La géométrie et sa démonstration
SYNTHÈSE DU FONCTIONNEMENT DE SYSTÈMES TUTORIELS POUR L’EXERCICE DE LA DÉMONSTRATION EN GÉOMÉTRIE
Geometry Tutor (Anderson, Boyle, et Yost, 1985; Ritter, Towle, Murray, Hausmann et Connelly, 2010):
Une première version de Geometry Tutor a été publiée en 1985 et la dernière version analysée date de 2010. Nous allons d’abord décrire la première de ces versions pour ensuite préciser la nature des modifications apportées pour donner lieu à la plus récente.
La fenêtre d’accueil de Geometry Tutor comprend un dessin de figure géométrique qui accompagne l’énoncé du problème ainsi qu’un début de réseau déductif (arbre de démonstration) où sont inscrites les hypothèses et la conclusion du problème. L’élève doit compléter ce réseau d’inférences qui reliera les hypothèses du problème à la conclusion en y ajoutant des noeuds, c’est-à-dire des déductions (conséquents) et des justifications. Ce choix des concepteurs d’organiser la preuve sous forme de graphe avait pour objectif de communiquer la structure logique de la preuve et du raisonnement déductif. Geometry Tutor ne permet pas à l’élève d’ajouter des noeuds au fil de ses envies puisque le système ne permet que le chaînage avant et arrière. Les quelques solutions admises par le système pour chaque problème sont préalablement programmées par un expert didacticien ou un enseignant. Le système tutoriel admet que l’élève explore plusieurs solutions à la fois et effectue une reconnaissance de plan (model-tracing paradigm for instruction) en analysant pas à pas la validité locale des actions de ce dernier et en les comparant aux solutions témoins. Chaque action de l’élève est analysée, et le système tutoriel détermine si elle est correcte ou erronée. Si elle est erronée, le tuteur intervient et offre un indice pour rediriger l’élève vers une des solutions admises. Si l’entrée appartient à une des solutions, le tuteur détermine si cette action est indicative d’un nouveau plan de solution, mais n’intervient pas tant que l’élève ne commet pas d’erreur. Si l’entrée n’appartient ni à une solution ni à une erreur connue ou si l’élève requiert de l’aide, le système tutoriel dicte la prochaine étape du dernier plan reconnu.
Dans la version de 2010, au fur et à mesure que l’élève fait référence aux éléments géométriques de la figure dans les inférences du schéma déductif, ceux-ci sont surlignés à même la figure, qui obtient donc le statut de figure interactive. Quant aux rétroactions du système tutoriel, les inférences erronées sont dorénavant ornées de rouge, ajoutant à l’aspect visuel de la validation. En ce qui a trait à l’accompagnement et à l’aide à la prochaine étape, au lieu de dicter directement la prochaine étape du dernier plan de solution reconnu, la directivité des indices du système tutoriel évolue graduellement.
Angle (Koedinger et Anderson, 1990, 1993)
Le logiciel Angle s’inspire des compétences d’experts en résolution de problèmes de démonstration pour assister l’apprenti géomètre. Son fonctionnement s’appuie sur l’hypothèse que les experts en résolution de problème de démonstration imaginent un plan de résolution (implicit planning, Koedinger et Anderson, 1993), qui est composé de moments clés tirés de la démonstration détaillée. Ces moments remarquables reposent sur l’adéquation entre raisonnement de démonstration et construction géométrique, et correspondent à des constructions intermédiaires qui découlent d’un ensemble de déductions et qui lient une figure de départ (les hypothèses) et une figure finale (la conclusion). Ces constructions intermédiaires sont appelées Diagram configuration (DC) et chaque solution admise pour un problème donné est composée d’un enchainement de ces figures géométriques indicatives d’une étape clé des solutions des experts. En quelque sorte, les DC montrent où l’attention du géomètre était concentrée à un moment précis de la démonstration. Par exemple, si l’utilisateur veut démontrer qu’un segment donné est la médiatrice BH de la base d’un triangle ABC, il peut d’abord identifier la perpendicularité de ce segment BH avec la base AC du triangle avec une construction qui illustre seulement ces deux segments et la relation entre eux. La démonstration détaillée prend donc la forme d’un réseau déductif où énoncés discursifs et figures statiques (dessins) cohabitent. À chaque fois que l’élève soumet un DC, les déductions (liens entre le DC) dont cette configuration intermédiaire découle sont considérées comme prouvées. L’élève peut compléter cet organigramme (graphe) au fil de son exploration du problème et dans l’ordre qui lui plait, et la figure interactive adjacente à la fenêtre du schéma s’anime lorsque l’élève fait mention des éléments figuraux dans sa solution.
