Influence du nombre de points dans l’espace

Influence du nombre de points dans l’espace

Définition

Une option est un contrat transférable qui confère le droit d’acheter ou de vendre:
– une certaine quantité d’un actif sous-jacent S
– à un prix déterminé K (prix d’exercice ou strike)
– à une date future donnéeT (date d’échéance).
On désigne une option d’achat par le terme call (C) et une option de vente par le terme put (P).
Il existe deux types d’options qui se distinguent par l’exercice même du contrat:
– Les options européennes: l’exercice de l’option n’est possible qu’à la date d’échéance T .
– Les options américaines: l’exercice peut se faire durant toute la périodet T < .
Le droit d’acheter ou de vendre expire après la date fixée.

L’option: un produit dérivé

Les produits dérivés sont des instruments financiers dont la valeur varie en fonction du prix d’un actif appelé sous-jacent. Le sous-jacent peut être de différentes natures. Il peut s’agir d’une action, d’un indice, d’une monnaie, d’un taux…
Le produit dérivé va permettre de pouvoir profiter des fluctuations de l’actif sans avoir à l’acheter ou le vendre lui même. Ces instruments financiers ont été créés à l’ origine pour se protéger des risques financiers (évolutions des prix matières premières, évolutions des taux de change des monnaies…).
Exemple : Un produit dérivé X qui verrait sa valeur s’accroître lorsque l’euro s’apprécie par rapport au dollar serait un instrument financier capable de protéger une société exportatrice européenne en compensant sa perte de change dans le cas d’une vente (en dollars).
Ces produits ont connu une forte expansion depuis les années 1980 et représentent une part importante de l’activité sur les places financières. Les objectifs des produits dérivés sont nombreux. On retient principalement:
La politique de couverture qui permet de se protéger contre un risque financier La spéculation: qui consiste à investir dans des produits avec un fort effet-levier permettant d’espérer un gain considérable (ou une perte importante) en un temps réduit.

L’arbitrage

L’arbitrage est la possibilité de réaliser un profit sans risque et sans apport de fonds par une combinaison de deux ou plusieurs transactions.
L’exemple le plus simple est fourni par une même action cotée dans deux bourses différentes à deux prix différents. L’achat au prix le plus bas et la vente simultanée au prix le plus élevé procurent bien un profit sans risque et sans mise de fonds.
Une telle situation ne peut évidemment pas durer si les marchés fonctionnent correctement, c’est-à-dire si l’information est rapidement diffusée, si les frais de transaction ne sont pas excessifs. Devant l’afflux des ordres d’achat, le prix le plus bas monte et devant l’afflux des ordres de vente, le prix le plus haut baisse, jusqu’à l’égalité des deux prix, c’est-à-dire la disparition de la situation d’arbitrage.

LE MODELE DE BLACK-SCHOLES-MERTON

Les motivations
En 1973, Fisher Black, Myron Scholes et Robert Merton ont opéré une avancée majeure en matière d’évaluation d’options. Ces contributions et l’ensemble des développements auxquels elles ont donné lieu sont à l’origine du célèbre modèle de Black et Scholes. Ce dernier a eu un très grand impact sur les méthodes utilisées par les traders, tant en matière d’évaluation d’options que dans la mise au point de techniques de couverture. Ces travaux ont aussi constitué le point de départ du développement spectaculaire de l’ingénierie financière dans les années 1980 et 1990. En 1997, Robert Merton et Myron Scholes ont été récompensés par le prix Nobel d’économie pour l’importance et la qualité de leurs recherches. Fisher Black malheureusement décédé en 1995, aurait sans aucun doute figuré parmi les lauréats, au même titre que ses collaborateurs.
Prenons par exemple l’acheteur d’un call qui aura un gain à la date T égal à max( ,0) T S K − en échange duquel il versera une prime V au vendeur. L’enjeu dans ce cas pour le vendeur d’option est de rechercher une juste prime V qui atteindra max( ,0) T S K − de manière à honorer son engagement envers l’acheteur dans tous les scénarios d’évolution du marché.
Nous allons voir qu’il existe une solution unique à ce problème de cible aléatoire, solution explicite et de surcroît facile à calculer : c’est le miracle de Black & Scholes qui a été le détonateur de l’explosion des marchés d’options.

IMPLEMENTATION

Pour programmer ces solutions numériques, nous avons utilisé le logiciel MATLAB. Nous avons également programmé la résolution LU et la méthode de gradient conjugué pour nos différents schémas. Une solution analytique (exacte) a été programmée à l’aide des formules exacte de Black & Scholes. Nous pourrons ainsi comparer les résultats obtenus.

Les déterminants de la valeur d’une option

Le cours du sous-jacent S: la valeur d’une option d’achat est d’autant plus élevée que le cours du sous-jacent est élevé. D’une manière symétrique, la valeur d’une option de vente est d’autant plus faible que le cours du sous-jacent est élevé.
Le prix d’exercice d’une option noté K appelé strike : la valeur d’une option d’achat est d’autant plus faible que le prix d’exercice est élevé. De façon symétrique, la valeur d’une option de vente est d’autant plus forte que le prix d’exercice est élevé.
La volatilité σ: elle mesure l’importance des fluctuations de valeur d’un actif et donc son risque. Elle se calcule mathématiquement par l’écart type de rentabilité de l’actif.
La durée de vie d’une option, T: Plus la date d’échéance est éloignée, plus les possibilités de fluctuation du sous-jacent sont grandes. Dès lors, la valeur de l’option est plus forte.
Le taux d’intérêt sans risque r correspond au taux d’intérêt d’un placement sûr. Il se caractérise par une rentabilité certaine. On prend généralement comme référence le taux des emprunts
d’Etat. Il s’agit dans le cas des options du coût de l’écoulement du temps.

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela chatpfe.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

INTRODUCTION
I POSITION DU PROBLEME : LE MODELE DE BLACK & SCHOLES
A/ Introduction aux options
1 Généralités
1.1 Définition
1.2 L’option: un produit dérivé
1.3 L’arbitrage
2 Les fondements de l’évaluation d’options
2.1 Les déterminants de la valeur d’une option
2.2 Le payoff
2.3 Les bornes
2.4 La Parité Put-Call
B/ Le modèle de Black-Scholes-Merton
1 Les motivations
2 L’Equation aux Dérivées Partielles de Black & Scholes
3 Etude théorique
3.1 De Black & Scholes à l’équation de la chaleur
3.2 Résolution de l’équation de la chaleur
3.3 Formules exactes de Black & Scholes
II TRAITEMENT NUMERIQUE DE L’EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES DE
BLACK & SCHOLES
A/ Présentation de la méthode des différences finies
B/ Modèle d’étude
C/ Schémas aux différences finies
1 Schéma d’Euler Explicite
2 Schéma d’Euler Implicite
3 Schéma de Crank Nicolson
4 θ-schéma
D / Résolution des systemes obtenus
1 Inversibilité des matrices d’itération
2 Méthode de décompositionLU
3 Méthode du Gradient Conjugué
E/ Implémentation
III Analyse des résultats obtenus
A/ Représentation graphique des solutions
1 Solution analytique
2 Schéma d’Euler Explicite
3 Schéma d’Euler Implicite
4 Schéma de Crank Nicolson
B/ Etude comparative
1 Comparaison des schémas
1.1 Influence du nombre de points dans l’espace
1.2 Influence du nombre de pas de temps
2 Comparaison des méthodes
CONCLUSION
ANNEXES