Soutenance mémoire
Difficultés et réticences
On peut voir des difficultés et des réticences dans l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques en classe. Pour certains professeurs, l’Histoire des Mathématiques n’est pas fondamentale dans l’apprentissage d’une notion, c’est pourquoi elle n’est pas introduite dans leurs cours . D’autres professeurs sont conscients et considèrent que l’histoire de cette matière possède un réel potentiel quant à l’apprentissage d’une notion. Cependant, l’utilisation de l’Histoire des Mathématiques et notamment son introduction constituent une réelle difficulté. Plusieurs raisons peuvent expliquer ces difficultés (SIU).
La première difficulté se situe au niveau du domaine de travail. En effet, les Mathématiques font parties des sciences exactes, contrairement à l’Histoire qui fait partie du domaine des sciences humaines. On peut voir aussi de nombreuses réticences des professeurs de Mathématiques à introduire l’histoire de Mathématiques par peur du manque de temps. En effet, le temps de travail afin de traiter le programme est déjà suffisamment restreint. Pour certains professeurs, introduire l’histoire des Mathématiques est une charge de travail supplémentaire et pas forcément nécessaire. Une des raisons à l’origine de ces réticences et de ces difficultés est aussi le manque de formation des professeurs à propos de l’histoire des Mathématiques.
Un manque de formation
Afin d’illustrer ce manque de formation, nous avons distribué un questionnaire (cf. annexe 1).
Ce questionnaire est issu de l’article Former des enseignants à l’Histoire des Sciences : analyse et enjeux d’une pratique en Mathématiques . Nous avons interrogé trois classes de cinquièmes lors de notre troisième période de stage ainsi que des étudiants en M1 MEEF en Mathématiques. Nous allons tout d’abord analyser les réponses obtenues auprès des classes de cinquièmes.
Afin d’analyser les résultats nous avons réalisé des diagrammes en bâtons pour chaque question posée dans le questionnaire.
En analysant les résultats, nous pouvons constater que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques sont utiles dans la vie de tous les jours. Les élèves sont aussi d’accord sur le fait que les Mathématiques sont une science qui ne cesse d’évoluer et que les mathématiciens découvrent encore aujourd’hui de nouvelles choses. En revanche, on peut voir une incohérence au niveau de l’origine des Mathématiques.
En effet, on peut voir sur le diagramme de la question Les mathématiques ont toujours existé que l’avis des élèves est réparti de façon équitable. Les élèves ne sont pas d’accord sur la naissance des Mathématiques. En revanche, en analysant, le diagramme de la question Les mathématiques ont été inventées il y a 100 ans ? on peut voir que la majorité des élèves sont d’accord sur le fait que les Mathématiques ont une histoire et que celle-ci remonte à plus de cent ans.
Nous avons voulu réaliser ce questionnaire auprès d’étudiants en Master MEEF Mathématiques afin de comparer les différences avec les réponses des élèves. Nous avons comme précédemment, réalisé des diagrammes en barres afin d’illustrer les réponses pour chacune des affirmations. Nous avons obtenu les résultats suivants.
Utilité et bénéfices
Théorie de Jankvist
Jankvist est un chercheur qui s’intéresse notamment à l’histoire des Mathématiques. Il a plus particulièrement essayé de catégoriser les différentes approches du comment et aussi du pourquoi utiliser l’histoire des Mathématiques en cours (A categorization of the “whys” and “hows” of using history in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 71(3), 235-261,2009). Le but decette catégorisation est avant tout de rendre plus accessible l’utilisation de l’Histoire. Elle permet également de faciliter l’analyse des relations qui existent entre les différentes façons d’introduire l’Histoire et les raisons d’une telle introduction. Un autre but de cette catégorisation est d’éviter toute sorte de confusion lors de recherches sur le sujet. Il est question de cette catégorisation dans l’article
“L’histoire dans l’enseignement des Mathématiques : sur la méthodologie de la recherche” de D. Guillemette(2011). On y retrouve trois grandes catégories de méthodes.
On peut retrouver dans un premier temps l’approche anecdotique. Cette approche consiste en l’introduction d’éléments isolés sur des faits mathématiques ou des anecdotes. On peut par exemple introduire une petite partie historique à la fin de chaque chapitre.
