La commande d’un miroir déformable en boucle ouverte

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Les miroirs déformables électrostatiques

Les miroirs déformables électrostatiques utilisent la force électrostatique pour déplacer la membrane réfléchissante. Celle-ci est solidaire d’une surface chargée électriquement qui est alors attirée par eﬀet électrostatique au champ électrique créé par des électrodes po-sées sur un substrat en Silicium. Les forces mises en jeu étant faibles, il est possible de densifier très fortement le nombre d’actionneurs dans une petite surface. On parle alors de MEMS (Micro ElectroMechanical System). La figure 2.9 illustre le principe d’un tel miroir déformable.

Commentaires sur les miroirs déformables en OA

Les principaux paramètres utiles pour la compréhension de cette thèse concernant les caractéristiques d’un miroir déformable sont : sa densité d’actionneurs dans la pupille, sa bande passante et sa course utile. Comme nous le verrons en section 2.7.2, plus un miroir possède d’actionneurs, plus il sera capable de corriger la turbulence atmosphérique et donc meilleure sera la performance. Si, pour la génération des télescopes de la classe des 8-10 m un système d’OA est performant avec un miroir déformable de quelques centaines d’actionneurs, pour les futurs ELT, il faudra disposer de miroirs déformables avec plusieurs milliers d’actionneurs.
Du point de vue de la réponse temporelle, deux aspects principaux sont à prendre en compte. Le premier provient de l’existence d’un retard à l’application de la correction. Les électrodes des miroirs déformables nécessitent souvent une très haute amplification (de l’ordre de plusieurs centaines de volts). Cet étage d’amplification peut alors introduire un retard temporel entre le moment ou la commande est envoyée aux amplificateurs et la (haute) tension de sortie appliquée à chacun des actionneurs du miroir déformable. De plus, la correction est tributaire de la dynamique temporelle intrinsèque au miroir déformable. Certains miroirs disposent d’une bande passante très faible de quelques dizaines de Hz (cf test du ALPAO 52 « Low Speed » section 5.5) et d’autres de plusieurs kilo-hertz (cf test du BOSTON 12×12 section 5.4). Il faudra alors choisir le bon miroir déformable afin de mettre en rapport la vitesse de correction recherchée et les capacités dynamiques du miroir utilisé.
Enfin, la déformation utile d’un miroir déformable n’excède pas quelques microns voire plusieurs dizaines de microns pour les futurs ELT. Il est donc inutile d’espérer voir un miroir se déformer à l’oeil nu ! Suivant les technologies, ces courses ne sont pas toujours envisageables actuellement. Ainsi, au vu des contraintes imposées sur ces futurs miroirs, il reste un gros travail de recherche et développement à e ﬀectuer afin de disposer du bon com-posant pour équiper les futurs systèmes d’OA sur un ELT. A noter qu’en boucle ouverte s’ajoute la contrainte de la capacité de pilotage du miroir. L’ASO ne disposant d’aucun retour sur la position réelle du miroir déformable, sa fiabilité doit être extrêmement impor-tante. Je reviendrai plus longuement sur la diﬃculté du contrôle d’un miroir déformable en boucle ouverte au chapitre 4.

La loi de commande en OA

Je vais m’intéresser dans cette section à décrire le problème de la commande en optique adaptative. Le sujet étant très vaste je ne vais introduire que les notions qui seront utiles pour la compréhension de cette thèse.

