Soutenance mémoire
Modes d’oscillation et d’interaction principaux
La principale limitation de la décomposition orthogonale propre est que les modes POD sont construits pour extraire des clichés les structures cohérentes spatiales, sans tenir compte à aucun moment de l’évolution temporelle du système dynamique dans le processus de calcul. Les modes POD sont donc certes optimaux au sens d’une approximation moindres carrés pour représenter « statiquement » les clichés à chaque instant, mais ils ne le sont pas pour reproduire le comportement dynamique du modèle d’ordre élevé. Hasselmann [107] a alors proposé de construire un modèle d’ordre réduit optimal à partir d’une forme générique, de telle manière que les modes ainsi que les coefficients du modèle d’ordre réduit fournissent la meilleure approximation de la solution de référence. À la différence de la projection sur la base des modes POD où seuls les modes étaient optimaux pour approcher les clichés, la méthode fournit ici simultanément les modes et les coefficients du système dynamique réduit. En procédant ainsi, le modèle d’ordre réduit est optimal au sens spatio-temporel et non plus seulement spatial. Les modes obtenus portent le nom de modes d’interaction principaux dans le cas général, et de modes d’oscillation principaux pour les systèmes linéaires. Une revue des applications dans le cas linéaire a été réalisée par Von Storch et al. [242]. La méthode a été développée à l’origine pour l’étude de phénomènes climatiques tels que El Niño pour n’en citer qu’un. La nécessité de compléter l’analyse à partir des modes POD s’est imposée dans ce domaine puisque les systèmes dynamiques mis en jeu présentent des échelles de temps et d’espace très diverses dans lesquelles les caractéristiques spatio-temporelles sont fondamentales.
Construction d’un modèle d’ordre réduit par identification des coefficients
Une dernière manière de construire le modèle d’ordre réduit consiste à identifier les coefficients plutôt que de les calculer analytiquement à partir des expressions issues de la projection des opérateurs du système dynamique sur les modes POD. La principale difficulté consiste à déterminer dans un premier temps la structure des équations du modèle d’ordre réduit dont on cherche les coefficients. Le choix de la projection de Galerkin des équations du modèle d’ordre élevé est particulièrement judicieux puisqu’il découle d’un processus physique. Une fois la forme du modèle d’ordre réduit connue, les coefficients sont déterminés comme les solutions d’un problème inverse. En pratique, le recours à la décomposition orthogonale propre est capital pour réduire le nombre de paramètres à déterminer. Par ailleurs, l’hypothèse d’un modèle d’ordre réduit polynomial est encore une fois fondamentale puisque les coefficients sont alors facilement calculés comme les solutions d’un problème moindres carrés linéaire. La méthode a déjà été employée par exemple par Perret et al. [177] pour obtenir un modèle d’ordre réduit à partir de données expérimentales. Puisque les clichés dont ils disposaient provenaient de résultats expérimentaux pour lesquels aucun système d’équations n’était associé en particulier, les auteurs avaient donc supposé que le modèle d’ordre réduit s’écrivait de la manière la plus générale qui soit comme un système d’équations différentielles ordinaires polynomial au maximum cubique. Lorsque cela est possible, les coefficients identifiés seront de préférence ceux correspondant à la projection de Galerkin afin de préserver le lien physique avec le modèle d’ordre élevé. Cette approche sera qualifiée de méthode d’identification des coefficients du modèle réduit, pour reprendre la terminologie employée par Perret et al. [177]. Elle a très récemment été reprise et améliorée [48, 244], notamment pour régulariser le problème inverse à résoudre. La méthode est robuste puisque les erreurs liées à la troncature de la base POD, ainsi que les erreurs numériques ou de modélisation qui dégradent la réponse des modèles d’ordre réduit POD-Galerkin n’interviennent plus ici. Les coefficients sont directement évalués de manière à s’adapter à la forme pré-supposée des équations et par conséquent aucune phase de correction a posteriori n’est nécessaire. Un autre avantage de la méthode est que le temps de calcul alloué à la construction du modèle d’ordre réduit et notamment à l’évaluation des coefficients du modèle d’ordre réduit est considérablement diminué.
