La nucléation et de la propagation de la fissure cohésive couplée avec la plasticité

Modèles de plasticité

   La plasticité est un phénomène non-linéaire particulièrement important de la mécanique de résistance des matériaux. Plusieurs travaux expérimentaux, analytiques et numériques dans la littérature ont pour but de modéliser le comportement élasto-plastique du matériau. La phénoménologie de plasticité et sa modélisation sont étudiées dans [Lubliner, 2008]. Les modèles mathématiques de la plasticité sont proposés, comparés et discutés dans les travaux de [Nguyen, 2000;Han et Reddy, 2012]. L’implémentation numérique du comportement élasto-plastique du matériau est référencée à [Simo et Hughes, 2006]. A travers ces travaux, les concepts du matériau standard généralisé, de l’équilibre thermodynamique, des procédures irréversibles avec les variables internes sont introduits pour la plasticité. En particulier, le critère de plasticité est souvent modélisé par une limite d’élasticité dans le plan des contraintes. Évidemment, plusieurs choix de cette limite d’élasticité sont possibles. Parmi ces choix, le critère de plasticité de Von-Mises

Couplage entre la plasticité et la mécanique de la rupture

  Même si plusieurs modèles de plasticité et de rupture sont proposés et développés depuis longtemps dans la littérature, le couplage entre ces deux phénomènes mécaniques non-linéaires est encore en débat. Les résultats prometteurs sont obtenus dans les travaux concernant le couplage entre la plasticité et les modèle continus d’endommagement. Dans la première approche, [Lemaitre et Chaboche, 1994; Mazars et Pijaudier-Cabot, 1989] ont introduit le concept de la contrainte effective afin de coupler les mécanismes de plasticité et d’endommagement interne. Néanmoins, cette approche conduit en général aux matrices de rigidité tangentes nonsymétriques. La deuxième approche du couplage plasticité-endommagement consiste à faire varier les critères de plasticité et d’endommagement en fonctions des variables internes. [Einav et al., 2007] montrent que le problème de couplage peut être formulé par deux potentiels dépendant des variables d’état. [Alessi et al., 2014; Alessi et al., 2015] étudient les influences de la plasticité sur le modèle d’endommagement à gradient dans le cadre variationnel. Dans ces travaux, la contrainte critique de plasticité est une fonction décroissante de la variable interne d’endommagement. Une autre famille de modèles de couplage plasticité-rupture considère la présence d’une surface de discontinuité au sein de la structure et construit une solution élastoplastique en fond de fissure afin de s’affranchir la question concernant la singularité de contrainte. [Hult et McClintock, 1956; McClintock et Irwin, 1984] supposent que le champ de contrainte dans le matériau est borné par le critère de plasticité. Sachant que σ ∼ KI/√πr (où KI désigne le facteur d’intensité de contrainte en mode I en pointe de la fissure), une zone plastifiée est présente dans un voisinage de la pointe de la fissure. La taille et la forme de cette zone sont étudiées numériquement dans [Rice et Rosengren, 1968]. Ce chapitre est consacré à l’étude de l’initiation et la propagation de fissure cohésive en prenant en compte le comportement élastoplastique du matériau. L’approche variationnelle est utilisée dans notre étude, ainsi la phase élastique est suivie de la phase élastoplastique, puis la fissure cohésive s’initie au sein de la structure. Les équations d’équilibre, les conditions aux limites et également les critères sont déduits grâce à la condition de stabilité locale d’ordre 1. En plus, la condition de stabilité locale d’ordre 2 nous permet de considérer la stabilité de la solution, on verra que celle-ci dépend de la taille de la structure. Dans un premier temps, les solutions analytiques du problème de la barre unidimensionnelle de comportement élastoplastique sous traction simple s’expriment explicitement et sont comparées avec le cas purement élastique présenté dans [Charlotte et al., 2006]. En conséquence, les influences de la plasticité sur le critère d’initiation de fissure cohésive et sur la réponse globale sont mises en évidence. Dans un deuxième temps, les formulations du problème généralisé tridimensionnel sont développées. La relation entre les critères d’initiation de fissure cohésive et de plasticité dans le plan des contraintes est mise en discussion. La stabilité de la réponse est formulée grâce à la condition de stabilité locale d’ordre 2 et le coefficient de Rayleigh.

