Inversion de bancs de filtres 1D suréchantillonnés 

Télécharger le fichier pdf d’un mémoire de fin d’études

De Fourier aux ondelettes

Quelques transformées standards

Les bases orthogonales discrètes ont fait la preuve de leur utilité depuis des décen-nies aussi bien pour les mathématiciens que les ingénieurs en proposant des représen-tations vectorielles efficaces. En particulier, les transformées linéaires sont au centre de nombreuses méthodes en traitement du signal et des images. Elles sont employées par exemple dans l’analyse, la détection, le filtrage, le débruitage ou la compression de don-nées. Le principe est d’utiliser une application linéaire sur tout ou partie des échantillons d’un signal (éventuellement de manière itérative). La nature linéaire de la transformation permet une représentation matricielle qui, nous le verrons, peut également s’appliquer à un banc de filtres.
Les transformations comme la transformée de Fourier discrète (TFD), la transformée en cosinus discrète (TCD) ou la transformée de Hadamard (TH) font partie des outils fondamentaux dans le traitement du signal. Nous allons maintenant rappeler brièvement le principe et la définition de ces transformations classiques.

Transformées de Walsh et Hadamard

Un autre exemple de transformée classique est la transformée de Walsh, qui est souvent associée avec les transformées de Hadamard ou de Paley. Une définition des vecteurs d’une base de Walsh peut être donnée par l’étude des passages par zéro de certaines fonctions sinus et cosinus. Dans [Peyré, 2004], une autre manière de voir la transformée de Walsh est proposée : la transformée de Walsh n’est autre que la réécriture d’une transformée de Fourier sur un groupe abélien G = (Z=2Z)k. La définition complète des fonctions de Walsh est présentée dans le livre [Beauchamp, 1975].
En réordonnant les fonctions de bases définissant la transformée de Walsh, on peut retrouver la Transformée de Hadamard (TH). La matrice de cette transformée se définit récursivement par la formule suivante : H0 = (1) et 8m 1; Hm = p2 Hm 1 Hm 1 : 1 Hm 1 Hm 1
Au facteur de normalisation près, cette matrice est la matrice d’Hadamard. On peut mon-trer que cette matrice est symétrique et unitaire : HmHm = I2m . Pour effectuer la recons-truction, il suffit donc d’appliquer à nouveau la transformation.
Si l’on omet le facteur de normalisation, on voit que cette transformée ne fait inter-venir que des facteur 1 ou 1 ce qui dans les applications peut présenter un avantage. En effet, 1 étant l’élément neutre de la multiplication, les opérations de la transforma-tion s’effectuent uniquement dans l’espace d’origine des données. Cette caractéristique est particulièrement intéressante pour le codage de données entières (par exemple les valeurs des pixels d’une image) puisque les opérations sur les entiers s’exécutent plus rapidement que les opérations sur des types “flottant”. Une forme hybride de la TH et de la TCD a été utilisée pour le codec vidéo H.264 (ou MPEG-4 AVC) et pour le format de compression JPEG XR de Microsoft (dans une version modifiée faisant intervenir une transformation à recouvrement).

Transformées en ondelettes

Les transformées en ondelettes telles qu’on les connait aujoud’hui ont pris corps dans les années 80 (à la suite de travaux notamment en géophysique). Cet outil permet de représenter un signal à différentes résolutions ce qui se révèle utile pour des applica-tions aussi bien en analyse qu’en débruitage ou en compression (des codeurs basés sur les transformations en ondelettes, comme ceux de type JPEG2000, ont été proposés comme alternative à JPEG permettant de réduire les artéfacts produits par l’effet de bloc en codage d’image [Shapiro, 1993]). La théorie des ondelettes dans le cas continu ne sera pas abordée dans ce travail (on pourra consulter à ce sujet : [Flandrin, 1998]), nous nous contenterons donc de présenter ici le principe des ondelettes discrètes. Pour plus d’informations concernant la construction des bases d’ondelettes nous renvoyons aux ouvrages : [Daubechies, 1992; Meyer, 1992; Mallat, 1998].
Notons que l’ouvrage [Heil, Walnut, 2006] regroupe une grande partie des articles fonda-teurs sur la théorie des ondelettes.

