Interaction modale dans un moteur d’avion 

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Structures `a sym´etrie de r´evolution

Les structures `a sym´etrie de r´evolution sont des cas limites des structures `a sym´etrie cyclique : dans le domaine continu, la taille des secteurs tend vers z´ero et leur nombre vers l’infini. Par passage a` la limite, les m´ecanismes pr´esent´es pour les structures `a p´eriodicit´ cyclique agissent de la mˆeme fa¸con sur ce type d’entit´ qui pr´esentent donc des modes doubles [LEI 73]. Ces propri´et´es math´ematiques sont intrins`equement li´ees `a l’invariance de la structure par rapport a` son axe de r´evolution et a` l’absence de direction privil´egi´ee. Tout mode propre doit pouvoir subir une rotation par rapport a` cet axe et est donc n´ecessairement une combinaison lin´eaire de deux modes orthogonaux mais a` forme et a` fr´equence identiques. Comme pour la roue aubag´ee, le carter admet, dans le domaine continu, une infinit´e de modes `a nd diam`etres, leur forme ´etant entre autres, d´etermin´ee par la g´eom´etrie de la structure.
Ainsi, toute d´eformation lin´eaire d’une structure `a sym´etrie axiale peut ˆetre vue, non pas comme une superposition de modes propres « statiques » mais comme une combinaison de modes propres « tournants », de fr´equence ω. La vitesse de propagation de ces deux modes tournants sur un carter immobile dans un r´ef´erentiel fixe vaut alors ±ω/nd.

L’interaction modale

Remarque : Dans un souci de g´en´eralit´e, aucun indice ou exposant n’a et´ utilis´e dans les paragraphes pr´ec´edents. Dans le suite de ce chapitre, toutes les grandeurs (notamment vectorielles et matricielles) relatives a` la roue aubag´ee seront indic´ees ra, et celles relatives au carter, c. Afin d’´eviter toute surcharge, ces notations pourront ´evoluer au cours de ce m´emoire et seront explicit´ees en fonction.

M´ecanismes physiques

D’apr`es ce qui vient d’ˆetre dit, dans un moteur d’avion, les deux structures qui se font face pr´esentent des caract´eristiques g´eom´etriques favorisant l’apparition de modes propres tournants. Puisque les amplitudes de vibration d’une structure peuvent devenir tr`es im-portantes si cette derni`ere est excit´ee selon ses modes propres, le fait que le carter et la roue aubag´ee soient proches l’un de l’autre motive l’´etude de l’interaction par l’interm´-diaire de contacts de ces modes tournants. L’apparition de cette interaction, qualifi´ee de « modale », n´ecessite plusieurs conditions [BER 91] :
– les deux structures acqui`erent des d´eform´ees propices `a un ´echange d’´energie, c’est-a`-dire qu’elles vibrent toutes les deux selon un ou deux modes a` mˆeme diam`etre ;
– chaque structure vibre a` la fr´equence propre du mode consid´er´ ;
– les vitesses de propagation des modes tournants dans le rep`ere fixe co¨ıncident.
Dans la pratique, seul le premier mode de flexion des aubes pr´esente un int´erˆet. G´en´era-lement pour un mˆeme nombre de diam`etres nodaux, le mode de la roue aubag´ee associ´e au premier mode de flexion des aubes a une fr´equence `a l’arrˆet, inf´erieure `a celle du car-ter. Physiquement, deux solutions remplissent les conditions d’interaction modale d´efinies ci-dessus comme pr´ecis´ sur la figure 1.3 : ωc = ndΩ ± ωra (1.11) o`u ωc est la pulsation propre du mode consid´er´ du carter et ωra, celle de son homologue de la roue aubag´ee. La roue aubag´ee ´etant sujette au raidissement centrifuge, ωra d´epend en r´ealit´ de la vitesse de rotation de la structure et les ´equations Ω ∓ ωra/nd ne sont pas des droites. Dans notre ´etude, ce raidissement centrifuge n’est pas pris en compte et la vitesse de rotation Ω pour laquelle il y aurait interaction est l´eg`erement modifi´ee.
Puisque la vitesse de rotation de la roue aubag´ee est importante face aux vitesses de pro-pagation des modes tournants, les forces de frottement entre les deux structures modifient la relation (1.11). Ces derni`eres sont en effet dirig´ees dans le sens inverse de rotation du rotor sur les aubes et dans le sens de rotation du rotor sur le carter. Le mode tournant direct sur le carter et r´etrograde sur la roue aubag´ee apparaissent donc pr´ef´erentiellement, ce qui permet d’affirmer que seule la vitesse de rotation du moteur Ω v´erifiant l’´equation suivante est dangereuse en terme d’instabilit´e : ωc = ndΩ − ωra (1.12)
Dans la th´eorie, cette relation analytique ne repr´esente qu’une condition n´ecessaire pour l’apparition d’une interaction modale.

