux de présence très faible entraîne un effet d’échelle important entre une éprouvette de titane et une pièce réelle (disque) et les méthodes de calcul de durée de vie déterministes ne sont pas adaptées à de tels cas. Un outil spécifique aux alliages de titane a été développé dont l’objectif est de calculer le risque de rupture associé aux défauts Hard-α dans les disques de turbine en alliage de titane – principalement le TA6V et le TI17 – pour une durée de vie N0 donnée. Les défauts Hard-α ont une taille importante, de l’ordre du millimètre. On fait donc l’hypothèse qu’un défaut est une fissure amorcée et la durée de vie associée est une durée de vie en propagation. Le processus de rupture par fatigue mis en jeu pour ce type de matériau est alors le suivant :
– Propagation stable et immédiate (pas de phase d’amorçage dans la durée de vie) de fissure à partir d’un défaut Hard-α.
– Rupture finale de la pièce.
On prendra en compte une source de dispersion unique, à savoir la probabilité de présence de défauts dans le matériau. Cette dispersion sera caractérisée par la distribution de tailles de défaut. La probabilité de rupture d’un volume Vi de la pièce, soumis à une contrainte σi , correspond à la probabilité de trouver un défaut de taille critique qui conduira à la rupture de la pièce pour un nombre de cycle N0. Le matériau est décrit par une courbe de propreté donnant le nombre de défaut par unité de volume dont la taille est supérieure à une taille donnée. Connaissant cette distribution de défauts, on peut donc déterminer le nombre de défauts de taille critique par unité de volume. Le risque de rupture global de la pièce est alors calculé sous couvert de l’hypothèse du maillon le plus faible : la probabilité de survie de la pièce est égale au produit de probabilité de survie de chacun des volumes Vi de la pièce. Ce modèle permet par ailleurs de prendre en compte l’effet bénéfique d’une inspection en service sur le risque de rupture de la pièce. Il suffit en effet de modifier la courbe de propreté du matériau de façon à prendre en compte l’évolution de la population de défauts du matériau au cours des cycles. Ce modèle est clairement un modèle probabiliste de type approche directe basé sur la mécanique linéaire de la rupture. La distribution de tailles de défauts est une donnée d’entrée du modèle. Elle provient de mesures expérimentales collectées auprès de tous les motoristes aéronautique (il s’agit donc de courbes point par point). Le calcul de la probabilité de rupture se fait de façon analytique. Les défauts sont grands au regard de la microstructure, les hypothèses de la mécanique linéaire élastique de la rupture sont donc respectées et l’on peut sans problème considérer le défaut comme une fissure amorcée.