Redondance et suréchantillonnage

Les transformées rappelées dans ce qui précède étaient considérées dans le cas non-redondant, ou “échantillonnées de manière critique” (aussi appelé décimation critique), c’est-à-dire que le nombre d’échantillons du signal d’origine et le nombre de coefficients après transformation sont essentiellement les mêmes (dans le cas de transformées com-plexes, comme la TFD sur des données réelles, il faut prendre en compte les symétries éventuelles induites par la transformation). Il a été reconnu très tôt que si l’échantillon-nage critique est bien adapté à la compression de données, son intérêt est plus limité pour d’autres applications comme le débruitage ou l’analyse. Ces limites peuvent être liées au signal ou à la transformation.
Du point de vue du signal, des artéfacts peuvent être introduits dans les données trai-tées, ce qui peut être par exemple le cas lors du débruitage avec des ondelettes discrètes. Les informations les plus fines du signal analysé, qui ne sont pas révélées par les onde-lettes discrètes, sont souvent plus visibles en utilisant des ondelettes continues. Ainsi, en considérant l’exemple 3, illustrant la transformée en ondelettes d’un signal simple présen-tant deux discontinuités, on peut voir que seule la seconde discontinuité est représentée dans les coefficients de détails. En reprenant le même exemple, mais avec une version du signal translatée d’un coefficient, on verrait apparaître dans les détails la première discontinuité, tandis que la seconde disparaîtrait.
Les équivalents en discret des transformées en ondelettes continues ont été décou-verts à plusieurs reprises sous des noms différents : quasi-continues, stationnaires, à recouvrement maximal, redondantes, non-décimées, invariante par translation (ou par décalage), sur-complètes, implémentées par l’algorithme “à trous” ou par cycle spinning. Ces méthodes sont présentées, par exemple, dans [Coifman, Donoho, 1995; Nason, Sil-verman, 1995; Pesquet et al., 1996; Fowler, 2005]. Dans le même esprit, d’autres unions de bases offrent une quasi-invariance par translation, c’est le cas de la transformée en arbre dual [Selesnick et al., 2005; Chaux, 2006].
Du point de vue de la transformée, les contraintes imposées lors de la conception des paires de filtres d’ondelettes permettant d’obtenir la reconstruction parfaite et l’ortho-gonalité réduisent considérablement le nombre d’ondelettes proposant de bonnes pro-priétés. Les bases orthogonales choisies pour l’étape d’analyse fixent de manière stricte l’étape de synthèse/reconstruction. C’est pourquoi les ondelettes bi-orthogonales ont été proposées. Elles permettent de concilier une décomposition adaptée aux données (par exemple en présentant plusieurs moments nuls) et de bonnes propriétés de reconstruc-tion (par exemple en étant robuste aux perturbations dues à la quantification). Ce type de transformation permet donc de bien prendre en compte l’asymétrie des rôles des phases d’analyse et de synthèse.

Utilisation de fenêtres

Plusieurs travaux se sont intéressés au cas de bancs de filtres modulés via l’étude d’une seule ou plusieurs fenêtres utilisées en analyse et/ou synthèse.
Dans [Yui et al., 2004], des bancs de filtres basés sur des TFD fenêtrées par des fe-nêtres de Hamming, Kaiser ou Dolf-Chebyshev sont analysés et optimisés pour réduire les problèmes de distortion et de repliement spectral. Cvetkovic´ et Vetterli [Cvetkovic,´ Vetterli, 1998b] se placent également dans un cadre n’utilisant qu’une seule fenêtre et emploient les trames ajustées de Weyl-Heisenberg pour proposer des fenêtres possé-dant une meilleure sélectivité fréquentielle que dans le cas de l’échantillonnage critique. Un autre exemple de construction de bancs de filtres redondants par étude des fenêtres se trouve dans [Ueng, Scharf, 1996]. Dans cet article, les auteurs proposent de consi-dérer le cas de fenêtres variables et construisent des bancs de filtres de synthèse en utilisant la théorie des trames. Citons également un article récent de Mansour sur des bancs de filtres suréchantillonnés de type TFD dont il optimise la fenêtre de synthèse suivant différents critères [Mansour, 2007].