Matrices d’intéraction et de commande

La base du contrôle de la boucle d’optique adaptative réside en la connaissance de chacune des fonctions d’influence du miroir déformable. L’idée est de relier la quantité recherchée (le vecteur de tensions v à appliquer aux bornes de chaque actionneur) à partir des mesures e ﬀectuées (le vecteur de pentes y de l’analyseur de surface d’onde). On peut alors écrire la relation (fondamentale en OA) suivante : y = Miv (2.3) avec Mi dite la matrice d’intéraction du système.
Cette matrice est la matrice de passage entre l’espace des tensions du miroir déformable et l’espace des mesures de l’analyseur de surface d’onde. En pratique on construit la ma-trice d’interaction colonne à colonne en sollicitant tout à tour chacune des électrodes du miroir déformable tout en mesurant la forme de la fonction d’influence alors mesurée par l’analyseur de surface d’onde en ramenant la mesure à une tension unité. Il existe de nom-breuses autres façons de mesurer une matrice d’interaction, quelques unes seront détaillées au chapitre 4. Une illustration d’une matrice d’interaction mesurée expérimentalement est proposée en figure 2.10. Remarquons que la matrice d’intéraction Mi est généralement rec-tangulaire, de dimensions [nb d’actionneurs,nb de points de mesures], elle est donc non inversible directement. Pour calculer les tensions vcorr à partir de la mesure y, on utilise une méthode des moindres carrés minimisant le critère : 2 = yturbu − Mivcorr 2 (2.4)
avec vcorr le vecteur de tensions à appliquer permettant de corriger un front d’onde turbu-lent ayant conduit à la mesure yturbu. Ainsi, la minimisation de 2 conduit à : vcorr = Mcyturbu (2.5) où Mc est la matrice de commande du système. La matrice de commande est alors égale à l’inverse généralisée de la matrice d’intéraction Mi donnée par : Mc = (MitMi)−1Mit (2.6)
Il est alors important de noter que la matrice (MitMi), bien qu’elle soit carrée, n’est pas toujours inversible. Les modes mal vus sont associés à des valeurs propres très faibles de la matrice (M itMi) qui, conduisant à un conditionnement élevé (rapport de la valeur la plus haute et de la plus basse), fait alors se propager très fortement le bruit à travers ces modes. Afin de pallier ce problème, on eﬀectue généralement une décomposition en valeurs singulières de la matrice (MitMi) en forçant à zéro l’inverse des valeurs propres associées aux modes mal vus. Cette régularisation brutale revient à se restreindre à un espace orthogonal aux modes mals vus et évite donc l’amplification du bruit dans la matrice de commande.
On notera la propriété McMi = Id qui signifie que le système sait parfaitement s’ana-lyser lui-même. Ainsi, si le système produit lui même une aberration il sera alors capable de retrouver la commande nécessaire pour l’annuler entièrement. En revanche on remar-quera la propriété troublante : MiMc = Id. Physiquement cela signifie qu’observant des mesures y de la turbulence à travers l’ASO, on ne peut pas toujours trouver un vecteur de commande v qui permet d’annuler entièrement les mesures. En eﬀet, lorsque le système possède moins de degrés de liberté v que de mesures y, il devient alors impossible de les satisfaire toutes.
Calibrations et reconstruction tomographique en optique adaptative multi-objet pour l’astronomie : Application au démonstrateur CANARY.

La boucle fermée

Commande par intégrateur

La boucle fermée est encore en 2009 le schéma de fonctionnement le plus commun d’un système d’OA. Un schéma descriptif est proposé en figure 2.11. L’ASO mesure alors le résidu de turbulence ϕres = ϕturbu − ϕcorr non corrigé par le miroir déformable. L’existence de retards dans la boucle (cf section 2.7.3) implique que le système tente de « suivre » en permanence le signal turbulent pouvant mettre en danger la stabilité du système. De plus, un bruit b vient s’ajouter à la mesure m eﬀectuée par l’ASO. Il s’agit donc d’utiliser une loi de commande permettant d’éviter que la boucle ne diverge tout en garantissant une performance optimale.
La commande par intégrateur est la plus simple et la plus communément utilisée en OA. Elle est décrite par : vt+1 = vt + gδ vcorr (2.7) avec δ vcorr le facteur correctif à l’instant t calculé selon l’équation 2.5 à partir de la mesure bruitée eﬀectuée par l’ASO, vt et vt+1 les vecteurs de commande respectivement aux instants t et t + 1 et enfin g le gain d’intégrateur ou gain de boucle.
Le gain g est ici le paramètre de contrôle de la boucle. Lorsque g tend vers 0 on peut considérer que la commande envoyée au miroir déformable ne fait que très peu confiance à la nouvelle mesure (bruitée) mesurée à l’instant t. Le système tend vers la stabilité mais une erreur temporelle est alors introduite, celle-ci étant d’autant plus grande que la valeur de g est faible. A l’inverse, lorsque g augmente, le bruit est moins filtré et tend à se propager dans la commande ne permettant pas au système de délivrer la meilleure performance.