Choix de la base des clichés et du nombre de modes POD
Dans ce paragraphe, l’influence de quelques paramètres entrant dans la construction du modèle d’ordre réduit à partir de la base des modes POD est étudiée. On s’intéresse en particulier au nombre M de clichés employé pour construire l’opérateur de corrélation, ainsi qu’au nombre q de modes POD conservés dans la base de projection. Un troisième paramètre important noté np correspond au nombre de périodes d’oscillation du système sur lequel les clichés sont prélevés. L’influence de ce paramètre est analysée dans l’annexe C.1 pour ne pas surcharger la présentation. Les résultats obtenus indiquent, entre autres, que l’échantillonnage doit être pratiqué de préférence avec une valeur np telle que la durée d’échantillonnage ne soit pas un multiple de période fondamentale du système lorsque l’échantillonnage est uniforme. Les résultats présentés ont pour la plupart été obtenus avec le modèle d’ordre réduit construit au moyen de la formulation POD-Galerkin puisqu’il s’agit de la méthode qui sera conservée pour la suite. Néanmoins, une comparaison des différentes formulations est fournie en conclusion de ce paragraphe. Dans un premier temps, on étudie la convergence de l’erreur de reconstruction lorsque le nombre M de clichés employés pour former l’opérateur de corrélation augmente. Le nombre de modes POD conservés dans la base de projection est constant et égal à q = 5 puisque d’après les résultats du paragraphe précédent le pourcentage d’énergie captée est déjà ηq = 99, 98%. Les modes POD sont alors calculés pour différentes valeurs de M variant dans l’intervalle J6; 50K. La borne inférieure est choisie de sorte que la taille du problème aux valeurs propres à résoudre soit supérieure au nombre q de modes POD choisi pour le modèle d’ordre réduit. La borne supérieure est quant à elle déterminée par le nombre Nv de degrés de liberté du modèle Éléments Finis correspondant au modèle d’ordre élevé. La convergence est aussi analysée en fonction du nombre np de périodes sur lequel les clichés sont prélevés. Le résultat tracé sur le graphique de la figure 3.5 laisse apparaître une certaine convergence lorsque le nombre M de clichés augmente pour np fixé. Toutefois des pics d’erreurs localisés pour certaines combinaisons critiques de M et np sont observés. Des détails quant à l’origine des pics d’erreurs sont fournis dans 7Si les clichés ne sont pas linéairement indépendants, le rang de l’opérateur de corrélation chute et le nombre de modes POD dans la base de projection correspond alors au minimum entre le nombre q de mode POD souhaité et le rang r de la matrice de corrélation.On retrouve en particulier le fait que les principaux pics d’erreur se concentrent le long des lignes où le rapport M/np est entier. Les erreurs les plus faibles se rencontrent dans la zone correspondant aux valeurs élevées de M et aux valeurs de np comprises approximativement dans l’intervalle [0, 5; 1, 5]. D’une manière générale, la réponse est de bonne qualité dès qu’une vingtaine de clichés est utilisée, sauf dans le cas où la valeur de M choisie conduit à une redondance des clichés. Ainsi, lorsque le nombre de clichés augmente pour np ≈ 1, 0, l’erreur de reconstruction converge assez rapidement vers une valeur asymptotique qui atteint ε∞ = 2, 39%. La convergence s’observe aussi au niveau de l’allure des modes POD qui est représentée sur les graphiques de la figure 3.6 pour différentes valeurs de M : plus le nombre de clichés utilisés pour former l’opérateur de corrélation est grand (de M = 6 en bleu clair à M = 50 en rose), plus la forme des modes POD se rapproche de celle des modes propres ψn. Le premier mode POD coïncide parfaitement avec le premier mode propre du système, et ce, même pour de très faibles valeurs du nombre de clichés. Cependant, le nombre de clichés nécessaire pour capter correctement les modes d’ordre plus élevé augmente rapidement. Ainsi avec M < 20 clichés, le troisième et le quatrième mode sont fortement écrêtés. Ce phénomène de convergence des modes POD vers les modes propres correspond bien à la situation décrite dans [74, 129] à condition que le système étudié soit linéaire, autonome et que la matrice de masse du système soit proportionnelle à l’identité. Ces conditions sont bien réunies ici et la convergence vers les modes propres est effectivement constatée. Quelques éléments d’explication de la convergence des modes POD vers les modes propres pour le système considéré ici sont fournis dans l’annexe C.2. Le dernier paramètre fondamental dans la construction du modèle d’ordre réduit est le nombre q modes POD conservés dans la base de projection. La réponse du modèle d’ordre réduit est alors évaluée lorsque le nombre q de modes est compris dans l’intervalle J2; 15K. Il est inutile de considérer plus de modes POD puisque le temps de calcul augmente rapidement sans que la réponse ne soit améliorée de manière significative. La valeur de np est choisie en accord avec les résultats précédents où il a été mis en évidence que pour np ≈ 1, la convergence était optimale. L’allure de la distribution de l’erreur infinie ε∞ obtenue avec les paramètres précédents est alors représentée sur le graphique de la figure 3.7 en fonction du nombre de modes POD ainsi que du nombre de clichés.