Utilisation de la formulation polyphase

Des formulations plus générales, fondées sur la factorisation de la représentation po-lyphase du banc de filtres suréchantillonné avec des contraintes supplémentaires ont également été proposées. Dans le cas redondant, la matrice polyphase devient rectan-gulaire rendant l’étude de l’inversibilité plus complexe.
Ainsi dans [von Borries et al., 2001], les auteurs explorent le cas où le facteur k0 de suréchantillonnage du banc de filtres est rationnel. Ils montrent en particulier que dans le cas de BdF modulés réels, il n’est possible d’inverser le banc de filtres que si k0 2 N. Dans [von Borries, Burrus, 2004], von Borries et Burrus s’intéressent à la construction de matrices polyphases vérifiant la condition de paraunitarité et contraignent les BdF résultant à posséder la propriété de phase linéaire. Encore dans le cadre des BdF à phase linéaire, la reconstruction parfaite avec des bancs de filtres réels (correspondant à des transformées à recouvrement) est étudiée dans [Gan, Ma, 2003] en prenant en compte les symétries des filtres.
Tanaka dans [Tanaka, 2006], s’est intéressé à un cas particulier : la construction d’un banc de filtres de synthèse pour des filtres à RIF de longueur égale au double du facteur de sous-échantillonnage. Il propose une étape d’optimisation matricielle pour obtenir des filtres présentant une bonne atténuation fréquentielle. Riel et al. ont proposé dans [Riel et al., 2004] d’utiliser une méthode de type lifting pour construire des BdF redondants modulés réels à reconstruction parfaite dans le cas para-unitaire. Ainsi ils obtiennent des filtres présentant, également, une bonne atténuation dans le domaine fréquentiel.
Dans [Bölcskei et al., 1998], les auteurs étudient le lien pouvant exister, pour certains BdF, entre la matrice polyphase et un opérateur de trame correspondant à ce banc de filtres. Ils montrent en particulier que si un BdF suréchantillonné correspond à une trame de ‘2(R) alors il est possible de paramétrer les BdF de synthèse permettant la recons-truction parfaite. Une analyse des valeurs propres de la matrice polyphase permet alors d’obtenir les bornes de la trame et ils se servent de ce résultat pour construire une trame de synthèse la plus ajustée possible.
Repartant de cette analyse, Chai et al. ont proposé récemment [Chai et al., 2007] une construction basée sur une représentation spatiale des états des bancs de filtres. Cette construction offre des méthodes numériques efficaces pour estimer les bornes et calculer un BdF de synthèse.
Dans ces travaux, la conception peut donc mettre en œuvre différents types d’optimi-sations, utilisant la régularité des filtres ou des fonctions de coût exploitant la forme des filtres (visant, par exemple, à améliorer l’atténuation dans les sous-bandes ou le gain de codage).
Les travaux évoqués précédemment étudient le cas, classique, où le banc de filtres d’analyse est appliqué avant celui de synthèse. Pour certaines applications (par exemple pour les transmultiplexeurs utilisés dans les communications DSL – digital subscriber line) il peut être intéressant de regarder le cas où les rôles des bancs de filtres d’analyse et de synthèse sont inversés. Là encore, l’étude des matrices polyphases permet de construire des bancs de filtres suréchantillonnés et complexes offrant la propriété de reconstruction parfaite [Siclet et al., 2006].
Enfin, d’autres travaux [Kalker et al., 1995; Park et al., 1997; Zhou, Do, 2005] pro-posent d’employer des outils algébriques comme les bases de Gröbner pour travailler sur les matrices polyphase. Nous verrons plus en détails au chapitre 5 les méthodes uti-lisant les bases de Gröbner, qui présentent l’avantage d’être directement adaptables au cas multidimensionnel.

Reconstruction quasi-parfaite

De nombreuses applications en traitement du signal impliquent une étape de trai-tement des coefficients dans le domaine transformé (par exemple une sélection, un seuillage ou une quantification). Dans ce contexte, imposer une condition de recons-truction parfaite peut sembler inutile, puisque les coefficients sont modifiés pendant le traitement. Ainsi de nombreux travaux visent à relaxer cette contrainte en ne considérant plus qu’une reconstruction quasi-parfaite (ou Near Perfect Reconstruction) [Rosenbaum, 2007]. Dans [Siohan, Roche, 2000], on voit un exemple de passage d’une reconstruc-tion parfaite à quasi-parfaite dans le cas échantillonné critique. Un avantage évident de ce type de méthodes est qu’elles offrent une plus grande liberté dans la construction des filtres de synthèse (permettant par exemple de choisir des filtres minimisant les pro-blèmes de repliement spectral).
Des constructions ne prenant pas en compte une reconstruction parfaite ont été étudiées par exemple dans : [Harteneck et al., 1999; Wilbur et al., 2003; Dumitrescu et al., 2006; Hermann et al., 2007].

