La place de la verbalisation en mathématique 

La manipulation dans l’activité mathématique

Le rôle de la manipulation

Dans le dictionnaire Larousse, nous pouvons lire que la manipulation est l’« action de manipuler quelque chose, un objet, un appareil ». Autrement dit, nous pouvons résumer cela en une action réelle sur des objets concrets.
Beaucoup de pédagogues disent qu’il faut faire manipuler les élèves. Bruner qui est lui-même un célèbre psychologue (notamment en psychologie de l’éducation), pédagogue et auteur de plusieurs innovations pédagogiques dit d’ailleurs que la manipulation fait partie de la genèse d’un concept.
Mais pourquoi ? En quoi la manipulation est importante ?
Pour répondre à cette question, nous avons effectué des recherches et voici les propos de quelques pédagogues que nous avons retenu sur la nécessité de manipuler des objets concrets : Murray (2001): « Si nous voulons fonder l’apprentissage des mathématiques sur l’expérience, nous devons présenter aux enfants des outils tactiles avec lesquels ils peuvent apprendre, des occasions d’échanger entre eux et avec l’enseignante ou l’enseignant, et diverses méthodes pour arriver à la bonne réponse. »
Piaget (1973) : « Les jeunes enfants apprennent en faisant, en parlant et en réfléchissant à leurs actions. Ils construisent leur propre connaissance des mathématiques en se servant de matériel concret et de situations naturelles. »
Maxim (1989) : « L’enfant invente sa connaissance des mathématiques en jouant avec des objets ; donc, des expériences directes et concrètes avec de nombreux objets adaptés au niveau de développement de l’enfant sont essentielles à la formation de concepts exacts. » Françoise Bellanger et Aurélie Raoul-Bellanger (2016): « En mathématique, la manipulation a une importance primordiale dans l’élaboration des concepts : elle aide les élèves à se construire des image s mentales et facilite ainsi l’accès à l’abstraction. »
On peut dès lors faire ressortir de ces apports théoriques que premièrement, le recours au matériel est fortement conseillé dans une situation d’apprentissage en mathématiques car il induit un passage par du concret, des mises en situations « naturelles », autre chose que de l’écrit qui peut paraître toujours un peu abstrait et rébarbatif. C’est d’ailleurs ce que nous préconisent l’éducation nationale dans ces programme de 2016 en nous indiquant qu’ « Au cycle 2, on ne cesse d’articuler le concret et l’abstrait. Observer et agir sur le réel, manipuler, expérimenter, toutes ces activités mènent à la représentation, qu’elle soit analogique (dessins, images, schématisations) ou symbolique, abstraite (nombres, concepts). Le lien entre familiarisation pratique et élaboration conceptuelle est toujours à construire et reconstruire, dans les deux sens. » (Bulletin Officiel spécial n°11 du 26 novembre 2015).
Ensuite que la manipulation permet aux élèves de se créer des images mentales, des représentations abstraites de l’objet manipuler. Enfin, que par le biais de la manipulation, on peut faire verbaliser les élèves.
La manipulation entraîne des situations de communication.
Afin d’illustrer nos propos nous vous proposons un schéma synthèse qui reprend les éléments qui mènent à penser que la manipulation favorise la conceptualisation chez les élèves.