Bases d’un modèle probabiliste unifié

   Les trois modèles présentés ci-dessus ont en commun d’être des modèles probabilistes d’approche directe. Les défauts présents dans le matériau – de natures diverses en fonction du matériau – sont tous représentés par une courbe de propreté, c’est-à-dire une distribution de leur taille dans un volume donné établie expérimentalement. Les modèles d’approche directe présentent donc l’avantage de pouvoir prendre en compte ce type de données. Ainsi pour chacun des trois modèles, les défauts sont assimilés à des fissures, et la durée de vie à rupture est calculée à partir d’un modèle de propagation (le même pour les trois modèles). Cependant, de par la nature différente des défauts rencontrés, cette hypothèse est plus ou moins adaptée. Ainsi, pour les alliages de Titane, ce niveau de modélisation est suffisant pour obtenir de bons résultats, mais pour les alliages élaborés par métallurgie des poudres, compte tenu de la taille des inclusions, l’hypothèse d’assimiler les défauts à des fissures longues est beaucoup trop conservative. Une correction pour prendre en compte une phase d’amorçage dans le phénomène de fatigue est alors nécessaire. Cela met en avant la nécessité pour le modèle probabiliste de pouvoir s’adapter à une large gamme de tailles de défauts. Par ailleurs, on constate qu’actuellement les modèles probabilistes utilisés simplifient au maximum le traitement du chargement. Seule la composante principale maximale est prise en compte, et seulement à un instant critique du cycle. Il apparaît nécessaire de faire évoluer cette pratique et de développer un critère apte à traiter les chargements multiaxiaux. Il faudra donc trouver un moyen de bénéficier des avantages des modèles probabilistes d’approche indirecte dont la formulation est adaptée à ce type de chargement. De plus, il semble souhaitable de ne plus décomposer la pièce de façon « grossière », mais de traiter de façon plus fine les diverses zones de la pièce pour ne pas risquer de sous-évaluer le risque de rupture par des moyennes abusives et aussi pour représenter de façon correcte les gradients de contrainte qui jouent un rôle important dans le phénomène de fatigue. Au vu des différents modèles probabilistes existants à SNECMA, les fonctionnalités qu’un tel outil doit posséder à minima sont les suivantes :
– Possibilité de fournir soit une durée de vie pour une probabilité de rupture donnée, soit une probabilité de rupture pour une durée de vie donnée.
– Prise en compte d’éventuelles inspections (avec des dates probabilistes).
– Couverture de toute la gamme de probabilité : de 10-9 à 1.
– Prise en compte de tous les mécanismes du phénomène de fatigue et de la compétition entre ces différents mécanismes.
– Prise en compte de tous les défauts et de la compétition entre les différents défauts.
– Prise en compte de la compétition entre les différentes zones des pièces.
La source d’aléa principale du modèle probabiliste est la probabilité de présence de défauts dans le matériau. A cela, on ajoutera la prise en compte de l’hétérogénéité des propriétés mécaniques locales à l’échelle de la microstructure. En effet on a précisé que le modèle probabiliste devait s’adapter à la gamme de défaut la plus large possible, c’est-à-dire aussi bien aux petits défauts, d’une taille équivalente aux dimensions microstructurales, qu’aux grands défauts. Or, on a vu que pour les petits défauts, il y avait une forte interaction entre la microstructure et l’endommagement de fatigue (franchissement des barrières microstructurales…). Ainsi la variabilité du chargement local semble être une source d’aléa importante pour les très petits défauts. Les mécanismes physiques considérés sont au nombre de deux : la propagation de la fissure jusqu’à la rupture, et dans certains cas (petits défauts) une phase d’amorçage de fissure non négligeable dans la durée de vie calculée. Le schéma général d’un outil de prédiction de durées de vie probabilistes répondant aux spécifications énoncées précédemment est présenté Figure 1-20. Il est construit de manière à être le plus évolutif possible : une source de dispersion ou un mécanisme doit pouvoir être ajouté sans modifier fondamentalement la structure de l’outil.

Critères de fatigue

   Un critère de fatigue permet de statuer sur le dépassement ou non de la limite d’endurance –ou plus généralement la limite de fatigue à N cycles – du matériau soumis à un cycle de contraintes multiaxiales. Il s’agit donc d’exprimer le seuil séparant les conditions permettant à la structure de rester saine ou de se fissurer par fatigue en fonction de grandeurs extraites de l’évolution du tenseur des contraintes – choisies comme étant représentatives du phénomène de fatigue – et de différents paramètres caractéristiques du matériau. Lorsque le matériau ne contient pas déjà une fissure, la plasticité joue un rôle important au niveau de l’amorçage. Dans les matériaux cubiques à faces centrées, par exemple, les fissures de fatigue s’amorcent au niveau des bandes de glissement persistantes et dans les plans cristallins sur lesquels la scission résolue est maximale [Socie,1993]. La contrainte normale à ce plan joue également un rôle important car lorsqu’elle est compressive, elle s’oppose à la propagation des fissures, en mode I (contact unilatéral) comme en mode mixte (frottement de Coulomb). Il semble donc naturel de faire intervenir le cisaillement maximal τmax et la composante normale au plan de cisaillement maximum N dans le formalisme d’un critère de fatigue multiaxial. Cependant, comme les fissures peuvent bifurquer, la contrainte normale au plan de propagation de la fissure n’est pas nécessairement égale à la contrainte normale au plan de cisaillement maximum dans lequel la fissure s’amorce. C’est pourquoi on préfère généralement formuler le critère en fonction de la pression hydrostatique, invariante par rotation du plan de propagation. Par ailleurs, pour des chargements uniaxiaux, de nombreux essais ont montré l’influence – ou au contraire la neutralité – des paramètres suivants sur la limite de fatigue :
– Le cisaillement moyen : Lors d’essais de fatigue en cisaillement, le cisaillement moyen au cours du cycle de fatigue n’intervient pas sur la limite de fatigue en torsion. Seule l’amplitude du cisaillement intervient [Sines,1959].
– La contrainte moyenne:
En revanche, au cours d’essais de fatigue en traction, une contrainte moyenne de traction au cours du cycle diminue significativement la résistance en fatigue par comparaison avec une sollicitation de même amplitude mais présentant une contrainte moyenne de compression au cours du cycle [Goodman,1899] [Gough et al.,1951].  On peut classer les critères de fatigue multiaxiale selon trois catégories :
– Les critères de fatigue uniaxiale
– Les critères de fatigue multiaxiale et proportionnelle
– Les critères de type plan critique
Ces critères se différencient par l’approche utilisée pour établir la fonction de fatigue représentative de l’endommagement de la structure. Pour chaque catégorie, on distinguera aussi les critères qui emploient une approche macroscopique de ceux qui s’appuient sur une approche mésoscopique avec changement d’échelle. Les fissures s’initiant à l’échelle du grain, certains auteurs choisissent en effet de considérer le tenseur local des contraintes dans leur critère afin de tenir compte du fait qu’un grain peut plastifier (et donc une fissure s’initier) alors que macroscopiquement le matériau reste dans son domaine d’élasticité.

