Jeux à somme nulle en stratégies mixtes

Jeux à somme nulle en stratégies mixtes

Jeux à somme nulle en stratégies pures

 Modèle

Formellement, un jeu a` deux joueurs et à somme nulle est un triplet Γ = (A, B, g) ou` – A est un ensemble non vide appelé ensemble d’actions (ou de stratégies) du joueur 1 (parfois noté J1). – B est un ensemble non vide appelé ensemble d’actions (ou de stratégies) du joueur 2 (parfois noté J2). – g : A × B −→ R est une fonction bornée qu’on appelle fonction de paiement du jeu (ou fonction de gain, fonction d’utilité). Le joueur 1 cherche à la maximiser et le joueur 2 a` la minimiser. Ceci modélise l’interaction stratégique suivante : J1 et J2 choisissent simultanément (sans savoir ce que fait l’autre) a ∈ A et b ∈ B respectivement. Les actions sont ensuite révélées, et le paiement est g(a,b). Ce paiement modélise le contentement du joueur 1 et le mécontentement du joueur 2 : J1 veut que g(a,b) soit le plus élevé possible et J2 veut qu’il soit le plus bas possible. L’interprétation la plus classique est que g(a,b) est la quantité d’argent que J2 doit a` J1 (ou l’inverse si g(a,b) est négatif). D’autres interprétations sont possibles : g peut ˆetre vue comme l’espérance de vie qu’un lapin chassé veut maximiser (alors que le renard veut la minimiser), la probabilité de marquer un but que le tireur veut maximiser (et que le gardien veut minimiser), etc…
(Jeu du penalty). Lors d’une séance de tir au but, le tireur (J1) doit décider de tirer à gauche ou à droite et le gardien (J2) doit décider de sauter à gauche ou a` droite. Les deux joueurs sont supposés excellents : le tireur cadre toujours son tir, et le gardien arrête toujours le tir s’il part du bon coˆté. évidemment le tireur cherche a` maximiser la probabilité qu’il y ait un but, et le gardien veut la minimiser. On peut modéliser une telle séance de tir au but par le jeu matriciel suivant : (Jeu du penalty avec tireur moins bon d’un côté).

Valeur en stratégies pures

Définition 1.1.1. Le supinf en stratégies pures du jeu Γ , noté v (Γ) (ou simplement v quand il n’y a pas d’ambiguité sur le jeu joué) est la quantité
Lorsque le sup et l’ inf sont atteint dans la définition (par exemple si le jeu est fini), v est également appelé maxmin du jeu.

JEUX A SOMME NULLE EN STRATéGIES PURES 
supinf v représente le paiement maximal que J1 peut s’assurer quelque soit l’action de J2. La caractérisation suivante de v se vérifie facilement en utilisant la définition du sup et de l’ inf
v est caractérisé par ”J1 garantit v à ε pr` es” ∀ε > 0,∃a ∈ A,∀b ∈ B,g(a,b) ≥ v−ε” J2 défend v à ε près ” : ∀ε > 0,∀a ∈ A,∃b ∈ B,g(a,b) ≤ v + ε Quand il y a un maxmin (par exemple si le jeu est fini), ces inégalités sont vraies pour ε = 0.
Interprétation : v est la ”valeur” du jeu dans lequel le joueur 1 choisit d’abord son action a, qui est annoncée a` J2, celui-ci choisissant alors son action b en fonction de a. De manière symétrique.
Définition 1.1.2.
L’ infsup en stratégies pures du jeu Γ , noté v(Γ) (ou simplement v quand il n’y a pas d’ambiguité sur le jeu joué) est la quantité
Lorsque le sup et l’ inf sont atteint dans la définition (par exemple si le jeu est fini), v est également appelé minmax du jeu. L’ infsup v représente le paiement minimal que J2 peut assurer quelque soit l’action de J1.

Table des matières

Remerciements
Introduction
1 Jeux à deux joueurs et à somme nulle
1.1 Jeux à somme nulle en stratégies pures
1.1.1 Modèle
1.1.2 Valeur en stratégies pures
1.1.3 Stratégies optimales
1.1.4 Stratégies dominées
1.2 Jeux à somme nulle en stratégies mixtes
1.2.1 Modèle
1.2.2 Valeur en stratégies mixtes
1.2.3 Propriétés des stratégies optimales
1.2.4 Stratégies dominées par une stratégie mixte
2 Jeux à n joueurs
2.1 Jeux en stratégies pures
2.1.1 Modèle
2.1.2 Exemples
2.1.3 équilibres en stratégies dominantes
2.1.4 équilibres de Nash
2.1.5 élimination des stratégies dominées
2.2 Jeux en stratégies mixtes
2.2.1 Modèle
2.2.2 Théorème de Nash
3 Jeux à information parfaite
3.1 Modèle
3.1.1 Arbre
3.1.2 Arbre de décision
3.1.3 Déroulement du jeu
3.2 Réduction sous forme normale
3.3 Equilibres de Nash
3.4 équilibres sous-jeux parfaits
3.5 Avec hasard . . . . . .

Télécharger le rapport complet