Nucléation et propagation de fissure à partir d’un point régulier

   Le problème considéré dans ce chapitre est similaire à celui étudié dans [Dang et al., 2013;Dang et al., 2014] mais la structure est différente. En effet, on suppose que la structure ne contient ni entaille ni coin qui peuvent produire de singularités de contraintes dans la solution élastique. Ainsi, le champ de contrainte de la réponse élastique est régulier et borné, mais non-uniforme. Considérant une structure symétrique soumise à un chargement croissant monotonement et adoptant la loi cohésive de type Dugdale (ou Barenblatt), une fissure cohésive apparaît au point matériel où la contrainte normale est maximale lorsque le chargement atteint la valeur citique. La question posée est l’étude de la nucléation et la propagation de fissure en soulignant les effets du gradient du champ de contrainte. L’évolution de la fissure contient deux phases, dont une de fissure purement cohésive suivie d’une autre de fissure partiellement non-cohésive. Dans la première phase, la fissure cohésive se propage progressivement et la longueur de fissure est une fonction continue régulière du paramètre de chargement. L’évolution de la fissure cohésive est contrôlée par la dérivée au second ordre du champ de contrainte. Dans la deuxième phase, lorsque le chargement atteint la valeur critique telle que l’ouverture de la fissure au centre de fissure atteigne δc, une partie non-cohésive est présente au centre de la fissure et la dernière se propage brutalement, i.e. la longueur de fissure devrait sauter à une valeur liée à la longueur caractéristique du gradient de contrainte. Après le saut de la longueur de fissure, la partie cohésive devient négligeable. On peut également utiliser ces résultats afin d’étudier les effets des défauts pré-existants au sein de la structure sur l’évolution de fissure. Le principal objectif du chapitre est d’obtenir des résultats sous la forme analytique dans le cas de la fissure de type Dugdale et de formuler la méthode semi-analytique dans le cas de la fissure de type Barenblatt en utilisant la technique à deux échelles et l’analyse complexe.

Sensibilité aux défauts pré-existants

   Jusqu’à maintenant, toute notre analyse est réalisée dans le cas idéal dans lequel la structure est homogène et ne contient aucun défaut avant d’être soumise au chargement. Ce cas est appelé le cas parfait en opposition au cas avec un défaut pré-existant. Dans cette partie du chapitre, on considère le cas où le défaut correspond à une coupe initiale le long l’axe x2 = 0, centrée à 0 et de mi-longueur a0 < `. Autrement dit, on suppose que la structure contient une fissure non cohésive pré-existante (−a0, a0) × {0} dont la longueur est un paramètre. La réponse purement élastique n’est plus une solution satisfaisant à la condition de stabilité locale et la zone cohésive de type Dugdale devrait s’initier en pointes du défaut x1 = ±a0 dès que le chargement est appliqué, i.e. t > 0. La longueur totale de la fissure est notée 2a. Le facteur d’intensité de contrainte devrait s’annuler en pointes des zones cohésives x1 = ±a selon la Proposition 5. En supposant que la longueur totale de la fissure est toujours très petite devant les dimensions du domaine, i.e. a0 < a L, on peut utiliser l’approche à deux échelles présentée dans la Section 2.3.2. En particulier, le facteur d’intensité KI [t, a, b] correspondant au temps t, la mi-longueur totale de la fissure a et la mi-longueur de la zone non-cohésive b est toujours donné par l’expression (2.40). Donc, la relation entre a, b et t pour que le facteur d’intensité de contrainte s’annule écrite dans (2.41) est toujours valable. De même, l’ouverture de la fissure en pointe b, dénotée par Ju[t, a, b]2K(b), est toujours donnée par (2.43). Deux relations nous permettent à étudier l’évolution de la fissure avec un défaut pré-existant sous un chargement croissant monotonement.

Méthode de Lagrangien augmenté pour les éléments cohésifs d’interface

   Les éléments cohésifs d’interface consistent à une couche d’éléments finis insérés le long de la fissure potentielle qui permet de modéliser la discontinuité du champ de déplacement. La loi de comportement mécanique volumique de la structure hors de cette couche d’éléments est supposée indépendante de la présence de la fissure. L’implémentation de la technique d’éléments cohésifs d’interface dans les simulations d’évolution de fissure présente des avantages importants. D’une part, l’approche variationnelle du modèle de zone cohésive avec deux paramètres supplémentaires, contrainte critique cohésive σc et la valeur critique du taux de restitution d’énergie Gc, nous donne une description complète de l’initiation à la propagation de fissure. En mettant en place le coefficient pénalisation, on pourrait en construire une formulation de Lagrangien augmenté afin de s’affranchir la difficulté concernant la non-différentiabilité de la densité d’énergie surfacique de fissure en fonction du saut de déplacement. D’autre part, pour la technique où le saut de déplacement est possible à travers n’importe quel élément, il est très difficile à assurer la convergence de la simulation dont le résultat dépend éventuellement du maillage. Ainsi, même si l’hypothèse du chemin de fissure prédéfini limite nos études concernant la direction variée de fissure, elle nous permet de traiter de manière fiable et robuste plusieurs problèmes industriels. Ainsi, la méthode de Lagrangien augmenté pour les éléments cohésifs d’interface admet trois hypothèses suivantes
• Chemin de fissure prédéfini : la fissure s’initie et se propagation selon la loi cohésive seulement sur les éléments d’interface pré-insérés.
• Petits déplacements : cette hypothèse est valable pour le matériau élastique fragile et peut être couplée avec la réactualisation de géométrie pour le matériau élastoplastique.
• Loi de comportement volumique indépendante des éléments d’interface : dans le cas du matériau élastique fragile, la relation linéaire entre les champs de contrainte et de déformation reste valable avec le tenseur d’élasticité inchangé. Dans le cas du matériau élastoplastique,le tenseur d’élasticité et la loi de plasticité restent les même lors de l’évolution de fissure.

