LA DETERMINATION DE LA POLARISABILITE MAGNETIQUE DU DEUTERON

INTRODUCTION

                 Actuellement la recherche concernant les constituants fondamentaux de la matière et les phénomènes au niveau microscopique se multiplie. La création des appareils de plus en plus minuscules est une des conséquences de la compréhension du monde microscopique. Les phénomènes se déroulant au niveau microscopique sont un peu spéciaux. En effet, à ce niveau, nous ne pouvons plus mesurer simultanément avec précision la position et l’impulsion des particules. En plus, l’incertitude sur la valeur d’une grandeur physique s’élargit. La théorie la mieux adaptée pour décrire le monde microscopique est la physique quantique. Cette dernière est en pleine évolution de nos jours. En outre, la soif de compréhension du monde microscopique a poussé les physiciens à créer des infrastructures expérimentales (accélérateurs de particules) pouvant explorer la nature de la matière jusqu’à ses éléments les plus élémentaires. Les expériences menées dans les accélérateurs de particules ont révélé l’existence des particules inconnues auparavant. Parmi ces particules figurent les quarks qui sont les constituants fondamentaux des baryons et des mésons. Dans ce mémoire nous utilisons la théorie concernant les quarks afin de déterminer la polarisabilité magnétique d’un deutéron. Pour entreprendre l’étude, nous adoptons le plan ci-dessous. Le premier chapitre donne des informations sur le modèle des quarks. Nous présentons en détail les notions de poids et de racines. Par ailleurs, nous mettons l’accent sur la représentation fondamentale de SU(3) qui est la base du modèle des quarks. Nous dressons aussi une liste des multiplets de SU(3) (sextuplet, octet, décuplet) qui sont essentiels lors de la modélisation des baryons et des mésons. Le chapitre se termine par une discussion des problèmes du modèle et l’introduction d’un nombre quantique : la couleur. Dans le second chapitre, théorie des perturbations, nous distinguons deux types de théories. La première est la théorie des perturbations indépendante du temps. Elle est basée sur l’équation de Schrödinger indépendante du temps. La deuxième est la théorie des perturbations dépendante du temps. Celle-ci est basée sur l’équation de Schrödinger dépendante du temps. Nous évoquons le principe général de ladite théorie qui est le développement en série des quantités cherchées. Nous finirons ce chapitre par la donnée d’un type de perturbation : la perturbation harmonique. Le troisième chapitre concerne l’établissement de l’expression de la susceptibilité généralisée à partir d’un opérateur (grandeur physique) et la fonction d’onde perturbée. Ensuite nous présentons quelques propriétés (de la susceptibilité généralisée) et relations importantes. Nous nous arrêtons sur un exemple de calcul de la susceptibilité généralisée dans le cas d’un oscillateur harmonique linéaire. Enfin, le quatrième chapitre a pour but de déterminer la polarisabilité magnétique d’un deutéron. Nous donnons brièvement la notion de spin (1 2⁄ ) et la liste des fonctions d’onde utilisées. Puis, nous présentons en détail le calcul du moment magnétique d’un proton et d’un neutron. Le chapitre se termine par le calcul de la polarisabilité magnétique du deutéron et l’apport d’une discussion sur le résultat obtenu.

Types de particules

                Les quarks sont les particules élémentaires qui forment tous les baryons et les mésons. Ainsi une combinaison particulière des quarks les caractérise. Toutes les particules se classent en deux grandes familles : les bosons et les fermions. Les premiers sont les particules qui possèdent un spin (moment intrinsèque) entier tandis que les seconds sont des particules qui possèdent un spin demi-entier. Ces deux classes de particules possèdent différentes propriétés. Les bosons sont décrits par des fonctions d’ondes symétriques c’est-à-dire que si on permute deux bosons, la fonction d’onde qui les décrit est la même. En outre, plusieurs bosons peuvent occuper un seul état quantique. En ce qui concerne les fermions, ils sont décrits par des fonctions d’onde antisymétriques c’est-à-dire que leurs fonctions d’onde prennent un signe moins lors de la permutation de deux fermions. Ils obéissent au principe d’exclusion de Pauli c’est-à-dire qu’un seul fermion peut occuper un état quantique.

Perturbation indépendante du temps

                   Les états des systèmes quantiques (particules, atomes) sont décrits par des fonctions d’ondes et chaque fonction d’onde correspond à un niveau d’énergie bien défini. L’ensemble des valeurs des énergies est appelé : spectre. Ce dernier peut être discret ou continu selon la variation de l’énergie. Un état est dit non dégénéré si son niveau d’énergie correspond à une seule fonction d’onde, dans le cas contraire il est dégénéré. Lorsque nous appliquons une perturbation au système, son état change (différent de son état non perturbé) aussi que son niveau d’énergie. L’objectif de la théorie des perturbations est de déterminer les corrections à apporter à la fonction d’onde et au niveau d’énergie du système lorsqu’il est perturbé. Pour ce faire, nous supposons que le système non perturbé est régi par l’équation stationnaire de Schrödinger. Puis nous introduisons la perturbation comme un opérateur qui contribue à l’hamiltonien du système non perturbé 5 6 7. Ensuite, nous utilisons la prescription de Dirac et le développement en série de l’énergie et des coefficients devant les fonctions d’ondes non perturbé.