Une deuxième approche est l’approche par modules d’apprentissage. C’est un usage plus répandu et plus approfondi de l’histoire des Mathématiques. Cela peut passer par la proposition de situations problèmes ou encore de séquences plus ou moins longues sur une notion en particulier.
Enfin, la dernière approche est l’approche historique intégrée. Cette pratique est beaucoup plus poussée que les deux précédentes. On se base sur le développement historique d’un objet mathématique en lui-même pour élaborer une séquence entière. Cela doit se ressentir dans la pratique de l’enseignant mais aussi dans la façon de penser la séquence. On retrouve cela dans l’approche génétique de Toeplitz qui consiste à utiliser l’histoire des Mathématiques pour faire engager la classe en suscitant l’enthousiasme et l’intérêt des élèves.
En ce qui concerne les différentes raisons d’introduire l’histoire des Mathématiques, on peut retrouver deux catégories.
Dans un premier temps, l’histoire des Mathématiques peut être vue comme un outil dans l’apprentissage. En effet, elle peut être considérée comme un vecteur de motivation, permet l’humanisation des Mathématiques, représente un support cognitif pour les élèves ou encore être une approche didactique permettant l’accès à des problèmes enrichissants.
Deuxièmement, l’histoire des Mathématiques en tant que telle apporte du sens à l’apprentissage des Mathématiques. Jankvist parle alors d’apprentissage de “l’esprit” des Mathématiques. L’Histoire est vue comme un objectif en soi.
Potentialité didactique
Il est notamment question de potentialité didactique dans un article que nous avons pu lire au cours de nos recherches documentaires (Barrier, Mathe & De Vittori, 2012). Dans cet article, des élèves se retrouvent dans une situation similaire à celle des mathématiciens indiens. Dans la tâche qui leur est proposée, ils ne disposent que d’une craie et d’une corde. La corde va notamment être utilisée à différentes fins mais aura avant tout pour but de se substituer au compas. Dans cette activité, les élèves doivent tracer un carré seulement avec les éléments qui sont à leur disposition. Pour cela, ils doivent suivre une série d’instructions.
Nous avons, au cours de notre formation à l’INSPE, pu tester cette activité par nous-même. Nous nous sommes de suite rendu compte que l’ensemble des étudiants s’est prêté au jeu et a été motivé par l’activité proposée. Cela n’a que renforcé notre point de vue sur la motivation des élèves par l’apport d’activité historique. De plus, cela nous a confortées dans l’envie de tester cette activité avec nos propres classes, si cela fonctionne auprès d’adultes des enfants devraient apprécier.
Dans cet article, il est dit que “La présence dans le milieu didactique d’instruments non-usuels, en l’occurrence issus de pratique historique rend envisageable l’émergence de connaissances géométriques reposant sur des propriétés qui, dans des contextes plus classiques, ont moins de chance d’être mobilisées par les élèves”. On a donc ce type de tâches qui peuvent conduire à la formulation et à l’institutionnalisation de certaines propriétés. Cela permet de constituer un lieu d’enrichissement du rapport des élèves aux objets géométriques en jeu. On peut retrouver les mêmes effets et bénéfices avec d’autres types de notions.
Analyse des manuels
Afin d’étudier la mise en œuvre des programmes scolaires, nous avons analysé les manuels scolaires afin de regarder si des exercices en rapport avec l’histoire des Mathématiques étaient présents au sein de ces derniers. Pour cela, nous avons analysé la collection Mission Indigo de 2017 pour le collège et la collection Math’x de 2014 à 2016 pour le lycée. Nous voulions en effet analyser une collection en particulier afin de regarder le niveau où l’on retrouve le plus d’exercices de ce type.
Enfin, nous nous sommes penchées sur plusieurs manuels de première scientifique. Cette analyse nous permettra de connaître l’évolution de la présence des exercices liés avec l’histoire des Mathématiques et les chapitres dans lesquels ils sont le plus présents.