La différence entre manipuler et expérimenter

En effet dans les propos précédents deux termes reviennent assez souvent : celui de manipuler et celui d’expérimenter ? Ces deux termes sont souvent assimilés ? Mais veulent-ils dire la même chose ? Quel est leur(s) différences(s) ?
Pour répondre à cette question nous nous suis basés sur les travaux de Thierry Dias docteur en didactique des mathématiques et science de l’éducation et auteur de l’ouvrage Manipuler et expérimenter en mathématiques, paru en 2012 aux éditions Magnard. En effet selon lui les deux termes sont bien différents et la principale différence entre l’expérimentation et la manipulation est le fait que l’expérimentation va avoir un but, une finalité qui est de répondre à une question. Et donc dans une phase d’expérimentation il peut y avoir un moment de manipulation, mais une phase de manipulation qui cherche à répondre à un problème et qui s’inscrit dans un processus d’expérimentation. C’est-à-dire qu’à l’origine on a une question, on cherche des réponses et à un moment on va avoir besoin de manipuler pour répondre à cette question. La manipulation est donc une phase de l’expérimentation. Les deux termes ne sont pas en opposition mais fonctionne nt ensemble. Les gestes de la manipulation sont guidés par l’intention, le raisonnement de l’expérimentation. L’objectif étant toujours le même celui d’aider au passage progressif vers l’abstraction. Passer de je vois à je sais, de l’objet vers le concept. Pour illustrer ce propos nous allons introduire un schéma, que Mr Dias a présenté lors d’une conférence, et dans lequel on comprend bien les relations d’échange qu’entretiennent la manipulation et l’expérimentation :
Afin de résumer ce deuxième paragraphe je trouve important et intéressant de rappeler ce que la recherche identifie comme bienfaits et limites de la manipulation. Le matériel de manipulation donne aux élèves des expériences tactiles, des repères empiriques, qui peuvent les amener et les aider à décrire des concepts, à créer des modèles, à découvrir ce que sont les mathématiques.
Cependant même si la manipulation a une place importante en mathématiques à l’école élémentaire, elle n’est pas une fin en soi, bien au contraire. Une activité mathématique et donc la création d’un concept mathématique ne peut pas se limiter à une manipulation. En effet comme le disait les auteurs de l’ouvrage Apprentissages numériques au CP « la propre de l’activité mathématiques est d’anticiper sur l’action concrète, c’est-à-dire de construire une solution qui va dispenser de la manipulation des objets réels, soit parce que ces objets sont absents dans l’espace et dans le temps, soit parce qu’ils sont trop nombreux, soit parce que leur utilisation amènerait de trop nombreuses manipulations. ». Toujours selon l’équipe de didactique des mathématiques de l’INRP (ERMEL) l’activité mathématique utilise, fait appel à la manipulation antérieur des élèves soit mentalement par le biais d’images mentales soit par le biais du langage en verbalisant les souvenirs d’une manipulation passée, mais ne s’arrête pas au simple fait de manipuler ces objets. L’objectif de l’activité mathématiques que ça soit en géométrie ou non est l’abstraction, la capacité de l’élève de CE1 à raisonner et à se détacher des objets réels. Mais la manipulation et le passage par des objets concret est d’autant plus important qu’à cet âge (6-7 ans) et si on se base sur les travaux menés par Piaget sur le développement de la pensée, l’enfant se situe encore au stade pré-opératoire (de 2 à 6-7 ans), c’est-à-dire qu’il se situe toujours dans le concret, mais qu’il devient capable de se représenter des choses à partir de mots, d’images, il est également capable de se construire des images mentales. Finalement il faut savoir si l’activité mathématique endosse un rôle de description, de découverte dans quel cas elle ne s’inscrit pas dans une démarche expérimentale et ne répond pas aux attentes de l’activité mathématique, ou si elle fait suite à une phase de réflexion , de résolution de problème et sera donc utilisée par les élèves pour valider, vérifier la méthode élaborée.
Mais alors la question qui se pose maintenant c’est comment se construit un concept mathématique ? Comment se construit le processus d’abstraction ? Et c’est ce que nous allons tenter d’éclaircir dans le paragraphe suivant.

La construction de concept mathématique

Qu’est-ce qu’un concept ?

Considérons la discipline des mathématiques comme étant constituée de plusieurs concepts qu’elle souhaite organiser et dont elle étudie les propriétés dans le but ultime de mieux les connaitre et de les rendre opératoires. L’enseignement des mathématiques à l’école primaire vise par conséquent à assurer chez les élèves une certaine maîtrise d’un certain nombre de ces concepts. Mais la question que l’on peut se poser maintenant est de savoir de quoi est constitué un concept ? Comment se construit-il ?

