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Interdisciplinarité entre mathématiques et SPC
Etat des lieux
La problématique énoncée en introduction est en lien avec des travaux de recherche portant sur les relations entre les disciplines « mathématiques » et « sciences physiques et chimiques ». La thèse de CISSE Ba (Ba, 2007), en cotutelle entre la France et le Sénégal et soutenue en 2007, réalise un état des lieux de l’interdisciplinarité entre les enseignements de ces deux discplines : « Concernant les activités interdisciplinaires faisant intervenir les mathématiques, Legrand […] souligne une dualité, en distinguant :
– celles où un savoir mathématique que l’on connaît déjà permet d’explorer et mieux comprendre un aspect du monde qu’on ignore, et à l’inverse
– celles où la force significative des situations de vie ordinaire permet de donner sens et de faire parler des entités mathématiques complexes qu’on ne connaît pas encore et dont le côté nécessairement très abstrait ou technique risque de se dresser comme une barrière au sens et à la consistance si on les aborde d’entrée de jeu exclusivement par les mathématiques. (Legrand, 17) »
Cette citation, extraite de (Legrand, 1993) 4 , met en évidence un enjeu important de la « formule mathématique » tant employée en SPC : cette entité ne peut être désincarnée, mais doit être située dans un contexte, assorti d’exemples précis tirés de l’expérience quotidienne des élèves afin qu’ils puissent s’approprier cet outil. Une fois cet outil maîtrisé, il peut être développé et renforcé pour appréhender de nouveaux phénomènes physiques ou chimiques, sans que le formalisme ne vienne perturber la compréhension des élèves.
Par ailleurs, selon l’article de Levy-Lelond paru dans un recueil d’articles de conférences données dans le cadre d’un séminaire de philosophie et mathématiques de l’Ecole normale et supérieure (Apéry, Guénard, & Lelièvre, 1982)5 : « Bien entendu, un concept physique n’est pas, ne s’identifie pas, ne se réduit pas aux concepts mathématiques qu’il met en jeu; la physique ne se ramène pas à la physique mathématique. Il importe de ne pas concevoir la distinction entre un concept physique et sa mathématisation comme une simple différence statique. Un concept physique n’est pas un concept mathématique plus «autre chose». Le concept mathématique n’est ni un squelette auquel la physique prête chair, ni une forme abstraite que la physique emplirait d’un contenu concret : il est essentiel de penser le rapport des mathématiques à la physique en termes dynamiques.»
Ces deux disciplines ne peuvent donc pas être abordées de manière complètement séparée, mais peuvent (et peut-être, doivent), se développer conjointement. Les évolutions des programmes de SPC et de mathématiques lors de la dernière décennie montrent cet échange permanent et l’influence mutuelle des programmes de ces deux disciplines.
Méthodologie
Choix des outils de recueil de données
Nous proposons de répondre à notre problématique, « Comment faciliter la compréhension des formules abordées en classe de sciences physiques et chimiques ? », à l’aide de deux outils de recueil de données : le questionnaire d’enquête : ce type d’outils est, en accord avec (Jean, Valérie & Lenoir, Yves, 2012) « plus économe en temps et en énergie », et « permet de rejoindre un échantillon important d’une
population. »13 . Le public visé est à la fois les élèves et les enseignants de SPC ; nous reviendrons sur ce point dans la partie II-2-a, « Questionnaires » (p15). Le format écrit est privilégié, pour des raisons pratiques puisque ce type de questionnaire s’adresse à un nombre important d’élèves, mais aussi aux enseignants de SPC. L’anonymat est également garanti, ce qui évite aux élèves de se sentir évalués. Par ailleurs, l’analyse des résultats de ces enquêtes peut être réalisée de manière systématique, et des corrélations peuvent être effectuées entre les volets « élève » et « enseignant » du questionnaire, enrichissant la réflexion. l’évaluation par compétences : cet outil est au cœur des programmes de SPC du second degré, notamment dans le cadre de la sensibilisation des élèves à la démarche scientifique. De nombreuses compétences font référence à l’usage de l’outil mathématique en SPC. Leur évaluation régulière peut servir à suivre la progression des élèves dans l’utilisation et la compréhension des relations mathématiques étudiées dans notre discipline.