Transformées multidimensionnelles et directionnelles

Comme nous l’avons expliqué dans le chapitre 1, l’un des points de départ de cette thèse était la volonté de traiter des données sismiques bi- ou tri-dimensionnelles. Ces données présentent une forte anisotropie et une analyse directionnelle semble donc in-diquée. Dans cette section, nous allons rappeler quelques transformations multidimen-sionnelles prenant en compte les informations de direction.

Bancs de filtres multidimensionnels

En dimension supérieure à 1, on peut traiter les données soit en utilisant des mé-thodes unidimensionnelles appliquées de manière séparable (dans chacune des dimen-sions) sur des données multidimensionnelles, soit en utilisant directement des transfor-mations multidimensionnelles.
Les bancs de filtres peuvent être construits directement dans le cadre multidimen-sionnel [Vaidyanathan, 1993]. Dans ce cas, l’échantillonnage des coefficients, qui dans le cas séparable se fait de manière rectangulaire, peut se faire de manière plus libre (par exemple en 2D : quinconce ou hexagonal). Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes limités au cas non-séparable à échantillonnage rectangulaire qui sera abordé au chapitre 5. De nombreux travaux ont porté sur l’étude de l’inversibilité et de la re-construction parfaite des bancs de filtres non-séparables multidimensionnels [Kovaceviˇc,´ Vetterli, 1992].
Les transformées séparables de par leur construction peuvent donner plus d’impor-tance à certains éléments, favorisant par exemple les directions horizontales et verticales pour une transformation bidimensionnelle ; a contrario une transformée non-séparable peut permettre une représentation plus équilibrée et ainsi apporter une directionnalité plus fine. Ainsi en 1992, Bamberger et Smith [Bamberger, Smith, 1992] ont proposé un banc de filtres directionnel 2D décimé de manière critique (avec un échantillonnage en quinconce) et offrant la propriété de reconstruction parfaite. Ce banc de filtres a ensuite été réutilisé par Do et Vetterli dans la construction des contourlets qui seront brièvement présentées à la section 2.3.4.

Bandelettes

La décomposition en bandelettes a été introduite par Le Pennec et Mallat [Le Pennec, 2002]. Elle allie une décomposition en ondelettes et des estimations d’informations à caractère géométrique. L’estimation de la géométrie se fait en étudiant les contours présents dans une image f. Un contour est alors vu comme une courbe paramétrique C que l’on va caractériser par ses tangentes. Pour ce faire, on recherche les gradients d’importance significative (c-à-d dont la valeur est supérieure à un certain seuil) dans l’image. Afin d’éviter des pro-blème de non différentiabilité, l’image peut être convoluée avec un noyau lissant. Cette étude permet d’approximer les “flots” de l’image en considérant la direction orthogonale au gradient.
Ensuite, une étape de rectification est menée. Elle consiste à déformer la courbe pour la rendre horizontale (respectivement verticale) si elle était plutôt horizontale (respective-ment verticale) à l’origine. En notant cette opération D, Df représente alors la version rectifiée de l’image. Enfin, une transformation en ondelettes est appliquée sur Df. Dans la pratique, il faut dans un premier temps segmenter l’image en régions où la direction du contour n’est jamais verticale (respectivement horizontale).
Les bandelettes de deuxième génération 1 ont ensuite été introduites par Peyré et Mallat [Peyré, 2005]. L’idée est à nouveau de construire une base orthogonale adaptée à une image f. Cependant, cette fois la recherche de géométrie ne se fait pas sur f directement mais dans les différentes sous-bandes obtenues après la décomposition en ondelettes de f. Afin d’améliorer l’étape de détection de la géométrie, les relations inter-échelles peuvent être prises en compte (via la construction d’un arbre reliant les coefficients, à chaque niveau de détail, correspondant à la même localisation spatiale).