La place de la verbalisation en mathématique

Comme nous avons pu le voir dans le chapitre précédent (1.2. La manipulation dans l’activité mathématique) la place du langage dans l’apprentissage des mathématiques n’est pas négl igeable. En effet reprenons les propos de Murray et Piaget à ce sujet. Murray disait « Si nous voulons fonder l’apprentissage des mathématiques sur l’expérience, nous devons présenter aux enfants des outils tactiles avec lesquels ils peuvent apprendre, des occasions d’échanger entre eux et avec l’enseignante ou l’enseignant, et diverses méthodes pour arriver à la bonne réponse. », Piaget disait lui que « « Les jeunes enfants apprennent en faisant, en parlant et en réfléchissant à leurs actions ». Gérard Vergnaud ira même plus loin dans son ouvrage paru en 2011 en disant qu’il faut faire puis dire « la mise en acte des connaissances précède leur mise en mots, car les savoirs d’actions sont les réponses privilégiées par les enfants en situation d’adaptation à un déséquilibre provisoire engendré par la rencontre d’un problème à résoudre ». Cela est d’ailleurs en accord la théorie des situations didactiques dans laquelle Brousseau propose la construction d’une situation d’apprentissage en quatre phases : phase d’action, de formulation, de validation et d’institutionnalisation. La place de la verbalisation se retrouve ici premièrement dans la phase de formulation dans laquelle les élèves vont expliquer leurs démarches puis dans la phase de validation ou les différentes procédures seront analysées pour retenir celle attendue. La mise en mot a donc un premier rôle, celui d’expliquer les actions faites au préalable. Un second rôle celui de construire des preuves afin de choisir la bonne procédure de résolution du problème initial. Et c’est d’ailleurs un peu ce que nous dit Christian Orange avec le rôle des débats explicatifs dans les situations par problématisation, que nous aborderons plus en détail juste après. En effet dans ces phases de débats les élèves sont amenés à confronter leurs idées, à argumenter, pour à terme soit les écarter, soit les valider. Et ainsi construire la notion en question.
Rappelons-nous également, la place qu’a la maitrise du langage dans le processus de conceptualisation mis en place par Vergnaud. Celui-ci place l’acquisition de toutes les représentations langagières comme étant une des composantes indispensables à l’acquisition d’un concept.

Un cadre d’analyse de la construction du problème du concept du solide

Cadre d’analyse par problématisation, Christian Orange.
Dans son ouvrage intitulé Enseigner les sciences : problèmes, débats et savoirs scientifiques en classe (2001) , Christian Orange fait le lien entre problématisation des notions scientifiques, débats et savoirs scientifiques. En effet dans cet ouvrage on nous dit que :
– Les savoirs scientifiques sont liés à des problèmes explicatifs et que « définir un concept c’est formuler un problème »,
– Mais que ceux-ci ne peuvent se restreindre qu’à leur solution, il cite « la connaissance scientifique se dénature lorsqu’elle efface ou oublie les conditions de sa propre production ».
– Enfin que les savoirs scientifiques ne sont pas des savoirs vrais mais raisonnés, « c’est-à-dire des savoirs ayant un caractère de nécessité (apodicticité) de par la construction du problème qui les organise en articulant des principes explicatifs (registre explicatif) avec des faits d’observation ou expérimentaux (registre empirique) » (Orange C. 2012 p.44).
Il y analyse également et notamment les dyn amiques argumentatives des élèves qui permettent la construction du savoir lors des débats mis en place dans la classe. Dans cet ouvrage il s’intéresse à un type de débat en particulier, celui du débat explicatif qui visent comme son nom l’indique une explication de faits ou de phénomènes. Ce sont des débats dans lesquels les élèves s’engagent en défendant seul ou à plusieurs leurs idées.

Descriptif de la classe où se déroule le recueil de données

Nous avons choisi d’effectué le recueil de données et mettre en place la séquence utile à la poursuite de notre travail de recherche dans une classe de CE1-CE2. Cette classe à double niveau est actuellement composée de 13 élèves en classe de CE1 (6 garçons et 7 filles) et de 12 élèves en classe de CE2 (5 garçons et 7 filles). Nous avons choisi d’effectué le recueil de données exclusivement auprès des élèves de CE1.
Lors de la séance l’enseignant a séparé le groupe classe des CE1 en 2 groupes de 4 et 1 groupe de 5. Nous avons choisi de travailler en petits groupes et non en individuel pour leur permettre de confronter leur point de vue lors des divers moments d’échanges et de discussions au sein même du groupe de 4. Et nous avons opté pour des groupes de 4 ou de 5, pour avoir des groupes suffisamment restreints et ainsi faciliter les échanges entre les élèves et permettre à chacun d’avoir l’occasion de prendre la parole et d’exposer son point de vue dans le groupe.