Limitations de l’optique adaptative classique

La correction apportée par l’optique adaptative n’est pas parfaite. Elle souﬀre d’un certain nombre d’erreurs qui en limite les performances. Ces erreurs conduisent à une cor-rection partielle de la turbulence ayant pour conséquence immédiate de laisser un résidu de correction qui dégrade la performance du système. On peut ainsi citer les erreurs dues au sous échantillonnage spatial du front d’onde (fitting), celles introduites lors de la me-sure, les erreurs temporelles, l’erreur due au phénomène d’anisoplanétisme, les erreurs de calibrations du système et les erreurs dues aux aberrations non vues par le système d’OA. A noter qu’il peut exister des couplages entre les termes composant chaque poste d’erreur. Le résidu d’erreur, noté σresidu2, est obtenu en sommant quadratiquement chaque poste d’erreur (unité radian carré) :

σresidu2 = σf2 itting + σMesure2 + σT2 empo + σCalibrations2 + σAberr2 + σSci2 + σaniso2 (2.31)

Je vais développer dans les prochaines sections les principaux postes d’erreurs qui influent sur la performance d’un système d’optique adaptative. Je précise que cette liste n’est pas exhaustive et qu’elle n’a pour unique ambition que de fixer les idées sur les termes d’erreurs les plus importants en OA.

Erreurs de mesure σM2 esure

Aliasing. Une première erreur intrinsèque à un système d’optique adaptative est liée à la structure de l’analyseur de surface d’onde. Celui-ci réalise une mesure échantillonnée spatialement de la phase qui, dans le cas d’un Shack-Hartmann, est dépendante de la taille d et du nombre de sous-pupilles utilisées (cf principe du Shack-Hartmann figure 2.3). Cet échantillonnage implique que les fréquences spatiales de la turbulence supérieures à la fréquence de coupure fcASO = 1/2d de l’ASO ne seront pas mesurées. Une deuxième conséquence de cet échantillonnage implique un repliement spectral des hautes fréquences sur le spectre échantillonné. Ce repliement a pour origine la périodisation dans l’espace de Fourier du signal échantillonné de l’ASO à la fréquence d’échantillonnage fechASO = 1/d. Le spectre turbulent ayant une extension infinie, on mesure la valeur du spectre pour la fréquence f ainsi que la contribution de la valeur mesurée d’une haute fréquence repliée f − fechASO . Ce phénomène également connu sous le nom d’aliasing introduit une erreur σAlias2 sur la mesure.

Bruit. Une deuxième erreur provient du bruit lié au processus de la mesure. On distingue alors le bruit de photons lié à la conversion aléatoire d’un photon en photoélectrons du bruit lié au détecteur (Rousset et al. 1987 [72], Rousset 1999 [77], Nicole et al. 2004 [57]). Dans le cas de la mesure d’un centre de gravité (CDG) avec un SH, on peut écrire la variance du bruit de photons sur le CDG par : π21XT2 σphotons2 = (2.32) avec NP h le nombre de photons reçus par sous-pupille, XT la largeur à mi-hauteur de la tache image et XD la largeur à mi-hauteur limitée par la diﬀraction (XT et XD habituellement exprimés en pixels). Le bruit associé au bruit de lecture détecteur dans le calcul du CDG est déterminé par le relation (Rousset 1993 [76]) : σdetecteur = NP h XDπ σe−X22 2 (2.33) √S avec σe− l’écart quadratique moyen du bruit en électrons par pixels (Read Out Noise ou RON) et XS le nombre de pixels pris en compte dans le calcul du CDG.

Erreurs de correction (fitting) σCorrection2

L’erreur de correction ou erreur de « fitting » caractérise l’erreur de sous modélisation que l’on va eﬀectuer en utilisant un miroir déformable ayant un nombre fini Ntot d’ac-tionneurs. On peut écrire la variance de phase de l’erreur de fitting (Sechaud 1999 [81]) par : 5/6D5/3 σF2 itting = µNtot− (2.34)

Avec µ un scalaire dépendant de la forme de la fonction d’influence du miroir déformable. Les valeurs typiques de µ varient de 0.2 à 0.5 (0.28 pour un miroir déformable à membrane continue). Avec na = 2 Ntot/π le nombre d’actionneurs dans le diamètre utile de la pupille et en prenant µ = 0.28, l’equation 2.34 peut s’écrire de manière équivalente en fonction de na par : D5/3 σF2 itting = 0.34 (2.35)

