La méthode du maximum de vraisemblance

La méthode du maximum de vraisemblance

Contribution principale

L’objectif principal de ce chapitre est d’étudier le comportement asymptotique des estimateurs des paramètres de dépendance des modèles de Skellam bivariés 8S1 et 8S2. Le premier volet de ce chapitre est consacré à l’étude des lois asymptotiques des estimateurs des moments des paramètres de dépendance des lois 8S1 et 8S2 identifiés par Genest & Mesfioui (2014). Des expressions explicites des variances asymptotiques de ces estimateurs sont données. La vitesse à laquelle ces approximations deviennent valables est ensuite mesurée par voie de simulation.
Le deuxième volet du chapitre concerne l’étude des estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres des lois 8S1 et 8S2 . Dans un premier temps, nous présentons les équations normales qui conduisent à ces estimateurs. Nous montrons ensuite la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs. Nous présentons en outre des résultats de simulation permettant de valider les formules de variances obtenues.
Ce chapitre est structuré comme suit. Les sections 3.1 et 3.2 décrivent le comportement asymptotique des estimateurs des moments des paramètres de dépendance des modèles 8S1 et 8S2 . Les sections 3.3 et 3.4 montrent ensuite comment calculer les estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres de ces deux modèles. Puis, leur comportement asymptotique respectif est étudié dans les sections 3.5 et 3.6. Enfin, des comparaisons d’efficacité entre les estimations des moments et du maximum de vraisemblance sont présentées à la section 3.7. Certains détails concernant le calcul de la variance limite des estimateurs à vraisemblance maximale des paramètres du modèle 8S2 sont consignés dans une annexe.

Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du modèle BS1

Le but de cette section est de déterminer la loi asymptotique de l’estimateur des moments du paramètre de dépendance 0 du modèle 851(0; ),11 , ),21; ),12 , ),22). Pour ce faire, nous aurons recours au résultat suivant, qui énonce une version multivariée du théorème central limite et la transformation de sa limite par la méthode Delta.
Proposition 3.1.1. Soit Xl, X 2 , … une suite de vecteurs aléatoires mutuellement indépendants issus d’une loi en dimension d dont tous les moments d’ordre 2 sont finis. Pour tout n E N, soit X n = (Xl + … + X n ) ln. Soit en outre M = E(Xn ) . Alors il existe une matrice L; de taille d x d telle que, quand n -+ 00,

Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du modèle BS2

L’objectif de cette section est d’établir la loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres de dépendance du modèle de Skellam bivarié BS2 donnés par (2.6) et (2.7). Pour ce faire, nous allons étudier le comportement asymptotique du vecteur des estimateurs des moments défini par ên = (ên l , ên2) .
Proposition 3.2.1. Soit (Xl, X 2), (X 11 , X12), (X2l , X 22 ), … une suite d’observations mutuellement indépendantes de loi BS2 . Soit ên = (ê n l , ên2 ) T l’estimateur des moments du paramètre de dépendance 8 = (81, 82)T de la loi, dont les composantes sont définies par les équations (2.6) et (2.7). Quand n —+ 00

Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BS1

Nous allons maintenant examiner comment il est possible d’estimer les paramètres de la loi de Skellam bivariée de première espèce au moyen de la méthode du maximum de vraisemblance. À cet effet, soit (Xn , X I2 ), . .. , (Xn1 , Xn2) un échantillon aléatoire provenant de la loi BS1(B; Àn, À21 ; À12, À22).

Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BS2

Nous allons maintenant établir les équations normales permettant d’estimer les paramètres Àl1 , À21 , À12, À22 , el et e2 par la méthode à vraisemblance maximale pour le modèle BS2. À cet effet, soit (Xll, X12 ) , … , (Xnl , Xn2) un échantillon aléatoire provenant de la loi BS2(01 , O 2; Àll’ À2l ; À12 , À22

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Table des matières

Résumé
1 La loi de Skellam univariée
1.1 Définition et propriétés de base
1.2 Autres représentations de la loi de Skellam
1.3 Estimation des paramètres
1.3.1 La méthode des moments
1.3.2 La méthode du maximum de vraisemblance
1.4 Loi asymptotique des estimateurs à vraisemblance maximale
1.5 Tests du rapport des vraisemblances maximales
2 La loi de Skellam bivariée
2.1 Définition et propriétés de base
2.2 Méthodes d’estimation des paramètres
2.2.1 La méthode des moments
2.2.2 La méthode du maximum de vraisemblance
2.3 Modèles de Skellam avec véritables paramètres de dépendance
2.3.1 Modèle de Skellam bivarié de première espèce
2.3.2 Modèle de Skellam bivarié de deuxième espèce
2.3.3 Modèles à dépendance négative
2.4 Estimation des paramètres des lois BSI et BS2
2.4.1 Estimation du paramètre (J pour le modèle BSI
2.4.2 Estimation des paramètres (JI et (J2 pour le modèle BS2
3 Contribution principale
3.1 Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du modèle BSI
3.2 Loi asymptotique des estimateurs des moments des paramètres du modèle BS2
3.3 Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BSI
3.4 Estimateurs à vraisemblance maximale des paramètre du modèle BS2
3.5 Loi asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle BS1
3.6 Loi asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle BS2
3.7 Comparaison entre les deux approches
Bibliographie