Détermination des hypothèses relatives au modèle fluide
L’objectif de cette thèse est de parvenir à construire un modèle d’ordre réduit capable de reproduire les écoulements aérodynamiques au sein des turbomachines. Les équations continues du système dynamique qui serviront pour la projection de Galerkin doivent donc nécessairement avoir été développées pour être en mesure de reproduire le maximum de phénomènes impliqués dans la réponse du fluide. On rappelle dans ce premier paragraphe les principaux types de phénomènes qui caractérisent la réponse de l’écoulement. À partir de là, les hypothèses relatives aux principaux phénomènes sont conservées pour établir les équations continues. Même si ces hypothèses proviennent de l’analyse des phénomènes relatifs aux turbomachines, les équations employées restent très générales comme on le verra par la suite et les modèles d’ordre réduit pourront donc être employés pour reproduire des réponses de nature assez diverse. L’écoulement au sein d’une turbomachine est particulièrement complexe en raison de la géométrie des pièces mécaniques composant le système, du mouvement relatif des différents éléments les uns par rapport aux autres et des conditions de fonctionnement extrêmes. La lecture du AGARD Manual vol.1 [3], du rapport de la NASA de Verdon et al. [237], des chapitres 8 et 9 de l’ouvrage de Dowell et al. [58] ou encore de l’article de Marshall et Imregun [161] fournira un aperçu assez exhaustif des principales caractéristiques de l’écoulement qui sont résumées sur le schéma de la figure 4.1. Ici, on retiendra en particulier les aspects suivants de l’écoulement :
• Présence de chocs : sur l’ensemble de la plage de fonctionnement d’une turbomachine, l’écoulement évolue du régime subsonique vers le supersonique, en passant par un régime transsonique. Le fluide est par conséquent compressible et des zones de discontinuité correspondant à des chocs dont la position peut osciller apparaissent.
• Écoulement séparé : dans certaines plages de fonctionnement, les couches de fluide se séparent et donnent éventuellement naissance à des détachements de vortex dans le sillage des profils. Le caractère visqueux du fluide à l’origine de la séparation a une influence significative sur l’amortissement aérodynamique du système — et donc sur la limite de stabilité — ou encore sur la fréquence d’oscillation des ondes de choc en régime transsonique [97]. Dans l’idéal, le modèle d’ordre élevé employé pour générer les clichés doit vérifier (au moins) les mêmes hypothèses.
• Écoulement turbulent : au vu des conditions opérationnelles, le nombre de Reynolds qui traduit le caractère turbulent de l’écoulement est en général très élevé. La modélisation de la turbulence est un enjeu fondamental puisqu’elle conditionne la précision de la reproduction des effets visqueux.
• Interactions stator/rotor : l’écoulement arrivant sur les aubes d’un stator dans une turbomachine à plusieurs étages est fortement influencé par la proximité de l’étage amont. Trois types d’interactions peuvent être mis en évidence : une interaction sillage-rotor provoquée par le sillage des aubes de l’étage amont [84], une interaction potentielle-rotor due au champ potentiel de l’écoulement des étages amont et aval, et enfin une interaction provoquée par les retours de pression fluctuante.