Présentation de la première séance d’apprentissage

Pour notre travail de recherche nous avons uniquement recueilli les données lors la première séance. C’est pourquoi nous allons maintenant décrire plus en détail le déroulement de cette séance. Cette séance a été divisée en deux temps qui ont été fait à différents moments de la journée. Un premier temps qui comprenait les phases 1 à 3 a été réalisé au cours de la matinée, entre 10h00 et 10h40, puis un deuxième temps en fin de journée, entre 15h30 et 16h00 avec la phase 4 et 5. Voici en quelques lignes la description des différentes phases de cette séance :
Phase 1 de mise en activité, durant laquelle le professeur repartis premièrement les élèves en groupe de 4 ou 5 autour des tables. Il annonce ensuite la nouvelle notion qu’ils vont travailler ensemble : qui est celle des solides, qu’il note également au tableau. Il explique ensuite aux élèves le contexte de travail de l’activité qui va suivre : « Chaque groupe va avoir devant lui 10 solides, 10 objets.
Dans cette collection de 10 solides il y a un intru. Il va falloir retrouver le solide qui est l’intru et expliquer comment vous avez fait pour savoir que c’était lui. Pour cela je vais vous laisser observer, toucher … les solides, puis nous en disc uterons ensemble. » Suite à cela il a distribué les lots de solides à chaque groupe et laissé les élèves manipuler et chercher l’intru pendant un temps limité de 10 minutes.
La deuxième phase de cette séance était donc celle du débat. En effet après avoir laissé les élèves manipuler le matériel pendant une dizaine de minutes, il était question d’avoir un temps d’échange pour nous permettre de retrouver l’intru.
L’enseignant pose donc ensuite la question suivante afin de lancer le débat : « Sans donner le nom de l’intru j’aimerai savoir comment vous comptez vous y prendre pour trouver l’intru ? Comment faire pour le trouver ? ». L’objectif de cette phase était d’identifier la caractéristique spécifique de l’intru (non polyèdre) et la caractéristique commune à tous les autres solides (polyèdres). Durant ce débat il note toutes les propositions faites par les élèves au tableau.
Une fois le débat clos, la troisième phase se met en place. Pour cela le professeur demande aux élèves de créer une affiche sur laquelle ils vont écrire le nom du solide (ou la marque de l’emballage dans le cas où le nom du solide est difficilement identifiable) qu’ils pensent être l’intru, et pour justifier leur choix d’écrire également la différence de leur intru et le point commun de toutes les autres formes.
Durant cette phase les élèves ont accès à leur collection d’objets.
La phase 4 consiste à une mise en commun des affiches de chaque groupe.
Pour cela chaque groupe vient présenter son travail aux autres, la classe valide le raisonnement et notamment si leur raisonnement permet bien de retrouver un unique intru.
L’ultime phase est celle de l’institutionnalisation, l’enseignant met un nom sur les deux familles de solides que les groupes ont pu identifier : l’intru fait partie des non polyèdres car toutes ses faces ne sont pas des polygones, et les autres font partie de la famille des polyèdres car toutes leurs faces sont des polygones.
Cf : Fiche de préparation « Séance 1 : les polyèdres et non polyèdres » (annexe n°3)

Présentation du matériel de manipulation

Pour cette séance et au regard de notre travail autour de la manipulation, nous avons naturellement souhaité travailler autour de solides réels, et non à partir de représentations fictives (photos, dessin en représentation cavalière …). Pour cela nous avons choisi d’utiliser différents emballages qui constitueront nos collections de solides. Nous avons donc recueilli en grand nombres d’emballages de toutes formes et de toutes tailles pour permettre aux élèves d’avoir accès à des solides différents des solides prototypiques qui peuvent être proposés dans d’autres ressources pédagogiques. Et surtout car nous voulions que dans chaque collection les solides soient tous différents.