L’élève, qui peut explorer plusieurs pistes de solution simultanément, complète une solution lorsqu’il réussit à relier par une suite ininterrompue de DC et de déductions sous-jacentes les hypothèses (figure initiale) à la conclusion (figure finale). À la demande de l’élève, le système tutoriel peut le diriger vers le prochain DC (en chaînage avant) de la solution identifiée comme dominante parmi celles qu’il a travaillées pour ensuite l’aider à compléter le détail des déductions.
Chypre (Bernat, 1993)
Pour ce qui est de Chypre (acronyme pour Conjecture HYpothèse PREuve), l’élève n’y rédige pas de démonstrations comme telles, mais crée plutôt un réseau déductif en soumettant des assertions (hypothèses, conclusions intermédiaires ou finale) découlant de l’examen de l’énoncé du problème et de l’exploration d’une figure dynamique. Ces énoncés sont tirés d’un répertoire limité, et l’élève peut les proposer dans l’ordre qui lui plaît; le système, doté d’un module de déduction automatique, valide de manière locale et autonome le statut logique d’une entrée (prouvée ou non) et ajoute les liens logiques entre les différentes propositions du réseau déductif. Chypre se distingue par sa capacité à identifier la justification à laquelle fait appel chaque inférence et l’ajoute automatiquement au réseau déductif, mais cet atout dépend d’une programmation humaine préalable. De ce fait, l’élève n’a pas à fournir de propriétés ou de définitions pour compléter une inférence ; le conséquent obtient donc le statut de prouvé dès que tous les antécédents nécessaires à l’inférence sont soumis. Le problème est résolu lorsque le réseau déductif est complet et ne contient que des conséquents prouvés. Le module d’aide suggère, sous forme de menu déroulant, les énoncés que l’élève peut sélectionner pour éventuellement générer son réseau déductif. Toutefois, Chypre n’offre pas d’aide du type « prochaine étape » et les affirmations hors contexte ne sont pas identifiées comme telles, ne donnant pas l’opportunité à l’élève de se rendre compte qu’il s’écarte des possibilités de raisonnements valides.
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Table des matières
RÉSUMÉ
ABSTRACT
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES DIAGRAMMES ET DES FIGURES
LISTE DES SIGLES
REMERCIEMENTS
AVANT-PROPOS
INTRODUCTION
CHAPITRE I PROBLÉMATIQUE
1.1 La géométrie et sa démonstration : un regard épistémologique, historique et scolaire
1.1.1 L’origine de la démonstration en géométrie
1.1.2 La transposition didactique
1.1.3 Le raisonnement logico-déductif et la démonstration géométrique en contexte scolaire contemporain : enjeux et obstacles
1.1.3.1 L’enseignement de la géométrie au Québec
1.1.4 Du raisonnement argumentatif vers le raisonnement déductif
1.1.5 La résolution d’un problème de démonstration
1.1.5.1 Le temps didactique et le temps d’apprentissage
1.2 L’enseignement de la démonstration en géométrie et les environnements interactifs d’apprentissage humain
1.2.1 Les micromondes
1.2.1.1 La géométrie dynamique
1.2.2 Les systèmes tutoriels pour le soutien d’élèves en contexte de démonstration en géométrie
1.2.2.1 La théorie des situations didactiques de Brousseau en contexte d’intégration d’un système tutoriel
1.3 L’objectif et les sous-objectifs de recherche (1)
CHAPITRE II CADRE THÉORIQUE
2.1 La Théorie des situations didactiques de Brousseau : la relation a-didactique
2.2 GGBT, d’élément du milieu à espace de travail mathématique
2.2.1 L’espace de travail mathématique et ses genèses
2.2.1.1 Genèse instrumentale : modèle ergonomique
2.2.1.2 Genèses sémiotique et discursive
Chapitre III Cadre méthodologique
3.1 Le paradigme méthodologique : conception dans l’usage d’un espace de travail mathématique
3.2 La méthode
3.2.1 Méthodologie déductive et inductive
3.2.2 La collecte et l’analyse des données
3.2.2.1 Recherche ethnographique et entretien d’explicitation