Curvelets

Les curvelets ont d’abord été introduites en 1999 par Donoho et Candès dans un cadre continu dans [Candès, Donoho, 1999a], une approche discrète des curvelets a ensuite été étudiée dans [Donoho, Duncan, 1999]. Les curvelets proposent de décom-poser un signal sur une trame fixée, permettant de bien représenter les informations de type géométrique. Cette base permet d’approcher de façon presque optimale des fonc-tions ayant une régularité géométrique d’ordre C2. Contrairement aux bandelettes, les curvelets ne nécessitent pas de phase d’adaptation à l’image ce qui peut présenter un avantage pour certaines applications. Le principe de la transformation peut être résumé en 4 étapes :
– Décomposition en sous-bandes (comme dans le cas d’une transformée en onde-lettes classique). Un objet f est alors représenté par l’approximation P0f et les sous-bandes ( 1f; 2f; :::) contenant chacune des détails dont la taille est de l’ordre de 2 2s.
– Partition de chaque sous bandes sf en carrés dyadiques, par multiplication par des fenêtres carrées wQ(s;k1;k2) centrées autour de : Q(s; k1; k2) = [k1=2s; (k1 + 1)=2s) [k2=2s; (k2 + 1)=2s) :
– Renormalisation des carrés dyadiques : wQ(s;k1;k2) sf, au sein de chaque sous-bande. Soit l’opérateur : (TQ(s;k1;k2)f)(x1; x2) = 2sf(2sx1 k1; 2sx2 k2); la renormalisation se fait en considérant : gQ(s;k1;k2) = (TQ(s;k1;k2)) 1(wQ(s;k1;k2) sf).
– Analyse dans un système Ridgelet orthonormal des carrés dyadiques renormali-sés.
L’idée derrière la transformée par curvelets est que, en réalisant un fenêtrage, des seg-ments d’une courbe lisse vont sembler quasiment droits et ainsi peuvent être décompo-sés de manière efficace par une transformée en Ridgelet. En effet, une propriété intéres-sante des Ridgelets dans R2 est qu’elles sont constantes le long de lignes décrites par x1 cos( ) + x2 sin( ) = constante et sont des ondelettes le long de la direction orthogo-nale. Les Ridgelets offrent donc une représentation creuse (i.e. sur peu de coefficients) pour des objets lisses et rectilignes. Pour plus de détails concernant la transformée en Ridgelet on pourra consulter [Candès, Donoho, 1999b; Do, 2001]. L’un des problèmes des curvelets a été de passer du cadre continu dans lequel elles ont été définies au domaine discret. Les premières méthodes discrètes comme celle pré-sentée ci-dessus, souffraient d’une redondance élevée pouvant être difficile à gérer pour certaines applications et d’un temps de calcul élevé. Plus récemment, des implémenta-tions 2 rapides et moins redondantes ont été proposées [Candès et al., 2005].

Transformée étendue à recouvrement

Les transformées orthogonales étendues à recouvrement ont été introduites sous le nom de GenLOT (generalized linear-phase lapped orthogonal transform) au milieu des années 1990 [de Queiroz et al., 1996] et constituent une généralisation de la TCD et des transformées orthogonales à recouvrement ou LOT (lapped orthogonal transform).
Pour illustrer la méthode d’inversion, nous avons choisi d’utiliser une GenLOT avec M = 16 filtres de 32 coefficients. Les paramètres que nous avons utilisés pour simuler un banc de filtres redondant sont : N = 8, k = 4 et k0 = 2. On peut remarquer que ce banc de filtres est réel et ne vérifie pas la condition de symétrie. La figure 3.2 présente les réponses impulsionnelles et fréquentielles de ce banc de filtres.
Avec ces paramètres le banc de filtre est inversible. En utilisant la méthode décrite à la section 3.3, on obtient p1 = 3 et p2 = 0 (donc p = 4). Les réponses impulsionnelles et fréquentiellese du banc de filtres de synthèse réel obtenu par pseudo-inverse sont montrées à la figure 3.3.

Résultats dans le cas symétrique

Enfin, nous avons testé la procédure d’optimisation dans le cas symétrique sur le banc de filtres de la section 3.5.2 avec la fenêtre ha2 . Nous avons utilisé dans ce cas les fonctions de coût Jfts et Jffs. À nouveau, nous avons utilisé les paramètres : N = 8, k = 3 et k0 = 7=4. Les résultats de ces tests sont montrés aux figures 4.6 et 4.7. On constate que les résultats d’optimisation avec les deux fonctions de coût sont différents : avec Jfts les réponses impulsionnelles sont plus concentrées qu’avec Jffs et les réponses fréquentielles présentent une meilleure sélectivité avec Jffs qu’avec Jfts, ce qui est conforme au choix des fonctions de coût.