Le nombre de solides

Le nombre de solides présents dans les lots proposés aux élèves doit également être réfléchi. En effet une trop grande quantité d’objets mise à disposition des élèves risquerait de les perdre et de rendre la tâche de recherche de l’intru extrêmement compliquée pour leur niveau. Et à l’inverse un nombre trop restreint de solides proposé rendrait la tâche trop simple, et même non concluante car pour trouver l’intru il faut qu’il soit le seul à être unique, donc cela signifie que chaque famille de solides présente dans la collection doit être obligatoirement représenté par au minimum deux solides. Nous avons donc choisi de proposer à chaque groupe une collection, un lot de 10 solides, dont voici la composition.

Caméra, où la positionner et pourquoi ?

Afin de recueillir les données émises lors du débat nous avons choisi de faire un enregistrement de celui-ci, ce qui nous permettra ensuite d’en faire une retranscription, que nous analyserai dans le chapitre suivant (4. Trace d’activité, transcription des échanges analysés).
Pour enregistrer le débat au cours de la séance nous avons choisi d’utiliser une caméra et de le filmer. Cela nous a permis entre autres de faciliter le travail de retranscription mais également de pouvoir voir si les élèves touchaient ou faisaient visuellement ou manuellement allusion aux objets durant le débat. Nous avons choisi de positionner la caméra à l’avant de la classe, près du tableau, et tournée vers les élèves pour pouvoir voir ce qu’ils font, qui prend la parole …

Analyse des traces d’activités et des débats

Dans cette quatrième partie il va être question d’analyser, au regard des hypothèses soulevées dans la deuxième partie de ce mémoire (2. Problématique et hypothèse de recherche), les données que nous avons pu recueillir, et dans la mesure du possible d’en tirer des conclusions qui nous permettraient de répondre à notre problématique : Comment la manipulation permet-elle aux élèves de CE1 d’identifier des contraintes empiriques pour construire le concept de solide ?

Structure argumentative des interactions langagières d’une classe de CE1

Afin de rendre compte de la richesse et des apports produits par les échanges réalisés par les élèves de CE1 et l’enseignant, lors du débat sur la reconnaissance de l’intru dans une collection de solides, nous avons décidé de travailler sur l’enregistrement recueilli et de construire un schéma reprenant la structure argumentative de ce débat.
Cette structure permet de faire apparaitre et ressortir toutes les thèses apparues lors du débat, mais aussi les approbations et objections évoquées lors des interactions.
Afin de faciliter la lecture et la compréhension du schéma, voici la légende qui a permis de construire les liaisons entre les différents échanges du débat.

Table des matières
Introduction
1. Cadre théorique 
1.1. La géométrie à l’école primaire
1.1.1. Les programmes
1.1.2. Le concept de solide
1.2. La manipulation dans l’activité mathématique
1.2.1. Le rôle de la manipulation
1.2.2. La différence entre manipulation et expérimentation
1.3. La construction d’un concept en mathématique
1.3.1. Qu’est-ce qu’un concept ?
1.3.2. La place de la verbalisation en mathématique
1.4. Un cadre d’analyse au cœur de la construction du concept de solide
2. Problématique et hypothèses de recherche 
3. Méthodologie de recueil de données 
3.1. La méthode des situations forcées
3.2. Descriptif de la classe où se déroule le recueil de données
3.3. Présentation de la séquence et de la séance
3.4. Présentation du matériel de manipulation
3.5. Caméra, où la positionner
3.6. Note des documents à recueillir
4. Analyse des traces d’activités et des débats 
4.1. Structure argumentative des interactions langagières d’une classe  de CE1
4.2. Des obstacles empêchant la problématisation
4.2.1. Une consigne, une compréhension différente
4.2.1.1. La notion de solide
4.2.1.2. La notion d’intru
4.2.2. Une collection, des intrus multiples
4.3. Place des interactions langagières dans la conceptualisation du solide, chez les élèves de CE1
4.4. Les affiches : reste-t-il des traces des échanges entre les élèves de CE1
Conclusion 
Bibliographie
Annexes 
4 ème de couverture 

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