3.2.2.2 Analyse par théorie ancrée et sensibilité expérientielle du chercheur
3.3 Enquêtes de terrain : objectifs et choix méthodologiques
3.3.1 Première phase expérimentale : objectifs et méthodologie
3.3.1.1 Analyse systémique des relations : traitement des données et analyse par catégories conceptualisantes
3.3.2 Seconde phase expérimentale : objectifs et méthodologie
3.3.2.1 Analyse par questionnement analytique
ARTICLE 1
CHAPITRE IV UNE ÉTUDE COMPARATIVE DES SYSTÈMES TUTORIELS POUR L’EXERCICE DE LA DÉMONSTRATION EN GÉOMÉTRIE PLANE : UN EXAMEN DU PROBLÈME DE RECHERCHE POUR LE DESIGN DE GEOGEBRATUTOR (Michèle Tessier-Baillargeon, Nicolas Leduc, Philippe R. Richard et Michel Gagnon)
4.1 Introduction
4.2 La directivité du système : un jalon pour le classement d’EIAH pour l’exercice de compétences mathématiques
4.3 Une synthèse des résultats de l’examen des systèmes tutoriels sélectionnés
4.3.1 Intégration de la figure géométrique
4.3.2 Structure prévue pour l’exercice du raisonnement de démonstration géométrique
4.3.3 Intervention tutorielle
4.4 Synthèse du fonctionnement de systèmes tutoriels pour l’exercice de la démonstration en géométrie
4.4.1 Geometry Tutor (Anderson, Boyle, et Yost, 1985; Ritter, Towle, Murray, Hausmann et Connelly, 2010)
4.4.2 Angle (Koedinger et Anderson, 1990, 1993)
4.4.3 Chypre (Bernat, 1993)
4.4.4 Mentoniezh (Py, 1994, 1996, 2001)
4.4.5 Cabri-DEFI (Luengo et Balacheff, 1995) et Cabri Euclide (Luengo, 2005)
4.4.6 Baghera (Webber, Bergia, Pesty et Balacheff, 2001)
4.4.7 Turing (El-Khoury, Richard, Aïmeur et Fortuny, 2005)
4.4.8 Advanced Geometry Tutor (Matsuda et VanLehn, 2003)
4.4.9 Agent Geom (Cobo, Fortuny, Puertas et Richard, 2007)
4.4.10 Geometrix (Gressier, 2011)
4.5 Synthèse et conclusion
4.5.1 Perspectives pour le développement de GGBT
ARTICLE 2
CHAPITRE V MODÉLISATION D’INTERVENTION ENSEIGNANTE POUR LE DÉVELOPPEMENT D’UN SYSTÈME TUTORIEL : UNE EXPÉRIENCE DIDACTIQUE À L’ÉCOLE SECONDAIRE AVEC LE SYSTÈME GEOGEBRATUTOR (Michèle Tessier-Baillargeon, Nicolas Leduc, Philippe R. Richard et Michel Gagnon)
5.1 Introduction et problématique
5.2 Les interactions au sein du système didactique : un cadre théorique a priori
5.3 Le premier cycle de développement de GGBT : l’approche méthodologique
5.3.1 Une première version de GGBT
5.3.2 Première phase expérimentale : démarche d’investigation et collecte de données ethnographiques
5.3.2.1 Démarche d’investigation
5.3.2.2 Collecte de données
5.3.3 Traitement et analyse des données empiriques, résultats et modèles émergents
5.3.3.1 Validation des graphes de solutions et de l’usage de GGBT
5.3.3.2 Modélisation d’une structure tutorielle pour GGBT
5.4 Conclusions sur le premier cycle du développement de GGBT
ARTICLE 3
CHAPITRE VI LE DESIGN ET L’ANALYSE DE GEOGEBRATUTOR : GENESE D’UN ESPACE DE TRAVAIL GEOMETRIQUE IDOINE POUR L’EXERCICE DE LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE (Michèle Tessier-Baillargeon, Philippe R. Richard, Nicolas Leduc et Michel Gagnon)
6.1 Introduction
6.2 GGBT : Plus qu’un milieu d’aide, un espace de travail Géométrique
6.2.1 Les genèses et les démarches de résolution
6.2.2 Les conditions pour un ETG idoine : une analyse a priori
6.2.2.1 La géométrie cognitive
6.3 Seconde phase de validation de GGBT
6.3.1 La seconde version de GGBT, son interface et son fonctionnement
6.3.2 Méthodologie et collecte de données
6.3.3 Analyse des données
6.4 Résultats
6.4.1 Démarche de découverte
6.4.2 Démarche de validation
6.4.3 Démarche de modélisation
6.5 Conclusion : GGBT est un ETG idoine a priori et a posteriori
CHAPITRE VII DISCUSSION ET CONCLUSION
7.1 Retour sur les sous-objectifs de recherche
7.1.1 Premier sous objectif
7.1.2 Second sous objectif
7.2 Retour sur l’objectif principal de recherche
7.3 Bilan des apports et DES enjeux pour la recherche en didactiques
7.4 Conclusion
BIBLIOGRAPHIE
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