Les deux types d’outils proposés ayant été exposés, nous allons désormais nous intéresser à leur contenu, notamment le type de données que nous nous attendons à analyser.
Présentation des outils
Questionnaires
Chaque professeur de SPC de nos lycées d’affectation recevra, à la fin de l’année, le questionnaire
« enseignant » présenté en annexe. De plus, une classe choisie par le professeur recevra le questionnaire « élève ». Chaque professeur ayant généralement plusieurs classes de différents niveaux, il est très probable que sa façon d’enseigner les méthodes mathématiques dépende de la classe considérée. C’est pourquoi il est demandé au professeur de choisir une classe et de répondre au questionnaire en fonction de cette classe. En effet, beaucoup de questions sont communes afin d’appréhender la manière dont les élèves se sont appropriés les méthodes de calcul de leur professeur. Ces questionnaires seront aussi utilisés par nous-mêmes avec nos deux classes de Seconde respectives. Notons que l’étude des résultats selon les différents niveaux de classe ne sera pas traitée ici, les questionnaires étant prévisionnels et non distribués à ce stade de la réflexion.
Au regard de l’éclairage théorique présenté, les questionnaires portent sur trois points principaux : l’usage du langage mathématique, le calcul avec des grandeurs dimensionnées et l’utilisation des astuces de calculs. Les questionnaires prévus seront distribués en fin d’année, car les élèves auront eu le temps d’acquérir les méthodes enseignées par leur professeur et de choisir la méthode qu’ils préfèrent parmi celles qu’ils se sont appropriées durant leur scolarité. Il est cependant envisageable de le distribuer en début d’année scolaire afin d’établir un état des lieux des connaissances des élèves (portée diagnostique), et un autre en milieu/fin d’année scolaire pour observer l’évolution des pratiques des élèves. Notons que ces questionnaires seront à remplir à la maison et à rendre à la vie scolaire en faisant comprendre aux élèves que ce n’est pas leur professeur qui va les ramasser, afin d’éviter qu’ils se sentent sous la pression de leur professeur.
Grille de compétences
Le deuxième outil proposé se base sur les compétences de SPC. Nous avons mis en place, dès le début de l’année scolaire, des évaluations (diagnostiques, formatives ou sommatives) visant à développer les compétences des élèves parmi celles prescrites par le BO de Physique-Chimie de la classe de Seconde. Parmi ces compétences, certaines sont associées à l’utilisation de l’outil mathématique. Elles sont répertoriées dans le tableau 2.
Ces compétences ont été évaluées tout au long de l’année, le plus souvent séparément les unes des autres, aussi bien durant les séances de travaux pratiques que lors de démarches actives en classe entière ou d’évaluations sommatives.
Analyse des questionnaires
Chaque question analysée sera systématiquement rappelée en début de paragraphe dans la suite de ce travail.
Question 1 (élève et enseignant)
professeur enseigne. En effet, les élèves ont déjà acquis d’autres méthodes par le passé et peuvent choisir celle qui leur correspond le mieux. Ainsi, il est demandé la raison de ce choix aux élèves (avec l’ajout de la question « Pourquoi ? » dans le questionnaire élève) afin de comprendre ce qui les intéresse dans leur méthode d’inversion de formule. Généralement, les élèves utilisent spontanément une méthode simple à apprendre, qui fonctionne correctement dans la plupart des cas et qui est rapide à mettre en place, les dirigeant vers les « astuces » du type du produit en croix. Ces critères seront corrélés à la réponse à la question 2 du questionnaire « professeur ».
On peut s’attendre à ce que la majorité des élèves utilisent la méthode enseignée par le professeur, et même que certains élèves justifient leur choix en disant que c’est celle de leur professeur. Ils peuvent aussi la justifier comme leur professeur la leur justifie. L’influence du professeur permet alors aux élèves d’utiliser des méthodes plus générales ou plus utiles à long terme, qui leur paraissent peut-être moins faciles que les astuces qu’ils connaissent.