Branche partiellement non cohésive

   Lorsque le saut de déplacement normal au centre de la fissure atteint δc, le paramètre de chargement t vaut ti et la partie non cohésive s’initie à l’origine O. Néanmoins, la simulation ne peut pas être convergente dès l’apparition de la partie non-cohésive, i.e. dès le début de la branche partiellement non-cohésive, même si le pilotage du chargement présenté dans l’introduction est mis en place. Cela vient du fait que la longueur et le saut de déplacement normal devraient sauter brutalement à cet instant. Cette évolution discontinue de la fissure a été discutée dans le chapitre 2 des calculs analytiques. En effet, le snap-back de la courbe mi-longueur de la fissure-paramètre de chargement a(t) et le principe d’irréversibilité conduit à un saut brutal de a à l’instant ti (voir la remarque 16 du chapitre 2).

Table des matières

Introduction générale
1 Initiation et propagation de la fissure cohésive couplée avec la plasticité  
1.1 Introduction 
1.1.1 Du modèle classique de la mécanique de la rupture à l’approche variationnelle
1.1.2 Minimisation locale d’énergie – Modèles de zone cohésive
1.1.3 Modèles de plasticité
1.1.4 Couplage entre la plasticité et la mécanique de la rupture
1.2 Étude d’une barre unidimensionnelle sous traction
1.2.1 Comportement élastoplastique de la barre, loi cohésive et chargement
1.2.2 Formulations énergétiques
1.2.3 Condition de stabilité locale d’ordre 1
1.2.4 Condition de stabilité locale d’ordre 2
1.3 Formulations du cas tridimensionnel 
1.3.1 Comportement élastoplastique de la structure tridimensionnelle et formulation énergétique
1.3.2 Condition de stabilité locale d’ordre 1
1.3.3 Condition de stabilité locale d’ordre 2
1.4 Conclusion du chapitre 
2 Effets du champ de contrainte non-uniforme 
2.1 Introduction 
2.1.1 Nucléation de fissure et stabilité de l’évolution de fissure utilisant le modèle de zone cohésive
2.1.2 Nucléation et propagation de fissure à partir d’un point régulier
2.2 Description du problème et hypothèses
2.2.1 La structure, son comportement élastique et le chargement
2.2.2 Symétrie et hypothèses de régularité
2.2.3 La loi cohésive de type Dugdale
2.2.4 Formulations de l’approche variationnelle de l’évolution de fissure
2.3 Résolution du problème d’évolution de fissure 
2.3.1 Réduction du problème avec les hypothèses de symétrie
2.3.2 Calculs analytiques avec l’approche à deux échelles
2.3.3 Représentation des trois branches
2.3.4 Discussion
2.3.5 Comparaison avec le modèle de Griffith
2.4 Généralisation du problème par la série de distribution de contrainte normale
2.4.1 Calculs analytiques avec l’approche à deux échelles
2.4.2 Représentation des trois branches dans des cas particuliers
2.5 Généralisation du problème avec la loi cohésive de type Barenblatt
2.5.1 La loi cohésive de type Barenblatt
2.5.2 Formulation des calculs avec l’approche à deux échelles du cas général de la loi cohésive de type Barenblatt
2.5.3 Cas particulier de la loi cohésive linéaire de type Barenblatt
2.6 Conclusion du chapitre
2.7 Le problème local général et sa résolution par l’analyse complexe 
3 Mise en œuvre numérique dans Code_Aster 
3.1 Introduction des modèles numériques 
3.1.1 Méthode de Lagrangien augmenté pour les éléments cohésifs d’interface
3.1.2 Méthode du pilotage du chargement
3.2 Initiation et propagation de fissure cohésive en mode mixte
3.2.1 Post-traitement – Critère d’amorçage cohésif multidimensionnel
3.2.2 Propagation de fissure cohésive en mode mixte au sein du matériau élastique
3.3 Effets de la contrainte non-uniforme 
3.3.1 Branche élastique
3.3.2 Branche purement cohésive
3.3.3 Branche partiellement non cohésive
3.4 Conclusion du chapitre 
4 Cas d’application industriel 
4.1 Introduction 
4.2 Essais expérimentaux 
4.2.1 Description de la maquette de grandes dimensions
4.2.2 Installation de l’essai de flexion 4 points
4.2.3 Réponse globale de la maquette
4.3 Simulation numérique utilisant le modèle de zone cohésive 
4.3.1 Maillage avec éléments cohésifs d’interface
4.3.2 Mise en œuvre de la simulation numérique
4.3.3 Résultats de la simulation numérique
4.4 Conclusion du chapitre
Conclusion et Perspectives

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