Avant tout, il est important de différencier les exercices faisant simplement référence à l’Histoire et les exercices faisant référence à l’histoire de Mathématiques. Nous considérons, pour cette analyse, qu’un exercice lié à l’histoire des Mathématiques est un exercice pouvant expliquer l’origine d’une notion, la manière dont elle était utilisée à une certaine époque, des énigmes mathématiques d’une certaine période…
L’avis d’une historienne des Mathématiques, Evelyne Barbin
Lors de nos premières recherches l’année dernière, nous sommes tombées sur un ouvrage d’Évelyne Barbin, historienne des Mathématiques. Nous avons de suite perçu le potentiel de ce livre et nous nous sommes alors intéressées à qui était son auteure. Au fur et à mesure, nous nous sommes dit qu’il pourrait être intéressant de réaliser une interview auprès de cette professeure pour avoir un avis plus poussé sur le sujet de l’histoire de notre discipline.
En effet, la majeure, si ce n’est la totalité, partie de son travail est tourné vers l’histoire des Mathématiques et l’utilisation qu’il peut en être faite dans l’enseignement. Nous avons décidé de faire cette interview cette année, après avoir réalisé nos expérimentations et avoir poussé un peu plus loin nos travaux. Pour cela, nous lui avons envoyé notre questionnaire au préalable pour qu’elle puisse se faire une idée de ce qui nous intéressait. Le questionnaire en question se trouve en annexe. Aux vues des conditions sanitaires actuelles nous n’avons pu le faire de vives voix et sommes passées par un appel téléphonique. Cette partie va donc résumer nos échanges.
Nous avons demandé à Madame Barbin de se présenter brièvement. Madame Evelyne Barbin est une mathématicienne qui mène parallèlement des recherches sur l’histoire des Mathématiques notamment par le biais de groupes IREM. Elle a également réalisé une thèse en informatique théorique et a pendant quelques années été officiellement informaticienne. Par la suite, elle est devenue historienne des Mathématiques et a occupé un poste de professeure à l’Université de Nantes.
Nous avons voulu savoir ce qui l’avait menée à s’intéresser à l’histoire des Mathématiques. Elle nous a répondu que c’est le début de la réforme des Mathématiques modernes qui l’y avait conduite. En effet, elle a été recrutée par la directrice de l’IREM de Rouen dans les années 1970 pour « recycler » les professeurs de Mathématiques. Ces derniers rencontraient des difficultés dans leur enseignement car ils commençaient par enseigner ce qui était le plus récent. Hors, le fait d’enseigner par l’histoire des Mathématiques et donc par « le début » avait tout son intérêt. C’est comme cela qu’en 1976, un groupe IREM s’est formé à Rouen autour de ce sujet. Ce groupe dont elle faisait partie comportait des professeurs du secondaire, des universitaires mais aussi des professeurs d’histoire et de philosophie. Madame Barbin continue actuellement ses recherches sur l’histoire des Mathématiques et son introduction dans l’enseignement. Elle a recréé un groupe IREM cette fois -ci à Nantes avec des professeures du secondaire. Elles expérimentent ensemble en classes avec des élèves.
Avant d’être à la retraite, elle a notamment expérimenté dans la formation des enseignants aussi bien en formation continue qu’en formation initiale. En 2002, elle est intervenue auprès d’étudiants en licence pluridisciplinaire, c’est-à-dire auprès de futurs professeurs des écoles au sujet de l’enseignement des Mathématiques à partir de leur histoire. Ces étudiants avaient, pour la plupart d’entre eux, un cursus mathématiques quasiment inexistant et donc leur besoin de formation était d’autant plus grand.
Outils pour analyser une tâche
Par le biais de nos lectures nous avons pu affiner notre objectif de recherche et définir la problématique suivante :
Y a-t-il un réel effet de l’introduction de l’histoire des Mathématiques sur l’intérêt que portent les élèves à l’activité ?
Avant de mener plus en détail notre travail de recherche, nous avons formulé plusieurs hypothèses.
Nous pensons tout d’abord que l’âge des élèves n’a pas de réel impact sur l’intérêt que peut apporter l’histoire des Mathématiques aux élèves.
De plus, nous pensons que les activités dites « à la manière de » vont être les activités qui permettront d’obtenir une plus grande motivation, un plus grand intérêt chez les élèves.