Description simplifi´ee des ´echanges d’´energie

Une description simplifi´ee est possible en consid´erant le transfert d’´energie du mouvement de rotation de la roue vers le mouvement vibratoire du carter par l’interm´ediaire des forces de contact et de frottement en extr´emit´ d’aubes. La force de frottement exerc´ee est, pour des vitesses de rotation suffisantes, dans le sens oppos´e a` la vitesse de rotation. Elle diminue donc l’amplitude du mouvement vibratoire d’une aube pendant la demi-p´eriode o`u la vitesse de celle-ci est de direction oppos´ee `a la force de frottement et l’amplifie pendant l’autre demi-p´eriode.

Equations du mouvement

Pour simplifier, le mouvement uc d’un point mat´eriel du carter est seulement radial et ura, celui d’un point en extr´emit´ d’aube, seulement tangentiel. Il est admis que pour des amplitudes faibles, la forme sinuso¨ıdale des d´eplacements n’est pas modifi´ee par les efforts de contact. En reprenant les notations de l’´equation (1.10), le d´eplacement d’un point appartenant au secteur n de la roue aubag´ee s’´ecrit pour un mode tournant r´etrograde :
urar = Ura sin(ωrat + Φn + β) (1.13)
o`u Φn = nd(n − 1)α est la phase du secteur n dans son mouvement selon un mode `a nd diam`etres.

Commentaires qualitatifs

D’apr`es l’´equation (1.22), il est possible de diff´erencier deux cas :
– si β est compris entre 0 et π, W est n´egatif et les forces de frottement amortissent le mouvement vibratoire des aubes ;
– si β est compris entre π et 2π, W est positif et les forces de frottement amplifient le mouvement vibratoire des aubes.
L’´energie W peut ˆetre, selon les cas, sup´erieure a` l’´energie dissip´ee par amortissement interne qui est proportionnelle, sur une p´eriode, au carr´e de l’amplitude du mouvement. On est alors en pr´esence d’une instabilit´e. Cette « th´eorie simplifi´ee » ne repr´esente toutefois qu’une premi`ere approche et rien ne prouve physiquement que la condition β π puisse ˆetre v´erifi´ee. En l’absence d’une connaissance plus approfondie du ph´enom`ene, le crit`ere actuel de dimensionnement utilis´e au bureau d’´etudes consiste `a garantir une marge de 10% par rapport aux points de co¨ıncidence fr´equentielle donn´es par la formule (1.12). Ceci est r´ealis´ en pratique par le raidissement des carters, entraˆınant l’augmentation de leur masse et de leur encombrement : compromis inacceptable dans le cas d’aubes a` large corde.