Notations dans le cadre multidimensionnel

Objectif

Une manière classique de traiter des données multidimensionnelles consiste à utiliser des méthodes unidimensionnelles appliquées dans chaque dimension, ce qui formelle-ment revient à utiliser le produit tensoriel des traitements unidimensionnels. Dans le cas linéaire, on obtient ainsi des transformations dites séparables. Les transformations sé-parables sont souvent employées avec succès pour des applications de compression (norme JPEG), de débruitage ou de restauration d’images par exemple. Cependant pour traiter certaines données, par exemple les données de climatologie ou d’écoulement de fluides [Xia, Suter, 1995], il peut être important de considérer des transformées non sé-parables, offrant des propriétés supplémentaires. Par exemple, un banc de filtres RIF non séparable peut être orthogonal et à phase linéaire ce qui n’est pas vrai dans le cas sé-parable (sauf dans le cas de Haar) [Kovaceviˇc,´ Vetterli, 1995]. L’intérêt de transformées non séparables a également été mis en évidence pour traiter des données contenant des informations de type géométrique par des méthodes comme les Curvelets, les Contour-lets ou les Bandelettes. L’une des applications privilégiées de cette thèse étant le filtrage directionnel de données anisotropes, il semble également intéressant d’utiliser la plus grande liberté de construction de bancs de filtres d’analyse offerte dans le cas multidi-mensionnel pour traiter des données pour lesquelles un a priori sur la direction dominante serait connu.
Dans les chapitres précédents, nous avons vu comment vérifier qu’un banc de filtres d’analyse unidimensionnel suréchantillonné est inversible, comment en calculer un in-verse et éventuellement l’optimiser. Dans ce chapitre nous allons supposer que les bancs de filtres multidimensionnels ne sont pas nécessairement séparables et notre but va être d’examiner si les propriétés obtenues dans le cas unidimensionnel s’étendent en dimen-sion supérieure.
Dans la suite, nous noterons L la dimension du banc de filtres d’analyse (L = 2 pour une image). Le but, dans un premier temps, est le même qu’au chapitre 3 : caractériser l’inversibilité d’un banc de filtres d’analyse suréchantillonné donné. Par la suite, nous verrons comment obtenir (au moins) un banc de filtres de synthèse.
Le facteur de décimation des filtres dans chaque dimension est encore N. Ceci cor-respond à un sous-échantillonnage suivant un réseau rectangulaire (ou plutôt carré), ce qui n’est pas toujours le cas pour des bancs de filtres multidimensionnels. Il existe par exemple des sous-échantillonnages en quinconce ou hexagonaux qui sont couramment employés. On suppose que la redondance dans chaque direction est de k0 et donc la redondance de la transformation complète est k0L. Dans la suite, on conserve la nota-tion M = k0N qui correspond au nombre de sous bandes associées à chaque direction. Les résultats présentés dans la suite s’adaptent au cas où l’on suppose que le facteur de recouvrement, la redondance et le sous-échantillonnage sont différents dans chaque direction. Cependant, la complexité des notations dans ce cadre plus général rendant la lecture plus difficile, nous nous sommes restreints à des valeurs identiques dans chaque direction.
Nous allons introduire les notations polyphases dans le cadre général de transfor-mées de dimension L. Dans la majeure partie de ce chapitre nous allons cependant nous restreindre à la dimension L = 2 pour des raisons de simplicité d’écriture. À l’exception de l’algorithme de la section 5.2.2, tous les résultats présentés s’étendent naturellement en dimension supérieure.