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Table des matières

Introduction
I Principes généraux de l’optique adaptative
1 Formation d’images et turbulence atmosphérique
1.1 La lumière : l’information des astronomes
1.2 Formation d’images
1.2.1 La diffraction
1.2.2 Relations entre le plan pupille, la PSF et FTO
1.3 Propriétés et effets de la turbulence atmosphérique
1.3.1 Origine
1.3.2 Échelles externes et internes de la turbulence L0 et l0
1.3.3 Fluctuations d’indices de réfraction
1.3.4 Fluctuations de la phase turbulente
1.3.5 Le paramètre de Fried r0
1.3.6 Le rapport D/r0
1.3.7 Propriétés temporelles
1.3.8 Répartition en altitude
1.4 Influence de la turbulence sur les images
2 L’optique adaptative
2.1 Principe général
2.2 L’analyse de surface d’onde
2.3 La correction de l’onde lumineuse
2.3.1 Principe
2.3.2 Les miroirs déformables piézo-électriques
2.3.3 Les miroirs déformables bimorphes
2.3.4 Les miroirs déformables magnétiques
2.3.5 Les miroirs déformables électrostatiques
2.3.6 Commentaires sur les miroirs déformables en OA
2.4 La loi de commande en OA
2.4.1 Matrices d’intéraction et de commande
i2.4.2 La boucle fermée
2.5 Quelques grandeurs utiles en optique adaptative
2.5.1 Le rapport de Strehl
2.5.2 Énergie encadrée
2.6 Caractérisation d’aberrations dans un système optique
2.7 Limitations de l’optique adaptative classique
2.7.1 Erreurs de mesure s2
Mesure
2.7.2 Erreurs de correction (fitting) sCorrection 2
2.7.3 Erreur temporelle sTemporelle 2
2.7.4 Erreurs de calibration s2
Calibrations
2.7.5 Erreurs d’aberrations non-vues par le système saber 2
2.7.6 Scintillation s2 Sci
2.7.7 Erreur d’anisoplanétisme saniso 2
2.8 Vers de nouveaux concepts d’optique adaptative
2.8.1 Couverture du ciel ?
2.8.2 Vers la création d’étoiles artificielles
2.8.3 LTAO
2.8.4 Augmenter le champ de correction ?
2.8.5 GLAO
2.8.6 MCAO
2.8.7 Limitations de la MCAO pour une correction très grand champ sur les ELTs
II L’optique adaptative multi-objet (MOAO)
3 Besoins et contexte
3.1 De la problématique scientifique..
3.2 A la solution technique..
3.2.1 La MOAO
3.2.2 EAGLE : l’instrument de MOAO sur l’ELT européen
3.2.3 Discussion sur les challenges de la MOAO
3.3 CANARY : Le démonstrateur de MOAO
3.3.1 Phase A
3.3.2 Phase B
3.3.3 Phase C
3.3.4 En quoi CANARY va t’il permettre d’aider EAGLE ?
3.4 Le banc d’optique adaptative SESAME
3.4.1 SESAME dans EAGLE et CANARY
3.4.2 Caractéristiques du banc SESAME
III La commande d’un miroir déformable en boucle ouverte
4 L’importance d’un modèle en boucle ouverte.
4.1 Le modèle linéaire
4.2 Le modèle non-linéaire
4.3 Le modèle de couplage des actionneurs
4.4 Autres modèles
4.4.1 Le modèle non additif
4.5 Récapitulatif des modèles de contrôle d’un miroir déformable
4.6 Commentaires sur la spécification des miroirs déformables de EAGLE
5 Tests de miroirs déformables en boucle ouverte
5.1 Configuration du banc SESAME pour les tests de miroirs déformables
5.2 Tests communs effectués
5.2.1 Mesure de l’erreur de boucle ouverte
5.2.2 Test de la bande passante
5.3 Test du miroir déformable électrostatique OKOTech à 37 actionneurs
5.3.1 Présentation générale
5.3.2 La methode de calibration par rampe
5.3.3 La méthode de calibration de mesures aléatoires
5.3.4 Contrôle du miroir (couplage des électrodes)
5.3.5 Conclusion sur le pilotage en boucle ouverte du miroir OKO37
