Intégration d'éléments finis de coques quadratiques

Environnement de développement

L’Équipe de Recherche en Intégration CAO-CAlcul (ERIC CA) travaille depuis plusieurs années sur l’intégration de la méthode des éléments fInis et des méthodes d’optimisation au sein du processus de développement de produits par la CAO. Ce travail se fait dans un environnement de développement. L’environnement de développement est un Framework orienté objet basé sur un Modèle de Topologie UnifIé (MTU) (François et Cuillière 2014). L’acronyme MTU est utilisé pour désigner l’environnement.

Il est possible d’effectuer différents types de calculs par éléments finis dans le MTU: calcul en élasticité linéaire, en utilisant des éléments volumiques ou des éléments de plaques pour les structures à parois minces et calcul en thermique. Des travaux sont en cours afm de permettre le calcul en élasticité non linéaire. Vu la structure de l’environnement, il est possible d’intégrer facilement de nouveaux développements. Les éléments de coques ont été intégrés dans cet environnement dans le cadre de ce mémoire.

L’importation de la géométrie sur laquelle on souhaite faire un calcul par éléments finis dans le MTU se fait en utilisant les librairies d’Open CASCADE Technology, qui est une plateforme libre de développement en CAO et en modélisation 3D.

Le calcul par éléments finis est effectué avec les librairies de Code_Aster (Analyse des structures et thermomécanique pour des études et des recherches). Ce logiciel libre a été développé par électricité de France (EDF) en 1989. C’est un solveur qui utilise la méthode des éléments fInis pour résoudre, entre autres, des problèmes en mécanique et en thermique.

Un fichier de maillage et un fIchier de commandes sont nécessaires pour effectuer un calcul dans Code_Aster. Le fIchier de maillage défInit la description géométrique et topologique du maillage. Le fIchier de commandes contient un ensemble de commandes, exprimées dans un langage spécifIque à Code_Aster. À noter que la documentation du logiciel est disponible dans la section « Documentation » du site Internet de Code_Aster. Chaque document de référence est identifIé par une clé documentaire du type «U0.00.00 ». La visualisation des résultats du calcul se fait avec le logiciel GMSH. GMSH est un logiciel libre de maillage par éléments fInis offrant plusieurs options en pré et post traitement (Geuzaine et Remacle 2009).

Éléments de structures minces

Les éléments de coques et de plaques sont particulièrement utilisés pour modéliser des structures minces où les rapports épaisseur/longueur caractéristique sont très inférieurs à 1/10 (coques minces) ou de l’ordre de 1/10 (coques épaisses). Il y’ a trois catégories d’éléments de structures minces dans Code Aster:

Les éléments de plaques

Ces éléments sont des éléments plans, donc la courbure de la structure à représenter n’est pas prise en compte et il est nécessaire d’utiliser un grand nombre d’éléments pour avoir une bonne approximation de la géométrie de la structure. Les éléments de plaques disponibles dans Code_Aster sont :

Les éléments de plaques plans [R3.07.03]
Il existe deux types d’éléments de plaques plans dans Code_Aster. Les éléments pour lesquels la distorsion transverse est nulle. Les éléments DKT, DKQ, DKTG et DKQG. Ces éléments ont une formulation « Discrete Kirchhoff ». Les éléments pour lesquels la distorsion transverse reste constante et non nulle dans l’épaisseur. Les éléments DST, DSQ et Q4G. Ces éléments ont une formulation « Discrete Shear ».

Il est conseillé d’utiliser le second type d’éléments lorsque la structure à mailler a un rapport épaisseur sur longueur caractéristique comprise entre 1/20 et 1/10 et les premiers dans le restant des cas.

Les éléments DKT, DKTG et DST sont des éléments isoparamétriques triangulaires et les éléments DKQ, DKQG, DSQ et Q4G sont des éléments isoparamétriques quadrilatéraux. Les éléments de plaque DKT ont été implémentés dans le MTU (Gervais-Lavoie,2015).

Les éléments de coques

Ces éléments sont des éléments courbes, qui fournissent une meilleure approximation de la géométrie de la structure. Les éléments de coques disponibles dans Code_Aster sont:

Les éléments de coques linéiques [R3.07.02]
Ces éléments sont utilisés pour la modélisation mécanique de structures minces à surface moyenne de géométrie particulière. Les coques à symétrie de révolution autour de l’axe Oy . La géométrie est définie de façon unidimensionnelle par le méridien dans le plan Oxy. C’est la modélisation COQUE_AXIS. Les coques à sections quelconques invariantes le long de l’axe 0 z . La géométrie est définie de façon unidimensionnelle par la section de la coque dans le plan Oxy. C’est la modélisation COQUE_C_PLAN en contraintes plane ou COQUE_D_PLAN en déformation plane.

Les éléments de coques tridimensionnelles [R3.07.04]
Ces éléments sont utilisés pour la modélisation des structures 3D à géométrie quelconque. Les éléments coques tridimensionnels disponibles dans Code_Aster sont le triangle à 7 nœuds et le quadrangle à 9 nœuds. Ce sont les éléments COQUE_3D. Ce sont les éléments utilisés dans le cadre de travail.