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Motivations
1.2 Démarche
1.3 Plan de la thèse
1.4 Publications
2 Rapide état de l’art 
2.1 De Fourier aux ondelettes
2.1.1 Quelques transformées standards
2.1.2 Transformées par blocs
2.1.3 Transformées à recouvrement
2.1.4 Bancs de filtres
2.1.5 Transformées en ondelettes
2.2 Redondance et suréchantillonnage
2.2.1 Trames
2.2.2 Bancs de filtres suréchantillonnés
2.3 Transformées multidimensionnelles et directionnelles
2.3.1 Bancs de filtres multidimensionnels
2.3.2 Bandelettes
2.3.3 Curvelets
2.3.4 Contourlets
2.4 Conclusion
3 Inversion de bancs de filtres 1D suréchantillonnés 
3.1 Formulation polyphase et redondance
3.1.1 Notations utilisées
3.1.2 Formulation polyphase
3.1.3 Banc de filtres de synthèse
3.2 Inversibilité d’un banc de filtres d’analyse
3.3 Calcul explicite d’un banc de filtres de synthèse
3.4 Le cas symétrique
3.4.1 Une première méthode de construction
3.4.2 Une seconde méthode de construction
3.5 Exemples de bancs de filtres
3.5.1 Transformée étendue à recouvrement
3.5.2 Transformée modulée complexe redondante à recouvrement
4 Optimisation de bancs de filtres suréchantillonnés 
4.1 Réduction de la dimension du problème
4.1.1 Cas général
4.1.2 Cas symétrique
4.2 Solution optimale
4.2.1 Forme générale de la fonction de coût considérée
4.2.2 Critère de bonne localisation temporelle
4.2.3 Critère de bonne localisation fréquentielle
4.3 Optimisation par descente de gradient
4.3.1 Algorithme du gradient
4.3.2 Expression générale du gradient
4.3.3 Exemples de gradients
4.4 Solution optimale dans le cas symétrique
4.4.1 Fonctions de coût dans le cas symétrique
4.4.2 Exemples de fonctions de coût
4.4.3 Gradients des fonctions de coût
4.5 Simulations
4.5.1 Choix des paramètres des noyaux
4.5.2 Temps de calculs
4.5.3 Bancs de filtres optimisés
4.6 Conclusion
5 Bancs de filtres multidimensionnels sous-échantillonnés rectangulairement 
5.1 Notations dans le cadre multidimensionnel
5.1.1 Objectif
5.1.2 Notation polyphase
5.2 Inversibilité et résultants
5.2.1 Résultats préliminaires
5.2.2 Description de l’algorithme
5.3 Méthode utilisant les bases de Gröbner
5.3.1 Quelques rappels sur les bases de Gröbner
5.3.2 Application au problème d’inversibilité
5.3.3 Discussion
5.4 Calcul d’un inverse
5.4.1 Méthode de calcul par pseudo-inverse
5.4.2 Cas symétrique
5.4.3 Paramétrisation des bancs de filtres de synthèse
5.4.4 Exemple d’inversion
5.5 Cas où la redondance est égale au recouvrement
5.5.1 Expression exacte du banc de filtres de synthèse
5.5.2 Exemple de fenêtre de reconstruction
5.5.3 Exemple de banc de filtres
5.6 Conclusion
6 Méthodes pour la réjection de bruit 
6.1 Débruitage basé sur le principe de Stein
6.1.1 Présentation et fondements théoriques
6.1.2 Estimation du risque sur les coefficients avant reconstruction
6.1.3 Estimation du risque après reconstruction
6.1.4 Cas orthogonal
6.1.5 Cas des transformées à recouvrement
6.1.6 Extension en dimension 2
6.1.7 Formalisme SURE-LET
6.1.8 Mise en oeuvre du débruitage par SURE-LET
6.1.9 Simulations
6.2 Filtrage directionnel dans des images
6.2.1 Estimation des directions
6.2.2 Sélection de direction
6.2.3 Simulations sur une image artificielle
6.2.4 Estimation des mélanges de direction
6.2.5 Méthode de filtrage conservant les mélanges
6.3 Conclusion
7 Quelques exemples d’applications 
7.1 Données sismiques
7.1.1 Présentation : acquisition des données sismiques
7.1.2 Filtrage directionnel
7.1.3 Extraction d’onlap/toplap
7.1.4 Autres applications en sismique
7.2 Microscopie électronique à transmission
7.2.1 Présentation et problématique
7.2.2 Résultats
7.3 Analyse temps-fréquence de signaux de combustion
7.3.1 Motivations
7.3.2 Représentation temps-fréquence
7.3.3 Résultats
8 Conclusion 
8.1 Résumé des travaux réalisés
8.2 Perspectives
A Algorithme de test d’inversibilité
Bibliographie

Télécharger le rapport complet