LA DETERMINATION DU NOMBRE DES ZEROS D’UN POLYNOME DANS UN DOMAINE CIRCULAIRE

INTRODUCTION

Nous savons que la plupart des théories algèbriques existants sur les polynômes se consacrent éventuellement sur l’irréductibilité et la factorisation (recherche des racines simples ou multiples). Cependant, dans ce mémoire, on se consacre principalement sur le problème de localisation de ces zéros en utilisant la théorie des fonctions analytiques. Dans ce mémoire, on va essayer de donner quelques résultats qui nous permet d’assurer que quelques zéros ou tous les zéros d’un polynôme p donné soient dans un domaine circulaire contenu dans C. Autrement dit, il s’agit de l’étude de la localisation des zéros d’un polynome p de degré n. L’outil principal de cette étude est la théorie de transformation de Moebius. Ce rapport se divise en trois grandes parties. Dans le premier volet nous nous intéressons aux notions de base sur la géométrie des zéros, nous aborderons la transformation conforme, la transformation de Moebius et le principe de l’argument. La seconde partie se consacre à l’arithmétique des domaines circulaires. Le dernier volet se rapporte à la détermination du nombre des zéros de p dans un demi-plan contenu dans C. Dans cette dernière partie, on mettra en évidence la correspondance entre le principe de l’argument et l’indice de Cauchy sur un intervalle. L’objet de ce rapport est donc de mettre en relief les résultats permettant de :
– Localiser les zéros de p.
– Déterminer le nombre des zéros de p dans un demi-plan.

La suite de STURM

Soit {f0, f1, . . . , fm} une suite finie de polynômes réels. Cette suite est appelée suite de STURM sur l’intervalle férmé [α, β] si elle vérifie les 3 conditions suivantes :
(i) f0(α) 6= 0 et f0(β) 6= 0
(ii) Si fk() = 0, 0 ≤ k ≤ m − 1, α ≤ ≤ β alors f1() 6= 0 si k = 0 et fk−1()fk+1() ≺ 0 si 1 ≤ k ≤ m − 1
(iii) fm(x) 6= 0 pour α ≤ x ≤ β
Pour un x arbitrairement choisi dans [α, β], on note par v(x) le nombre de changement de signe de la suite {f0(x), f1(x), . . . , fm(x)}.

CONCLUSION

Au cours de la réalisation du présent mémoire, nous avons pu encore constater l’importance de la théorie des fonctions analytiques dans la résolution et l’approche du problème posé dans ce travail c’est-à-dire à la détermination du nombre des éros d’un polynôme dans un domaine circulaire. De plus, nous savons aussi que les fonctions analytiques sont des outils très puissants dans la modélisation des mouvements des fluides dans un domaine borné c’est-à-dire dans un ouvert connexe borné.

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Table des matières

1 REMERCIEMENTS
2 INTRODUCTION
3 LA REPRESENTATION CONFORME
3.1 Application conforme en un point
3.2 Historique
4 LA TRANSFORMATION DE MOEBIUS
4.1 Notion d’angle à l’infini
4.2 Image d’une droite et d’un cercle par une transformation de Moebius
5 LES ZEROS D’UNE FONCTION ANALYTIQUE
5.1 Fonction méromorphe et le principe de l’argument
5.2 Remarque
6 GEOMETRIE DES ZEROS
6.1 Définition
6.2 Fonction méromorphe et transformation conforme
6.3 Définition
6.4 Application
6.5 Définition
7 ARITHMETIQUE DES DOMAINES CIRCULAIRES
7.1 Problème
7.2 Application
8 NOMBRE DES ZEROS DANS UN DEMI-PLAN
8.1 Changement de signe
8.2 La suite de STURM
8.3 Indice de Cauchy en un point
8.4 Indice de Cauchy sur un intervalle
8.5 Algorithme d’EUCLIDE
8.6 Correspondance entre le principe de l’argument et l’indice de Cauchy sur un intervalle
8.7 Application :POLYNOME STABLE
8.7.1 Définition
8.7.2 Problème
9 CONCLUSION
10 BIBLIOGRAPHIE