Rep`ere bibliographique

Une th`ese intitul´ee « Travelling Wave Speed Coincidence », encadr´ee par D.J. Ewins et financ´ee, en partie, par l’Union Europ´eenne dans le cadre du projet Rostadyn, a et´ r´ealis´ee au coll`ege Imp´erial de Londres (Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London) et soumise en mai 1997 par P. Schmiechen [SCH 97]. C’est le seul travail elabor´e sur ce sujet de recherche trouv´e dans la litt´erature. Cependant, aucun article n’a, a` notre connaissance, et´ publi´e dans des journaux scientifiques.
Cette recherche pr´esente une analyse de l’instabilit´e due a` une co¨ıncidence des vitesses de propagation d’onde, plus pr´ecis´ement de modes tournants, entre une roue aubag´ee en rotation et un carter flexible. Il y est expliqu´ dans un premier temps qu’en terme d’ef-ficacit´e a´erodynamique, il faut r´eduire le jeu entre l’extr´emit´ des aubes et le carter qui les entoure. Cela favorise donc les chances de contact entre ces deux structures et il est donc n´ecessaire de bien comprendre les ph´enom`enes d’interaction qui peuvent survenir pendant un vol. Pour mener cette ´etude, les deux structures sont mod´elis´ees ind´epen-damment l’une de l’autre et accompagn´ees d’une dynamique lin´eaire. Dans un soucis de diminution des temps de calcul, les ´equations du mouvement sont ensuite projet´ees dans l’espace modal. Le contact entre les deux structures est ramen´ `a une loi d’impact et de frottement fond´ee sur la m´ethode des p´enalit´es. Afin de faciliter la mise au point d’une exp´erience et contrairement `a la situation d’un moteur r´eel, le carter est en rotation et la roue aubag´ee, fixe. Les r´esultats de cette recherche montrent d’une part, qu’il y a accord entre l’exp´erience et les pr´edictions num´eriques et d’autre part, que le risque d’instabilit´e due a` une co¨ıncidence vibratoire existe bel et bien pour ce type d’ensemble m´ecanique et qu’il doit ˆetre trait´e en connaissance de cause. L’´etude bibliographique donn´ee par l’auteur sur la recherche actuelle dans le domaine des machines tournantes de tout type, d´etaille de fa¸con quasi-exhaustive les diff´erents champs d’investigation d´ej`a ouverts. L’au-teur apparaˆıt ˆetre le premier a` ´etudier une interaction de ce type entre deux structures d´eformables. Les bases math´ematiques n´ecessaires `a la compr´ehension du ph´enom`ene et a` l’´etablissement des ´equations sont tr`es proches de ce qui a et´ pr´esent´ au d´ebut de ce chapitre. R´etrospectivement par rapport a` notre propre d´emarche, voici quelques points qui m´eritent d’ˆetre signal´es ou critiqu´es :
– la pr´esentation de la m´ecanique du contact est tr`es succincte et reste finalement tr`es floue. Nous nous sommes aper¸cus, au cours de ce travail, que les r´esultats ´etaient tr`es sensibles `a la loi de contact et pour ce qui nous concerne, une attention toute particuli`ere y a et´ apport´ee ;
– le d´esaccordage (caract´eristique due aux imperfections de la g´eom´etrie des struc-tures, des mat´eriaux. . . rompant la sym´etrie axiale de la structure) est pris en compte dans les simulations pour d´eterminer son rˆole dans le ph´enom`ene d’interaction mo-dale. Ceci reste a` int´egrer dans notre travail ;
– la r´esolution des ´equations du mouvement est exclusivement temporelle et bas´ee sur un sch´ema de Runge-Kutta avec correction. Nous verrons, dans la suite, que les r´esultats sont aussi tr`es sensibles `a la taille du pas de temps et que c’est pour cette raison qu’une m´ethode fr´equentielle a et´ d´evelopp´ee. Elle repr´esente d’ailleurs une approche originale pour la r´esolution de ce type de probl`eme tout autant que pour sa compr´ehension ;
– enfin, et c’est certainement le point fort du travail de P. Schmiechen, les r´esultats num´eriques ont et´ confront´es `a des r´esultats exp´erimentaux. Mˆeme si les struc-tures sont tr`es eloign´ees d’un carter et d’une roue aubag´ee d’un turbo-r´eacteur, elles permettent de confirmer la pr´esence d’une co¨ıncidence modale par l’interm´ediaire de contacts entre structures `a sym´etrie axiale. Une exp´erience avait initialement et´ pr´evue dans le cadre de cette th`ese afin de poursuivre les travaux d’E. Ar-noult [ARN 00]. Cette ´etape a malheureusement due ˆetre abandonn´ee pour cause de manque de moyens exp´erimentaux et de temps. Elle pourrait cependant consti-tuer une suite `a ce travail.

Table des matières

Introduction 
1 Interaction modale dans un moteur d’avion 
1.1 Structures `a sym´etrie axiale
1.2 L’interaction modale
1.3 Rep`ere bibliographique
Conclusion
2 M´ecanique du contact 
2.1 D´efinitions et notations
2.2 Loi de contact unilat´eral
2.3 Loi de frottement
2.4 ´Equations du mouvement
2.5 ´El´ements de r´esolution
Conclusion
3 M´ethodes num´eriques 
3.1 Discr´etisation spatiale : les ´el´ements finis
3.2 Discr´etisation temporelle
3.3 Discr´etisation fr´equentielle
3.4 Validation des algorithmes
Conclusion
4 Application `a un mod`ele simple de sym´etrie cyclique 
4.1 Mod´elisation des structures
4.2 Proc´edure temporelle
4.3 Proc´edure fr´equentielle
Conclusion
5 Mod`ele planaire ´evolu´e 
5.1 Mod´elisation des structures
5.2 Proc´edure temporelle
5.3 Proc´edure fr´equentielle
Conclusion
6 ´Etude de l’interaction rotor stator dans une soufflante industrielle 
6.1 Caract´eristiques du mod`ele ´el´ements finis
6.2 R´eduction du mod`ele : synth`ese modale
6.3 Fonctions splines
6.4 Choix des m´ethodes
6.5 Gestion du contact
6.6 R´esultats
Conclusion
R´ef´erences 
A Loi d’usure
A.1 G´en´eralit´es
A.2 Principe de la loi
A.3 Comportement m´ecanique
A.4 Perspectives
B Poutre non-lin´eaire
B.1 Motivations
B.2 Formulation
B.3 Cas test
C Notions d’alg`ebre lin´eaire
C.1 Produit de Kronecker
C.2 Matrices circulantes
C.3 Matrices circulantes par bloc
C.4 Matrices anti-sym´etriques
D Matrices ´el´ementaires
D.1 ´El´ement fini poutre droit
D.2 ´El´ement fini poutre courbe
E Algorithmes de gestion du contact en statique
E.1 Position du probl`eme
E.2 M´ethode des contraintes actives
E.3 M´ethode de la p´enalit´e
E.4 M´ethode du lagrangien augment´e
E.5 M´ethode des multiplicateurs de Lagrange

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