Interfaces rigides des modèles sur réseau

Transitions de phases Les transitions de phases sont des phénomènes physiques spectaculaires, dont chacun a déjà fait l’expérience : plaques de verglas sur la route, ébullition dans une casserole d’eau, aimantation des objets métalliques (aiguilles ou tournevis par exemple), etc. D’autres expériences un peu moins banales comme la contraction spontanée de certains alliages sont également des manifestations de ces transitions. Dans des conditions bien précises de pression et de température, certains systèmes disposent donc de plusieurs états d’équilibre appelés phases — liquide et vapeur par exemple. Tout ou partie du système est alors susceptible de passer d’une phase à l’autre sans rompre l’équilibre.

La modélisation de ce type de phénomènes est un problème délicat. Il s’agit en effet de décrire des systèmes comprenant un très grand nombre d’objets (atomes ou molécules) interagissant tous les uns avec les autres. À titre d’exemple, un simple verre de table peut contenir 10²⁴ molécules d’eau ou d’huile ; un tel nombre représente des dizaines de millions de fois l’âge de la Terre en secondes ! Il est donc impensable de pouvoir prendre en compte toutes les interactions possibles entre les molécules.

Une première approximation possible, sans grande audace, consiste à considérer que chaque particule n’interagit qu’avec ses voisines. Ceci ramène le nombre de termes d’interaction à un ordre de 10²⁴, encore trop grand pour espérer des calculs analytiques, même approchés. Deux options sont alors envisageables : la simulation numérique ou l’approximation statistique. La simulation numérique peut suggérer des pistes quant au comportement du système et permet parfois de détecter des transitions de phases. Malheureusement, les temps de calcul requis pour de telles simulations explosent lorsque le nombre de particules augmente, ce qui limite sévèrement la portée des observations.

Quant à l’approximation statistique, elle consiste à postuler que les particules sont tellement nombreuses que l’observation à notre échelle, dite macroscopique, opère une moyenne sur les phénomènes microscopiques entre particules. Cette approximation est la base de la mécanique statistique, et c’est sous cet angle que nous interpréterons plus bas la notion d’interface rigide.

Interfaces rigides Considérons maintenant de l’huile et de l’eau dans deux verres différents. Lorsque l’on réunit ces deux liquides dans un même récipient, on pourrait s’attendre à un volume homogène où l’eau et l’huile sont parfaitement mélangées, comme un sirop versé dans de l’eau par exemple. Comme chacun le sait, il n’en est rien : on observe deux phases nettement séparées par une surface horizontale, appelée interface. La phase huileuse est majoritairement composée d’huile, avec néanmoins de minuscules bulles d’eau, et inversement pour la phase aqueuse.

Remarque 1. Le mélange eau–huile évoqué ci-dessus permet de visualiser de façon simple le concept d’interface, bien que l’analogie avec nos modèles d’étude reste très limitée. En effet, la structure de réseau sous-jascente aux différents modèles que nous allons décrire par la suite — structure absente dans le modèle eau–huile isotrope — induit des différences fondamentales dans les propriétés et dans la nature même de leurs interfaces. Nos modèles décrivent plutôt le comportement des matériaux magnétiques et les interfaces solide–gaz, comme par exemple certains cristaux d’Hélium, cf. [BAP05].

À l’échelle microscopique, l’interface n’est jamais tout-à-fait plate : elle fluctue légèrement . Si cela ne se voit pas à notre échelle, c’est précisément parce que la probabilité pour que de nombreuses fluctuations microscopiques apparaissent est très faible ! On dit dans ce cas que l’interface est rigide.

Ces propriétés géométriques de l’interface sont liées à la force qui s’exerce lorsque l’on tente de la déformer. Si cette force — appelée tension de surface — est très faible, l’interface peut fluctuer librement sans briser l’équilibre du système ; en revanche, lorsque cette tension n’est plus négligeable, ces fluctuations sont extrêmement limitées et l’interface se rigidifie. Calculer la tension de surface est donc une manière théorique d’établir la rigidité d’une interface. Notre approche du phénomène de rigidité sera différente, et en un sens plus concrète. Nous contrôlerons en effet l’apparition de défauts dans notre interface en montrant que chacun d’eux fait chuter d’un certain facteur la probabilité de l’interface. Plus l’aspérité sera étendue et de forme compliquée, et plus ce facteur sera grand.

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Table des matières

1 Introduction
1.1 Généralités
1.2 Modèles d’étude
1.3 Objet de la thèse
1.4 Perspectives
I Formalisme des interfaces rigides
2 États d’équilibre, phases pures
2.1 Mesures de Gibbs
2.2 Transition de phases, phases pures
3 Méthode de la positivité par réflexion
3.1 Positivité par Réflexion et inégalité de l’échiquier
3.2 Mesures de Gibbs sur un tore
3.3 Mesures de Gibbs positives par réflexion
4 Interfaces rigides
4.1 Dualité en dimension d ≥ 3
4.2 Description des interfaces
4.3 Rigidité et invariance horizontale
Stratégie commune des parties applicatives
II Modèle d’Ising
5 Transition de phases du modèle d’Ising
5.1 Définition du modèle
5.2 Magnétisation spontanée
5.3 États de Dobrushin ; transition de rugosité
6 Rigidité de l’interface +/−
6.1 Introduction
6.2 Démonstration des inégalités de Peierls (6.1),(6.2)
6.3 Construction de γc
6.4 Démonstration des Lemmes 66 et 67
IIIModèle de Potts
7 Interfaces ordre–désordre du modèle de Potts
7.1 Transition de phase dans le modèle de Potts
7.2 Rigidité de l’interface ordre–désordre
8 Démonstration des inégalités de Peierls
8.1 Structure des blobs
8.2 Estimation de γ Nc
8.3 Bornes inférieures
8.4 Bornes supérieures
8.5 Inégalités combinatoires
IV Dégénérescence des états fondamentaux
9 Modèle à symétrie continue
9.1 Description du modèle
9.2 Résultats
9.3 Démonstration du Théorème 129
10 Modèle discret
10.1 Introduction
10.2 Démonstration du Théorème 140
10.3 Inégalités combinatoires pour les défauts internes
10.4 Inégalité combinatoires pour les défauts frontaliers
Conclusion