• Décrochage en rotation : un dernier phénomène mentionné ici est le décrochage en rotation — ou en propagation — qui correspond à un écoulement circonférentiel asymétrique dans les compresseurs axiaux. Il se manifeste par une ou plusieurs régions tournant autour de l’axe du compresseur avec une vitesse d’écoulement faible voire inversée. La formation des structures caractéristiques de ce type de décrochage a été étudiée notamment dans [96, 174]. Outre les phénomènes mentionnés ci-dessus, il faut signaler l’influence des effets tridimensionnels tels que les effets de bords étudiés par exemple par Bell et He [27] et analysés expérimentalement par Yu et Liu [250]. Enfin, les non-linéarités de l’écoulement sont à l’origine de phénomènes tels que l’apparition de cycles limites d’oscillation qui sont particulièrement importants dans le régime transsonique [40, 58, 133]. Les modèles physiques du fluide les plus élaborés sont capables de reproduire la plupart des phénomènes décrits ci-dessus, même si la modélisation des effets turbulents, entres autres, reste difficile. L’objectif étant ici de construire un modèle d’ordre réduit, il ne s’agit pas de reproduire l’ensemble des phénomènes, mais seulement les principaux à partir desquels une estimation correcte de la fréquence et de l’amortissement des efforts aérodynamiques peut être obtenue. On se restreint donc à l’étude d’un seul étage et même d’un seul secteur d’une roue aubagée de turbomachine, de sorte que les phénomènes d’interaction stator/rotor ou le décrochage en rotation ne sont pas considérés. Par ailleurs, puisque la modélisation de la turbulence reste un enjeu d’actualité, on négligera en première approximation ces effets. En conclusion, le modèle fluide devra être construit de façon à ce que le caractère non linéaire, visqueux, compressible et éventuellement tridimensionnel de l’écoulement puisse être reproduit.
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Table des matières
Introduction
I Choix du modèle d’ordre réduit et application à un système dynamique linéaire
1 État de l’art des méthodes de réduction de modèle pour l’aérodynamique
1.1 Introduction
1.2 Principe de la réduction de modèles et classification
1.3 Description des principaux modèles d’ordre réduit physiques
1.3.1 Projection sur la base des modes propres et sous-structuration dynamique
1.3.2 Approximation de la fonction de transfert
1.3.3 Identification du système réduit
1.3.4 Décomposition Orthogonale Propre
1.3.5 Modes d’oscillation et d’interaction principaux
1.3.6 Équilibrage harmonique
1.3.7 Réduction sur une base construite a priori
1.3.8 Méthodes de réduction alternatives et dépendance avec un paramètre
1.4 Synthèse et justification du choix de la méthode POD
2 Principe de construction d’un modèle d’ordre réduit POD-Galerkin
2.1 Introduction
2.2 Description de la décomposition orthogonale propre pour un système déterministe
2.2.1 Décomposition orthogonale propre d’un ensemble de données
2.2.2 Détermination des modes POD par la méthode des clichés
2.2.3 Propriétés de la décomposition orthogonale propre
2.3 Un exemple d’application de la POD en analyse de données
2.4 Principe de construction du modèle d’ordre réduit à partir de la base POD
2.4.1 Construction d’un modèle d’ordre réduit linéaire par projection discrète
2.4.2 Construction d’un modèle d’ordre réduit implicite par projection sur le sous-espace
2.4.3 Construction d’un modèle d’ordre réduit polynomial par projection de Galerkin
2.4.4 Construction d’un modèle d’ordre réduit par identification des coefficients
2.5 Décomposition orthogonale propre des systèmes multivariables
2.5.1 Description de l’approche POD scalaire
2.5.2 Description de l’approche POD vectorielle
2.6 Synthèse du chapitre 2
3 Approche POD-Galerkin pour les systèmes dynamiques linéaires non-autonomes
3.1 Introduction
3.2 Modèles d’ordre réduit pour les systèmes dynamiques linéaires autonomes
3.2.1 Formulation analytique du modèle d’ordre réduit
3.2.2 Formulation discrète du modèle d’ordre réduit
3.2.3 Formulation POD-Galerkin du modèle d’ordre réduit
3.3 Évaluation du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin du système linéaire autonome
3.3.1 Évaluation du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin
3.3.2 Choix de la base des clichés et du nombre de modes POD
3.4 Modèles d’ordre réduit pour les systèmes dynamiques linéaires non-autonomes
3.4.1 Adaptation de la méthode des pénalités au modèle d’ordre réduit
3.4.2 Adaptation de la méthode des multiplicateurs de Lagrange au modèle d’ordre réduit
3.4.3 Méthode de la fonction de contrôle
3.5 Évaluation du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin du système linéaire non-autonome
3.5.1 Aspect des modes POD non-homogènes et homogénéisés
3.5.2 Réponse du modèle d’ordre réduit non-autonome
3.6 Synthèse du chapitre 3
II Développement de modèles d’ordre réduit non-linéaires pour l’aéroélasticité
4 Modélisation du fluide en vue de la construction d’un modèle d’ordre réduit
4.1 Introduction
4.2 Modélisation d’un fluide compressible visqueux avec les variables conservatives
4.2.1 Détermination des hypothèses relatives au modèle fluide
4.2.2 Caractérisation d’un fluide newtonien homogène
4.2.3 Équations de Navier-Stokes en formulation ALE avec les variables conservatives
4.3 Problématique de l’aéroélasticité et méthodologie de résolution
4.3.1 Principe de l’aéroélasticité
4.3.2 Formulations du problème de couplage
4.3.3 Définition du problème aéroélastique général
4.4 Modélisation du fluide avec les variables primitives modifiées
4.4.1 Variables aérodynamiques pour l’obtention d’un système quadratique
4.4.2 Définition du produit scalaire
4.4.3 Équations de Navier-Stokes en formulation ALE avec les variables primitives modifiées
4.5 Synthèse du chapitre 4
5 Construction d’un modèle d’ordre réduit POD-Galerkin pour l’aérodynamique
5.1 Introduction
5.2 Construction du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin
5.2.1 Projection de Galerkin des équations de Navier-Stokes d’un fluide compressible
5.2.2 Calcul des coefficients du modèle d’ordre réduit
5.2.3 Intégration du modèle d’ordre réduit en temps
5.3 Correction des instabilités des modèles d’ordre réduit POD-Galerkin
5.3.1 Origine des instabilités et principe de la correction
5.3.2 Techniques de correction a priori des modèles d’ordre réduit POD-Galerkin
5.3.3 Techniques de correction a posteriori des modèles d’ordre réduit POD-Galerkin
5.3.4 Autres techniques de correction des modèles d’ordre réduit POD-Galerkin
5.4 Calcul des modes POD de l’écoulement autour d’un profil NACA0012 fixe en forte incidence
5.4.1 Simulation numérique de l’écoulement autour du profil NACA0012
5.4.2 Calcul des modes POD de l’écoulement autour du profil NACA0012
5.5 Réponse du modèle d’ordre réduit de l’écoulement autour du profil NACA0012
5.5.1 Réponse du modèle d’ordre réduit non corrigé
5.5.2 Introduction de termes correctifs dans le modèle d’ordre réduit
5.5.3 Calibrage des paramètres du modèle d’ordre réduit
5.5.4 Comparaison des réponses corrigées
5.6 Synthèse du chapitre 5
6 Construction d’un modèle d’ordre réduit POD-Galerkin pour l’aéroélasticité
6.1 Introduction
6.2 Simplification des équations de Navier-Stokes pour un mouvement de corps rigide
6.2.1 Applicabilité de la POD en aéroélasticité
6.2.2 Simplification des équations de Navier-Stokes
6.3 Construction du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin pour un mouvement de corps rigide
6.3.1 Développement d’un modèle d’ordre réduit basé sur la formulation en vitesse absolue
6.3.2 Développement d’un modèle d’ordre réduit basé sur la formulation en vitesse relative
6.3.3 Construction de modèles d’ordre réduit par identification des coefficients
6.3.4 Résumé et comparaison qualitative des différents modèles d’ordre réduit
6.4 Calcul des modes POD de l’écoulement autour d’un profil NACA0064 oscillant
6.4.1 Simulation numérique de l’écoulement transsonique autour du profil NACA0064
6.4.2 Simplification des coefficients du modèle d’ordre réduit pour les équations d’Euler
6.4.3 Calcul de la base des modes POD de l’écoulement autour du profil NACA0064
6.5 Réponse du modèle d’ordre réduit de l’écoulement autour du profil NACA0064
6.5.1 Réponse du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin corrigé
6.5.2 Réponse du modèle d’ordre réduit POD-Galerkin identifié
6.6 Synthèse du chapitre 6
Conclusion
III Annexes
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