Discussion

                           La formule utilisée pour déterminer la polarisabilité magnétique découle de la théorie des perturbations. Par ailleurs, l’application de cette théorie requiert quelques conditions. La première condition est qu’il faut que l’énergie de l’excitation extérieure soit de l’ordre du dixième de mégaélectronvolt (MeV). Si l’énergie apportée par l’action extérieure dépasse cette limite, alors la théorie est inadaptée au problème traité. La deuxième  condition concerne la forme de l’hamiltonien. En effet, pour avoir la formule (3.1.12), il faut que la partie perturbée de l’hamiltonien soit de la forme H# = −X’f’, c’est-à-dire que la grandeur physique X’ est en relation linéaire avec l’action extérieure f’. Il ne faut pas oublier que le principe de la théorie des perturbations est la résolution de l’équation d’onde à l’aide d’un développement en série. Dans notre cas, nous n’avons utilisé que le premier ordre de ce développement. Dans tous les calculs, nous avons utilisé la théorie des espaces de Hilbert. En effet, les états sont des vecteurs de ces espaces. En particulier, les états d’une particule forment une base orthogonale. En outre, pour un système composé de plusieurs sous-systèmes, son état est obtenu par le produit tensoriel des états des sous-systèmes. Comme nous travaillons dans le cadre de la mécanique quantique, les grandeurs physiques sont représentées par des opérateurs linéaires hermitiques agissant sur les états. De plus, la valeur de la mesure d’une grandeur physique est la valeur propre de l’operateur correspondant.

CONCLUSION

                 Pour conclure, nous avons vu que les baryons et les mésons sont constitués de quarks. Ces derniers sont des fermions et possèdent des charges électriques fractionnaires. La représentation fondamentale de SU(3), ou plus précisément les poids fondamentaux, sert à modéliser les quarks, c’est-à-dire que les poids fondamentaux sont analogues au couple (isospin, hypercharge) des quarks ou antiquarks. Par ailleurs, nous avons avancé que le groupe SU(3) possède trois multiplets (sextuplet, octet, décuplet). Ils nous permettent de construire les états des baryons et des mésons. La construction des états est basée sur les opérations (produit tensoriel, somme directe) faisant intervenir la représentation de dimension 3 du groupe SU(3). Le modèle des quarks a prédit l’existence de plusieurs baryons et mésons. Pourtant, l’existence de quelques baryons (octet) et mésons (octet) n’était pas confirmée expérimentalement. Voilà pourquoi, les concepteurs du modèle des quarks ont ajouté le nombre quantique de couleur qui résout les problèmes confus du modèle. La théorie des perturbations est la base de notre étude. Elle se divise en outre en deux théories selon la nature du problème : théorie des perturbations indépendantes du temps et celles dépendantes du temps. Cette théorie a résolu beaucoup de problème en physique quantique : détermination des corrections à apporter au niveau d’énergie d’un système quantique et de la fonction d’onde perturbée, étude de l’interaction entre particules. En revanche, elle n’est applicable que si la perturbation extérieure est relativement faible. En effet, le principe de la théorie est de résoudre l’équation d’onde à l’aide d’un développement en série. Ainsi, si la perturbation extérieure est très intense, nous ne pouvons plus utiliser le développement en série. En dépit de cette faiblesse, nous pouvons en tirer plusieurs conséquences. Dans notre travail nous avons pu obtenir l’expression de la susceptibilité généralisée en fonction d’une grandeur physique. La susceptibilité généralisée est très importante puisque d’une part, elle relie l’action extérieure avec la valeur moyenne d’une grandeur physique qui caractérise le système et d’autre part, elle peut être obtenue par mesure expérimentale de la puissance dissipée dans le système étudié. La polarisabilité magnétique est un cas particulier de la susceptibilité généralisée. Elle relie le champ magnétique extérieur avec la valeur moyenne du moment magnétique du système. Dans la détermination de la polarisabilité magnétique du deutéron, nous avons utilisé les états caractérisés par les saveurs des quarks et leur spin. En outre, grâce aux états, nous avons pu obtenir la valeur du moment magnétique du proton et du neutron avec une erreur voisine de 30% pour le neutron et 10% pour le proton. Enfin, l’expression de β(E) que nous avons établi présente deux propriétés. D’un côté, elle comporte une erreur relative entre 5% à 9% pour des faibles énergies et de l’autre côté, elle est une fonction décroissante de l’énergie de l’action extérieure.

Table des matières

Liste des tableaux
Liste des figures
Introduction
1- Modèle des quarks
1.1- Poids
1.1.1- Sous-algèbre de Cartan
1.1.2- Obtention du poids
1.1.3- Poids fondamental et représentation fondamentale
1.2- Racines
1.2.1- Racines positives
1.2.2- Racines simples
1.3- La représentation fondamentale de ()
1.4- Les multiplets de ()
1.4.1- Le sextuplet
1.4.2- L’octet
1.4.3-Le décuplet
1.5- Modèle basé sur la notion de saveur
1.5.1-Types de particules
1.5.2-Correspondance entre SU(3) , l’isospin et hypercharge
1.5.3- Base du modèle des quarks
1.5.4- Prédiction du modèle
1.6- Modèle basé sur la notion de couleur
2- Théorie des perturbations
2.1- Perturbation indépendante du temps
2.2- Perturbation dépendante du temps
2.3- Perturbation harmonique 
3- Susceptibilité généralisée
3.1- Expression de la susceptibilité généralisée
3.1.1- Forme de l’hamiltonien
3.1.2- Valeur moyenne d’une grandeur physique
3.1.3- Susceptibilité généralisée
3.2- Propriétés de la susceptibilité généralisée
3.3- Exemple
4- Polarisabilité magnétique
4.1- Spin
4.1.1- Spineur
4.1.2- Opérateur de spin
4.2- Moment magnétique
4.2.1- Expression du moment magnétique
4.2.2- Détermination du moment magnétique du proton et du neutron
4.3- Polarisabilité magnétique d’un deutéron
4.3.1-Le deutéron
4.3.1- Expression de la polarisabilité magnétique
4.4- Discussion
Conclusion
Bibliographe
A- Algèbre de Lie ()
B- Représentation adjointe
C- Quelques relations utiles

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