5.4 Test du miroir électrostatique BOSTON Micromachines à 140 actionneurs
5.4.1 Présentation
5.4.2 Commentaires sur la configuration de test
5.4.3 Course du miroir
5.4.4 Calibration du miroir en boucle ouverte
5.4.5 Test du miroir en boucle ouverte
5.4.6 Mesure du couplage
5.4.7 Mesure de la bande passante du miroir
5.4.8 Conclusion sur le pilotage en boucle ouverte du BOSTON140
5.5 Test du miroir déformable magnétique ALPAO à 52 actionneurs
5.5.1 Mesure de la linéarité
5.5.2 Couplage
5.5.3 Test du miroir en boucle ouverte
5.5.4 Bande passante
5.5.5 Conclusion sur le pilotage en boucle ouverte du miroir ALPAO52
5.6 Test du miroir déformable de CANARY de type piézo-électrique à 52 actionneurs
5.6.1 Présentation
5.6.2 Course du miroir
5.6.3 Mesure de l’hystéresis
5.6.4 Mesure de l’effet de creep
5.6.5 Méthode de calibration par sinusoïdes
5.6.6 Test du miroir de CANARY en boucle ouverte
5.6.7 Conclusion sur le pilotage du miroir de CANARY en boucle ouverte.
5.7 Conclusion générale sur le pilotage d’un miroir déformable en boucle ouverte
IV La reconstruction tomographique dans le cas boucle ouverte
6 Problématique
6.1 La tomographie en boucle ouverte
6.1.1 Principe de la reconstruction tomographique
6.1.2 Reconstruction du volume turbulent
6.1.3 Détermination de WT omo
6.1.4 Projection dans la direction d’intérêt
6.1.5 Détermination des tensions du miroir déformable
6.2 Discussion sur le problème tomographique
7 Vers un nouvelle approche de la tomographie
7.1 Un besoin de calibration..
7.1.1 Homogénéisation des mesures hors-axes
7.1.2 Lier les voies d’analyses et la voie scientifique
7.2 Proposition de calibration d’un instrument MOAO
7.3 Vers une nouvelle approche de la tomographie
7.3.1 Expressions théoriques des matrices de covariance
7.3.2 Illustration des matrices de covariance
7.4 Exemples de procédures en boucle ouverte
7.4.1 L’algorithme « Learn & Apply »
7.4.2 Vers une variante d’un schéma classique de tomographie : « Apply Only »
7.4.3 Mesure du profil de turbulence à partir des données de l’instrument : « Learn Only »
7.5 Discussion sur la procédure Learn & Apply..
7.5.1 Accélérer la convergence des matrices sans ajustement de paramètres ?
7.5.2 Et en boucle fermée ?
8 Simulations avec l’algorithme Learn&Apply
8.1 Learn&Apply sur CANARY
8.1.1 Conditions atmosphériques
8.1.2 Configuration géométrique
8.1.3 Cas de simulations étudiés
8.1.4 Résultats de simulation
8.1.5 Performance de CANARY dans le champ de correction
8.1.6 Discussion sur les simulations CANARY
V Procédures de calibrations et validations expérimentales
9 Procédures de calibrations et validations expérimentales en MOAO.
9.1 Calibration d’un système de MOAO : application au démonstrateur CANARY
9.1.1 Pentes de références et matrice d’intéraction dans l’axe
9.1.2 Mesures des aberrations non communes
9.1.3 Calibration des analyseurs hors-axes avec la voie centrale
9.1.4 Aberrations du télescope dans le champ
9.2 Convergence des matrices de covariance
9.2.1 Procédure
9.2.2 Résultats sur le jeu de données d’apprentissage #1
9.2.3 Résultats sur le jeu de données test #2
9.3 MOAO sur SESAME : Calibration et tomographie
9.3.1 Calcul du reconstructeur
9.3.2 Loi de commande utilisée
9.3.3 Résultats expérimentaux
A L’E-ELT
A.1 Présentation générale
A.2 Concept optique
A.3 Instrumentation
B Structure des matrices utilisées pour le calcul du reconstructeur tomographique
C Liste de publications.