Les éléments COQUE_3D triangulaires

Ces éléments permettent d’effectuer des calculs de structures coques de formes quelconques avec une meilleure approximation de la géométrie et de la cinématique que dans le cas des éléments plaques. L’élément qui nous est disponible pour une modélisation COQUE_3D est l’élément triangulaire Hétérosis à 7 nœuds. Pour cet élément, les déplacements sont calculés par des fonctions d’interpolation de l’élément Sérendip et les rotations par les fonctions de l’élément de Lagrange .

Des risques de blocage (verrouillage) de membrane ou de cisaillement apparaissent lorsque l’épaisseur de la coque devient petite par rapport à son rayon de courbure, pour cela une intégration numérique sélective est utilisée.

L’intégration sélective de l’élément consiste en une intégration réduite des termes de membrane et de cisaillement, et une intégration normale des termes de flexion.

Pour certains types de conditions aux limites (encastrement) avec l’élément Sérendip le verrouillage persiste malgré l’intégration sélective. En outre, pour l’élément de Lagrange, ce type d’intégration conduit à des singularités dans la matrice de rigidité. L’ élément Hétérosis avec intégration sélective ne rencontre pas les problèmes mentionnés.

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Table des matières

1 CHAPITRE 1 INTRODUCTION
1.1 Mise en contexte
1.2 Problématique
1.3 Objectif principal
1.4 Organisation du mémoire
2 CHAPITRE 2 REVUE DE LA LITTÉRATURE ET OBJECTIFS
2.1 Introduction
2 2 Modélisation géométrique
2.2.1 Modèles de type fil de fer
2.2.2 Modèles surfaciques
2.2.3 Modèles solides
2.3 Génération de maillage linéaire
2.3.1 Méthode frontale
2.3.2 Méthode Delaunay-Voronoï
2.4 Maillage curviligne
2.4.1 Validité et qualité d’un maillage curviligne
2.4.2 Optimisation des maillages curvilignes
2.5 Optimisation des structures
2.5.1 Formulation
2.5.2 Type de méthodes d’optimisation de structures
2.5.3 Méthode du mouvement normal (MMN)
2.6 Objectifs spécifiques
2.7 Hypothèses
3 CHAPITRE 3 INTÉGRATION D’ÉLÉMENTS FINIS DE COQUES QUADRATIQUES
3.1 Introduction
3.2 Environnement de développement
3.3 Éléments de structures minces
3.3.1 Les éléments de plaques
3.3.2 Les éléments de coques
3.3.3 Fonnulation des éléments plaques et coques
3.3.4 Les éléments COQUE_3D triangulaires
3.4 Implémentation des éléments de coques
3.5 Génération et validité d’un maillage quadratique
3.5.1 Génération d’un maillage quadratique
3.5.2 Résultats
3.5.3 Validité du maillage quadratique
3.5 .4 Validation des résultats
3 .6 Validation des résultats de calcul avec Code Aster
3.7 Conclusion
4 CHAPITRE 4 INTÉGRATION, APPLICATION ET CONTRÔLE DE LA MÉTHODE DU MOUVEMENT NORMAL
4.1 Introduction
4.2 Algorithme de la MMN non contrôlée
4.2.1 Calcul de nonnale
4.2.2 Algorithme de recentrage
4.2.3 Algorithme d’optimisation des éléments
4.3 Application de la MMN à un tube en porte-à-faux sans contrôle
4.3.1 Fonne initiale
4.3.2 Valeur des paramètres d’optimisation
4.3.3 Conclusion
4.4 Lissage Laplacien
4.5 Lissage Taubin
4.5.1 Application de la MMN avec lissage Taubin
4.5.2 Comparaison entre la MMN avec et sans lissage Taubin
4.6 Utilisation de filtres
4.6.1 Application de la méthode du mouvement nonnal avec filtre
4.6.2 Comparaison entre la MMN avec et sans filtre
4.6.3 Comparaison entre la MMN et la MMN avec différents rayons de filtre
4.7 Méthode du mouvement normal modifiée
4.7.1 Application de la MMN modifiée 1
4.7.2 Comparaison entre la MMN et la MMN modifiée 1
4.7.3 Application de la MMN modifiée 2
4.7.4 Comparaison entre la MMN et la MMN modifiée 2
4.8 Comparaison entre les différentes méthodes de contrôle
4.9 Comparaison de l’utilisation de la MMN modifiée 1 avec un maillage linéaire et un maillage quadratique
4.10 Convergence de la MMN
4.11 Conclusion
5 CHAPITRE 5 RÉSULTATS
5.1 Introduction
5.2 Cadre de vélo – cas de chargement 1
5.3 Cadre de vélo – cas de chargement 2
5.4 Table
5.5 Pont – cas 1
5.6 Pont – cas 2
5.7 Tube soumis à une pression interne
5.8 Tube elliptique soumis à une pression interne
5.9 Tube en porte-à-faux (sans zone de non design)
5.10 Reconstruction géométrique
6 CHAPITRE 6 CONCLUSION