Enfin, nous pensons que l’introduction de l’histoire des Mathématiques dans un cours peut vraiment changer la façon dont les élèves vont percevoir ce qu’ils ont à faire, que cela peut gommer le côté un peu magistral que peut avoir un cours de Mathématiques traditionnel.
Lors de ce mémoire, nous avons pour but de réaliser des expérimentations au sein de nos classes afin de répondre de manière plus rigoureuse à cette problématique. Pour cela, nous avons besoin d’analyser les séances de manière didactique mais aussi d’analyser les séances de manière historique.
Nous allons donc parler, dans cette partie, d’une méthode permettant d’analyser les tâches des élèves de manière historique : la typologie SaMaH.
Cette typologie permet d’analyser les tâches des élèves dans une séance de mathématiques à dimension historique. En effet, il est important de comprendre que les tâches des élèves diffèrent d’une séance de mathématiques ordinaire.
Cadre théorique d’analyse
Nous avons choisi le cadre de la problématisation comme “lunettes” à chausser pour analyser nos données. En effet, le cadre de la problématisation ne s’intéresse pas seulement à la solution finale mais met également en lumière le raisonnement suivi par les élèves pour y parvenir : “le savoir visé ne peut résider uniquement dans la solution à la question posée, il doit prendre en compte la solution du problème” (Orange, 2012, p35). Michel Fabre (« Problématiser pour mieux enseigner », 2015), en s’appuyant sur les travaux de Dewey et Bachelard, nous donnent aussi les caractéristiques de la problématisation :
• processus multidimensionnel impliquant position, construction et résolution.
• s’aider de ce qui est connu pour parvenir à l’inconnu passant par la mise en place de certains points d’appui.
• dialectique à partir de faits, d’idées et de théories.
• pensée contrôlée par des normes (intellectuelles, éthiques, techniques…) pouvant être construites ou à construire.
• schématisation du réel visant plus à construire des outils pour la pensée et l’action plutôt que de reproduire la réalité (Fabre 2005) “Problématiser, c’est donc développer un questionnement visant à identifier les données et les conditions du problème et à les mettre en tensions. »(Fabre et Musquer, 2009). De ce processus émergeront des hypothèses qui seront validées ou non. Les données sont quant à elles déjà présentes ou bien amenées par l’enseignant: ce sont les contraintes.
La problématisation n’est pas un processus linéaire, les élèves ne vont pas aller directement des données à la solution. En effet, ils vont parfois devoir revenir aux données pour les affiner, les corriger et par la suite revenir aux solutions possibles.
Les étapes du processus de problématisation
Le processus de problématisation n ‘est pas linéaire et l’on ne voit pas la succession des phases suivantes : position, construction et résolution. Les données du problème sont caractérisées comme des contraintes. Ces données doivent être choisies en adéquation avec les conditions visées. Les conditions représentent ce qu’il y a à apprendre : les principes, les concepts. Ces conditions commandent le processus de problématisation. Ce sont des nécessités à prendre en compte pour réussir. Enfin, l’explication de ces conditions par les élèves permettra d’aboutir à la compréhension de la réussite. Ce processus peut être résumé à l’aide du schéma suivant appelé le losange de Fabre.
Expérimentation Pauline Tison
J’ai décidé d’expérimenter sur ma classe de sixième que ce soit pour l’activité juxtaposant les mathématiques et l’histoire ou pour la seconde activité « à la manière de ». Comme définie dans nos modalités de travail, la première activité s’est déroulée sur le thème des nombres et plus précisément sur le chapitre des nombres décimaux, le premier chapitre vu au cours de l’année. Cette activité m’a permis à la fois d’évaluer quels étaient les acquis qui restaient chez les élèves et en même temps de (ré)introduire mon chapitre. Cela permettait également de redémarrer en douceur, d’amener la notion petit à petit et non pas de leur donner les résultats importants de but en blanc. L’activité, que l’on peut retrouver en annexe, aborde différents aspects des nombres décimaux.