Table des matières

INTRODUCTION
1. CADRE POUR UNE APPROCHE PROBABILISTE UNIFIEE POUR LA FATIGUE
1.1. SOURCES D’ALEA DANS LES MECANISMES PHYSIQUES D’INITIATION 
1.1.1. Amorçage sur défauts
1.1.2. Amorçage par micro-plasticité
1.1.3. Synthèse sur les sources d’aléa
1.2. MODELES PROBABILISTES DANS LA BIBLIOGRAPHIE
1.2.1. Modèles probabilistes de type « approche directe »
1.2.2. Modèles probabilistes de type « approche indirecte »
1.2.3. Synthèse sur les modèles probabilistes
1.3. MODELES DE PREVISION DE DUREES DE VIE UTILISES A SNECMA
1.3.1. Modèle de prévision de durée de vie déterministe
1.3.2. Modèles de prévision de durée de vie probabilistes
1.3.3. Bases d’un modèle probabiliste unifié
1.3.4. Synthèse sur les modèles probabilistes SNECMA
2. CRITERE MULTIAXIAL DE FATIGUE PRENANT EN COMPTE LA TAILLE, LA FORME ET LA POSITION DES DEFAUTS
2.1. BIBLIOGRAPHIE
2.1.1. Critères de fatigue
2.1.2. Effet de taille de fissure
2.1.3. Contrainte T
2.2. DEFINITION DU CRITERE
2.3. IDENTIFICATION
2.3.1. Principe
2.3.2. Matériau
2.3.3. Identification en biaxial
2.3.4. Synthèse sur l’identification du critère
2.4. APPLICATIONS
2.4.1. Effet de taille
2.4.2. Influence de la position du défaut
2.4.3. Synthèse sur l’implantation du critère de non-propagation
2.5. PROBABILISATION DU CRITERE : PRISE EN COMPTE D’UNE DISTRIBUTION DE TAILLES DE DEFAUTS
2.5.1. Choix de la distribution de défauts
2.5.2. Expression de la probabilité de rupture
2.5.3. Vérification de l’implantation du modèle probabiliste
2.5.4. Synthèse de la probabilisation du critère
3. ENRICHISSEMENT DU MODELE PROBABILISTE : PRISE EN COMPTE DE L’HETEROGENEITE DES PROPRIETES MECANIQUES LOCALES
3.1. BIBLIOGRAPHIE
3.1.1. Modèles polycristallins
3.1.2. Fluctuation des champs mécaniques dans le polycristal
3.1.3. Synthèse sur les agrégats polycristallins, leurs modélisations et leurs propriétés
3.2. MISE EN ŒUVRE DES CALCULS ELEMENTS FINIS D’AGREGATS POLYCRISTALLINS 2D ET 3D 
3.2.1. Représentation de la microstructure
3.2.2. Loi de comportement locale
3.2.3. Calculs par éléments finis
3.2.4. Synthèse sur les différents modèles éléments finis utilisés pour les cas tests
3.3. RESULTATS : CARACTERISATION DE LA FLUCTUATION DES CONTRAINTES LOCALES D’ORIGINE MICROSTRUCTURALE
3.3.1. Mise en évidence de l’organisation spatiale de la fluctuation
3.3.2. Caractérisation de l’échelle spatiale de la fluctuation
3.3.3. Synthèse sur l’organisation spatiale de la fluctuation des contraintes locales
3.4. CARACTERISATION DE L’INTENSITE DE LA FLUCTUATION
3.4.1. Procédure de caractérisation
3.4.2. Influence des paramètres de calcul
3.4.3. Effet du chargement sur la fluctuation des contraintes dans le modèle éléments finis du polycristal
3.4.4. Synthèse sur l’intensité de la fluctuation des contraintes locales
3.5. IMPLANTATION DANS LE CRITERE
3.5.1. Dispersion sur le facteur d’intensité des contraintes en pointe de fissure
3.5.2. Dispersion sur la surface seuil du critère de non-propagation
3.5.3. Synthèse sur les effets probabilistes à l’échelle microstructurale
CONCLUSION
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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