Intégrale de Kurzweil-Henstock

Proposition

Toute fonction f : [a; b] ! R bornée sur [a; b] et continue sur [a; b] sauf en un nombre _ni de points est Riemann intégrable sur [a; b]. Démonstration. Nous nous contenterons de le montrer dans le cas où f présente un seul point de discontinuité c 2]a; b[, la généralisation se fait de manière similaire. L’adaptation de ce qui suit au cas c = a ou c = b est aussi immédiate. Fixons » > 0 et soit _ > 0 assez petit pour que [c_; c+_] _]a; b[ et dont le choix en fonction de » sera précisé ultérieurement. Soit_une subdivision de [a; b] ayant comme points consécutifs c _ et c + _ (i.e. xk0 = c ? _ et xk0+1 = c + _ pour un certain indice k0). Cette subdivision _ peut se construire comme réunion d’une subdivision quelconque _1 de [a; c _] et d’une subdivision quelconque _2 de [c + _; b]. Comme f est continue sur [a; c _] et [c + _; b], elle est Riemann intégrable sur chacun de ces deux segments (Prop 2.12), ce qui assure l’existence de _1 et _2 telles que ……

Intégrale de Lebesgue

L’objectif de cette section est de donner les résultats principaux de la théorie d’intégration de Lebesgue, sans entrer dans tous les détails de certaines démonstrations. Rappelons que l’idée de Lebesgue est de considérer la partition non plus du domaine de la fonction, mais de son image. Soit f une fonction réelle à valeurs réelles bornée, alors il existe deux nombre réels l et L tels que l _ f(x) _ L, pour tout x dans [a; b]. Soit fl = l0; l1; : : : ; ln = Lg une partition de l’image de f.

Intégrales et primitives Théorème 4.11 (Théorème fondamental de l’analyse).

Soit f une fonction de [a; b] à valeurs dans R et dérivable sur [a; b] (en a et b, il s’agit de dérivées à droite et à gauche respectivement). Alors f0 est Kurzweil-Henstock intégrable et on a Ce théorème a_rme que toute fonction dérivée est Kurweil-Henstock intégrable. C’est un résultat très particulier de la théorie Kurzweil-Henstock, que même la théorie de Lebesgue ne permet pas d’obtenir. Car on a vu qu’elle exige l’hypothèse supplémentaire que f0 est intégrable.considérons par exemple x ! x2 sin(1=x2) sur [0; 1]. avec son prolongement par continuité en 0 et dérivable de dérivée non bornée donc non Lebesgue-intégrable.

Les théorèmes de convergence Lemme 4.17

(Lemme de Henstock). Soit f : [a; b] ! R, une application Kurzweil- Henstock intégrable sur [a; b]. Pour » > 0 _xé, soit _ une application « -adaptée à f. Alors, pour toute D0 subdivision partielle ( ne recouvre par tout l’intervalle [a; b]) _-_ne, on a Nous présentons un théorème d’interversion limite-intégrale dans le cadre de l’intégrale de Henstock-Kurzweil, valable pour les limites simples de suites croissantes de fonctions. Ce type de résultat ne se rencontre pas dans le cadre de l’intégrale de Riemann vu dans la première section. Il est donc remarquable que la généralisation de cette intégrale par l’introduction de la notion de jauge permet d’obtenir un théorème de convergence monotone, qui est l’un des grands résultats de cette théorie d’intégration. C’est ce théorème de convergence monotone pour l’intégrale de Henstock-Kurzweil qui nous permettra de montrer que les fonctions Lebesgue-intégrables sur [a; b] sont HK-intégrables sur cet intervalle (voir le dernier paragraphe de ce mémoire).

Comparaison des trois théories d’intégrations Ce théorème montre l’intégrabilité de la fonction de Dirichlet au sens de l’intégrale de Kurweil-Henstock, qui n’est pas Riemann intégrable. En e_et, si g et h sont des fonctions en escalier respectivement minorant et majorant f alors nécessairement g _ 0 et h _ 1 (densité de Q dans R), donc on ne peut pas avoir R 1 0 (h g)(x)dx qui tend vers 0 quand le pas d’une subdivision tend vers 0 Dans la théorie d’intégration de Kurzweil-Hesnstock on a déjà signalé que les fonctions dérivées sont toutes intégrables, le résultat qui n’est assuré même dans la théorie de Lebesgue. Si on considère l’exemple suivant x ! x2 sin(1=x2) ? sur [0; 1]. avec son prolongement par continuité en 0, on remarque que cette fonction est dérivable de dérivée non bornée donc non Lebesgue-intégrable. La fonction est en rouge et sa dérivée en bleue.

En outre l’intégrale de Kurzweil-Henstock a élargit de plus la classe des fonctions intégrables Notons _ la mesure de Lebesgue sur [a; b] et 11E la fonction indicatrice d’une partie E de [a; b]. L’exemple qu’on noté ? donné précédemment montre l’existence de fonctions Kurzweil- Henstock intégrable sans l’être au sens de Lebesgue. Nous allons maintenant montrer la stricte inclusion de La théorie Lebesgue dans celle de Kurzweil-Henstock. Rappelons de la notion de la mesure extérieure __ dé_nie par, pour A _ P(R)

Conclusion

Le choix de l’intégrale de Kurzweil-Henstock présente l’avantage de fournir des dé_nitions assez simples, peut-être plus simples que celle de Riemann puisque les encadrements de fonctions ne sont plus nécessaires. Toute fonction Riemannintégrable ou Lebesgue-intégrable est KH-intégrable avec la même intégrale ; en particulier, la fonction de Dirichlet valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels, n’est pas Riemann-intégrable, mais est KH-intégrable d’intégrale nulle. Par rapport à l’intégrale de Lebesgue, l’intégrale de Kurzweil-Henstock présente l’avantage que toute fonction dérivée est intégrable, ce qui fournit une version plus puissante du théorème fondamental de l’analyse. Le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée qui caractérisent l’intégrale de Lebesgue sont vrais avec l’intégrale de Kurzweil-Henstock. Contrairement aux fonctions Lebesgue intégrables, une fonction peut être KH-intégrable sans que sa valeur absolue le soit.

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Table des matières

1 Introduction
2 Intégrale de Riemann
2.1 Construction
2.1.1 Intégrale de Riemann dé_nie à partir des fonctions en escalier .
2.1.2 L’intégrale de Riemann dé_nie à partir des sommes de Darboux
2.1.3 Intégrale de Riemann dé_nie à partir des sommes de Riemann .
2.1.4 L’équivalence entre les trois dé_nitions précitées
2.2 Propriétés de fonctions Riemann-intégrables
3 Intégrale de Lebesgue
3.1 Construction
4 Intégrale de Kurzweil-Henstock
4.1 Dé_nition de l’intégrale de Kurzweil-Henstock sur un intervalle [a; b] .
4.2 Les propriétés élémentaires de l’intégrale de Kurzweil-Henstock
4.3 Intégrales et primitives
4.4 Les théorèmes de convergence
4.5 Comparaison des trois théories d’intégrations