Question 2 (élève)
Il s’agit de voir comment les élèves utilisent la méthode de la question 1) dans un autre cas. Les adeptes du triangle magique (réponse a. à la question 1)) auront des difficultés à établir le triangle en utilisant l’ordre alphabétique comme décrit dans la partie I (p.13) (quelle place dans l’alphabet accordée à « µ » ?). Ils vont probablement être coincés ou ils vont changer de méthode. Mais ceux qui ont appris à utiliser cette astuce de façon plus poussée peuvent s’en sortir : k = L x µ, correspond au cas où k est caché et la multiplication a lieu à la base du triangle. On obtient alors : k L Et le problème peut être résolu : μ= Lk .
Les élèves préférant le produit en croix (réponse b. à la question 1)) vont aussi devoir réfléchir car la formule n’est pas écrite sous forme de fraction. Il ne s’agit donc pas d’écrire le numérateur sur une case, mettre le dénominateur sur celle de dessous et de faire de même avec le troisième terme et « 1 ». Ici, il faut comprendre que L et µ sont en diagonale et k et « 1 » sont sur l’autre diagonale :
Ceux qui utilisent habituellement les règles de calculs (réponse c. à la question 1)) devraient répondre sans difficultés à la question.
Ceux qui raisonnent « physiquement » (réponse d. à la question 1)) ne pourront donner aucun sens à cette formule et devront trouver une autre méthode. Cependant ils peuvent faire des analogies avec v, d et t, s’ils ont appris à le faire, mais cela demande aussi de bien comprendre le langage mathématique.
Enfin, Ceux qui apprennent habituellement les trois formules par cœur (réponse e. à la question 1)) devront trouver une autre méthode.
Cette question permet de comprendre l’intérêt que trouve le professeur dans les méthodes qu’il enseigne en général, en particulier la méthode choisie à la question 1). Le critère « Simple à apprendre » sera probablement haut dans le classement car les professeurs veulent que les élèves retiennent bien les méthodes qu’ils enseignent. Néanmoins, il faut aussi que les élèves sachent calculer rapidement, comprennent ce qu’ils font en calculant, acquièrent et utilisent un langage mathématique et soient capables d’utiliser une approche scientifique. Comme il s’agit d’une tâche difficile, les professeurs doivent trouver des compromis en choisissant des priorités. C’est pourquoi la question est posée sous cette forme.
On peut s’attendre à ce que les professeurs mettant l’accent plutôt sur la rapidité que l’intuition (réponses « a » et « d » prioritaires) s’orientent vers les astuces ou l’apprentissage des trois formules par cœur. Néanmoins, comme on le verra pour les questions suivantes du questionnaire élève, ces professeurs peuvent étendre la compréhension de ces astuces de sorte que les élèves soient capables de les adapter à un vaste champ d’application, demandant parfois aux élèves d’avoir un minimum de recul à propos de leurs astuces.
Les professeurs préférant l’intuition à la structure mathématique (réponse « e » prioritaire) favoriseront des méthodes utilisant le raisonnement physique décrit dans un langage naturel, le langage mathématique étant peu intuitif pour les élèves. Cela aide les élèves à comprendre les problèmes et limite la quantité de savoirs à acquérir, mais ils doivent réinventer un raisonnement différent par problème qu’ils rencontrent et ils ne comprennent pas mieux le langage mathématique. On devrait alors observer que cette méthode est intéressante pour les professeurs s’attachant moins aux méthodes généralisables et aux méthodes mathématiques.
Analyse des grilles de compétences
Comme exposé dans la partie II-2-b, les grilles de compétences permettent d’observer la progression des élèves au fur et à mesure de l’année dans l’utilisation des mathématiques. Il s’agit alors à la fois d’un repère pour les élèves, mais également pour les enseignants. En effet, l’amélioration des résultats des élèves dans ces compétences est un moyen de valider une stratégie pédagogique, ou au contraire de remédier à des situations de blocage en utilisant une autre approche parmi celles décrites précédemment (le triangle magique, le produit en croix, les règles de calcul avec le signe « = »,etc.). Cette démarche s’inscrit par ailleurs pleinement dans une démarche de différenciation pédagogique.