Il est tout d’abord question du découpage en dixièmes et en centièmes. Les élèves découvrent quels problèmes se posaient à la base et donc impliquaient la nécessité des tels nombres. Par la suite, la notation fractionnaire est abordée ainsi que la décomposition sous la forme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. J’ai donc pu balayer des points assez divers pour me faire une idée de ce qui pourrait poser problème.
Je n’ai pas distribué de support aux élèves, je me suis contentée de projeter le document au tableau. Cela permettait de gérer ce temps en classe entière et de faire participer plus ou moins chacun des élèves. Chaque élève pouvait alors apporter ces souvenirs. Il y avait quelques étapes où il leur était demandé de colorier ou bien de compléter des égalités et dans ce cas, je leur ai demandé soit de le faire au brouillon rapidement avant une mise en commun ou bien, je l’ai traité directement avec eux à l’oral.
Il était de toute façon envisagé de reprendre certaines parties de ce document pour constituer des points de cours ou bien pour remobiliser certains points. En effet, ce fût le cas notamment lorsque nous avons travaillé plus en détails l’écriture fractionnaire. Cette activité a servi de pilier, de point d’attache pour la suite.
Les notions mathématiques abordées ne demandaient pas de gros efforts de la part des élèves et si cela s’avérait plus compliqué, le nombre de répétitions et le côté illustré ont permis aux élèves les plus en difficultés de ne pas trop percevoir d’obstacles. Ici, l’histoire a amené un contexte propice à l’apprentissage. L’intérêt des élèves a été très vif, ils sont de suite rentrés dans « le jeu ». La compréhension a été très facile, aucun élève n’est resté de côté à ne pas comprendre ou ne pas vouloir participer à l’oral. Une fois cette activité passée, les élèves m’ont sollicité pour que je réintègre de l’Histoire à d’autres reprises. Je leur ai dit qu’à différents moments au cours de l’année, il serait de nouveau question d’Histoire et ils étaient plus que ravis. Je pense donc qu’ils en sont plutôt satisfaits, d’autant plus que c’était nouveau pour eux de travailler de cette façon. Cela s’annonçait donc bien pour la seconde activité comportant une part plus importante d’Histoire.
Ma seconde activité, que vous pourrez retrouver en annexe, s’inscrivait dans le second chapitre de l’année : l’introduction à la géométrie. Ce chapitre est avant tout consacré à la révision et/ou l’apprentissage du vocabulaire courant en géométrie ainsi qu’à la manipulation des instruments de géométrie tels que la règle et le compas. Cette activité s’est faite à la fin du chapitre, car les élèves avaient besoin de connaître tout le vocabulaire et de maîtriser les principaux tracés. L’activité était donc conçue comme une sorte de bilan, un travail demandant plus de réflexion pour conclure le chapitre et réinvestir ce qui avait été vu. Ce réinvestissement allait aussi me permettre de vérifier que les principales connaissances vues au cours du chapitre étaient acquises pour, si besoin, faire de la remédiation par la suite.
Méthodologie de recueil
J’avais prévenu les élèves que pendant cette séance, ils seraient enregistrés. Les parents en étaient aussi informés par le biais d’une autorisation que j’avais faite passer, après accord du principal, dès le début d’année leur précisant le but de ces enregistrements. Les élèves n’ont donc pas été surpris.
Pour réaliser l’enregistrement de la séance j’avais prévu d’utiliser les dictaphones pouvant être prêtés par l’INSPE (Institut National Supérieur du Professorat et de l’Éducation) mais le confinement ne m’a pas permis de les emprunter. J’ai donc utilisé les baladodiffuseurs dont disposait l’établissement qui ont parfaitement fait l’affaire. Ces petits appareils sont semblables à des baladeurs de type MP4 et facile à manipuler même par des élèves. Je n’ai pas utilisé la fonction vidéo mais me suis concentrée sur la fonction enregistrement vocal. J’ai disposé un appareil dans chacun des groupes, j’ai donc recueilli quatre enregistrements différents. Après écoute de ces enregistrements j’ai sélectionné celui du groupe qui me paraissait retranscrire les difficultés rencontrées par plusieurs groupes et reflétant le mieux ce que j’attendais de l’activité. Une retranscription de cet enregistrement se trouve en annexe, vous y retrouverez les dialogues au sein du groupe et mes quelques interventions. Cet enregistrement va constituer la base de mon analyse a posteriori.