À titre d’exemple, nous avons pu observer dans nos classes de seconde respectives des évolutions très différentes suivant les orientations choisies par les élèves. Ainsi, des élèves intéressés par les
sciences et qui se dirigent vers les filières scientifiques (S, STI2D…) auront tendance à s’améliorer dans l’utilisation des relations mathématiques, ce qui se traduit par une amélioration de leurs compétences mathématiques. En revanche, les élèves à forte orientation littéraire ou STMG éprouveront plus de difficultés, et connaîtront peut-être même une régression dans ces compétences en cours d’année. Les techniques développées précédemment montrent alors des limites dans leur efficacité, et d’autres pistes d’évolution sont à chercher en dehors du cadre restrictif de ce travail (motivation des élèves, contextualisation plus poussée, analogies avec d’autres disciplines…).
Conclusion
Comment faciliter la compréhension des formules abordées en classe de sciences physiques et chimiques ?
Notre éclairage théorique nous a permis de mieux comprendre les difficultés qu’ont les professeurs pour enseigner les formules mathématiques à leurs élèves. D’une part, les élèves sont actuellement peu préparés au calcul et donc à l’utilisation de formules. D’autre part les professeurs de mathématiques et de physiques abordent les calculs selon leur culture et langue disciplinaire, qui ne sont pas (encore) acquises par les élèves. Ainsi, contrairement aux habitudes des professeurs, l’usage des unités à l’intérieur des lignes de calculs est préconisé. Aussi, l’usage d’«astuces » de calculs permet d’aider les élèves, mais présentent le risque de créer des lacunes de raisonnement sur le long terme.
Les méthodes d’inversion de formules, l’usage des unités, et l’usage du langage scientifique, seront les sujets d’intérêt lors d’une enquête sur les stratégies mathématiques de résolution des exercices de SPC. Cette enquête se fera sous la forme de questionnaires présentés en parallèle aux professeurs et à leurs élèves. Le but sera de mettre en exergue les limites des méthodes de calcul enseignées et de révéler comment les élèves peuvent dépasser ces limites en utilisant intelligemment une, ou plusieurs stratégies de résolution. Les résultats de cette enquête ne seront obtenus qu’à la fin de l’année, une fois les questionnaires soumis et leurs réponses analysées. Nous espérons alors améliorer notre enseignement en apprenant comment aider les élèves à comprendre les formules mathématiques avec des méthodes présentant peu de risques de lacunes sur le long terme.
Nous pouvons cependant déjà suggérer que la présentation aux élèves des différentes méthodes de calcul (astuce de calculs, inversion mathématiquement « rigoureuse » des formules…), dès le début de l’année scolaire, peut constituer un moyen de lever certaines difficultés techniques pour résoudre des problèmes posés en SPC. Présenter ces méthodes lors d’une séance d’aide personnalisée, que ce soit en mathématiques ou en SPC, nous semble pertinent.
Il est aussi intéressant de noter qu’au-delà de l’emploi de techniques de résolution variées et théoriquement adaptées à tout profil d’élève, la motivation intrinsèque de l’élève et son intérêt pour la discipline peut conditionner l’acquisition de certaines compétences. Un travail sur la motivation, notamment par le biais de la contextualisation des savoirs et savoir-faire, devient alors primordial. Le développement de démarches actives, notamment la résolution de problèmes, aussi bien dans le cadre des travaux pratiques que des cours, peut être utilisé à cette fin.
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Table des matières
Liste des abréviations
Liste des figures et tableaux
Introduction
I. Éclairage théorique
1. Généralités
a. Qu’est-ce qu’une formule ?
b. Pourquoi des mathématiques en SPC ? L’importance de la modélisation
2. Interdisciplinarité entre mathématiques et SPC
a. Etat des lieux
b. Bulletins officiels
3. Grandeurs et unités
a. Définitions
b. Différentes cultures disciplinaires
4. Rôle des « astuces »
a. Type d’astuces
b. Utilisation d’une astuce : le triangle magique, ou triangle d’inversion
c. Conclusion sur le rôle des astuces
II. Méthodologie
1. Choix des outils de recueil de données
2. Présentation des outils
a. Questionnaires
b. Grille de compétences
3. Analyse des questionnaires
a. Question 1 (élève et enseignant)
b. Question 2 (élève)
c. Question 2 (professeur)
d. Question 3
e. Question 4 (élève)
f. Question 4 (professeur)
g. Question 5
4. Analyse des grilles de compétences
Conclusion
Annexes : questionnaires
Questionnaire élève
Questionnaire enseignant
Bibliographie
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