Analyse a posteriori
Lorsque j’ai conçu cette séance et en accord avec mon ressenti sur la première activité historique, je m’attendais à ce que les élèves soient de suite intéressés par l’activité. J’ai constaté que pour la plupart d’entre eux, faire « à la manière de » les a vraiment motivés et portés à s’investir dans le travail de groupe. Certains élèves ont cependant eu quelques difficultés à rentrer dans l’activité, mais cela concernait surtout des élèves en difficultés de façon générale. Dans cette analyse a posteriori nous allons nous intéresser plus en détails à ce qu’on fait les élèves, au travail qu’ils ont rendu et à ce qui leur a posé problème. Nous aborderons aussi les éléments qui auraient pu être améliorés pour susciter un intérêt chez tous les élèves.
Schéma des différents registres
Pour mieux comprendre ce qui a posé soucis aux élèves nous allons définir l’espace de contrainte en identifiant trois différents registres : le registre empirique, le registre de nécessité et le registre explicatif.
La première partie de l’activité est celle qui a demandé le plus de temps aux élèves. En effet, il a été parfois compliqué pour eux de mettre en relation le vocabulaire utilisé par Euclide et celui qu’ils utilisent aujourd’hui. En effet, à la difficulté mathématique en elle-même s’ajoutait celle de la barrière de langue bien qu’il soit question de leur langue maternelle. Pour beaucoup d’élèves, même ceux avec un bon niveau, le français constitue un obstacle dans la compréhension des énoncés, des consignes en général. Il leur a alors fallu plus de temps pour bien comprendre ce dont on parlait dans telle ou telle définition. Les élèves étaient souvent en désaccord et ils ont donc dû débattre pour tous répondre de la même façon. Comme je ramassais une seule production par groupe, chacune des réponses devait être unanime. Cela a permis à chaque élève de travailler la communication avec ses pairs. La lecture a aussi posé soucis pour plusieurs élèves. Ces derniers lisaient les définitions sans même comprendre ce qu’ils étaient en train de lire, comme si la phrase n’était qu’une succession de mots sans sens particulier. La seconde partie de l’activité demandait certes moins de temps, mais n’était pas plus facile pour autant.
Ils devaient suivre un protocole de construction pour répondre à un problème simple en apparence : retrouver le centre d’un cercle donné. Ce qui a ici demandé de la réflexion est la compréhension du protocole de construction. Pour certains élèves, même comprendre qu’il fallait suivre ce programme de construction n’étais pas évident.
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Table des matières
I- Difficultés et réticences
a. Difficultés et réticences
b. Un manque de formation
II- Utilité et bénéfices
a. Théorie de Jankvist
b. Potentialité didactique
III- Comment ?
a. Nature des éléments historiques
b. Modalités d’entrée lors d’une séance
IV- Textes officiels
a. Programmes scolaires
b. Analyse des manuels
V- L’avis d’une historienne des Mathématiques, Evelyne Barbin
VI- Outils pour analyser une tâche
a. La typologie SAMAH
VII- Perspective envisagée au terme de notre première année de Master
a. Présentation d’une possible expérimentation
b. Analyse des activités proposées
VIII- Expérimentation en classe
a. Présentation des classes en charge
b. Modalités et consignes de travail
c. Cadre théorique d’analyse
1. Les étapes du processus de problématisation
2. Les étapes de notre analyse
d. Expérimentation Juliette Rotger
1. Analyse a priori
i. Analyse globale
ii. Analyse des tâches proposées aux élèves
iii. Conditions de travail des élèves
2. Méthodologie du recueil
3. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Activité des élèves à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
e. Expérimentation Pauline Tison
1. Analyse des tâches proposées
2. Conditions de travail des élèves
3. Méthodologie de recueil
4. Analyse a posteriori
i. Schéma des différents registres
ii. Analyse de l’activité à maxima et à minima
iii. Questionnaire aux élèves : bilan sur l’activité
IX- Conclusions
Bibliographie
Annexe
4e de couverture
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