INFLUENCE DE L’OXYDATION DE GAINES EN ZIRCALOY 4 SUR LEURS PROPRIETES MECANIQUES

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Les équations de la mécanique pour un matériau élasto-viscoplastique

Le code FORGE2 Multimatériaux possède une version viscoplastique [Magny 1996]. Dans le cadre de notre étude, nous avons développé une version élasto-viscoplastique que nous présentons dans les paragraphes suivants. La résolution d’un problème mécanique par éléments finis s’appuie sur différentes équations : les équations d’équilibre qui constituent la base du problème et la loi de comportement définissant le matériau étudié. Nous présenterons également l’écriture en déviateur que nous utilisons pour décomposer les contraintes et les déformations en une partie sphérique et déviatorique. La formulation faible (ou intégrale) du problème, obtenue grâce au Principe des Puissances Virtuelles (PPV), exprime la condition nécessaire pour minimiser l’énergie (équations d’Euler). Le problème, ainsi défini sous forme intégrale, est ensuite discrétisé et résolu par la méthode des éléments finis.
Les équations qui vont suivre étant pour la plupart bien connues, nous ne rentrerons pas dans les détails, mais pour plus de précision le lecteur pourra se référer à [Bellet 1994], [Chenot 1994] et [Montmitonnet 1994].

Formulation faible du problème

Pour passer à la formulation faible du problème, on utilise les équations d’équilibre, et les conditions aux limites. L’ensemble de ces équations constitue la forme forte du problème, et elles nous permettent, à l’aide du Principe des Puissances Virtuelles (PPV), de passer à la formulation faible du problème. Pour cela, on multiplie l’équation d’équilibre par une vitesse virtuelle v*, et on intègre sur le domaine Ω. Puis, en se servant des conditions aux limites et de la formule de Green, on aboutit à l’expression du PPV qui traduit l’équivalence de la puissance de déformation et de la puissance des efforts extérieurs : ∀v* ∈V 0 , ∫Ωs : e&*dV − ∫Ω p.Tr(ε&* )dV = ∫∂ΩY Td .v*dS où V0 est l’espace des champs de vitesse cinématiquement admissibles à 0, c’est-à-dire à vitesse nulle sur la partie de la surface où la vitesse est imposée.

Formulation incrémentale du problème

Formulation incrémentale

Nous avons vu qu’en élastoplasticité, le système d’équations en déviateur reliait la dérivée temporelle du tenseur des contraintes σ& (ou s& en écriture déviatorique) et le tenseur des vitesses de déformations plastiques ε& à la vitesse de déformation totale ε& (ou e& ) par des équations différentielles du premier ordre, non linéaires et à coefficients non constants. Par conséquent, le champ des contraintes ne peut être connu à l’instant t, que si il est connu pour tout temps τ, τ<t. De plus, nous avons vu que nous avions deux jeux d’équations différentielles correspondant l’un à l’état élastique, et l’autre à l’état plastique. La transition élastique-plastique n’apparaît pas au même instant pour chaque point du solide. Il est donc là encore nécessaire de suivre l’évolution des contraintes en chaque point du solide pour déterminer l’instant pour lequel le critère de plasticité est atteint.
Pour palier à ces difficultés, la méthode de résolution est basée sur une formulation en déplacement de type Lagrangien réactualisé, et sur l’hypothèse des petites déformations (sur chaque incrément). Partant d’une configuration en équilibre (X , s,ε ) à l’instant t, il s’agit de trouver le champ de déplacement ∆X entre t et t + ∆t tel que la configuration (X + ∆X , s + ∆s,ε + ∆ε ) soit également en équilibre (Figure I.2.).

MAILLEUR ET REMAILLEUR AUTOMATIQUE

Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale. Elle peut directement conditionner la précision des résultats obtenus. C’est pourquoi le choix du mailleur est très important. Les qualités d’un mailleur sont principalement :
• la robustesse : quelle que soit la géométrie proposée, il doit être capable de construire, si possible automatiquement, un maillage correspondant ;
• la précision : le maillage doit coller le plus possible au contour de la géométrie, de façon à avoir le minimum de perte de volume ;
• la régularité : la qualité des éléments du maillage doit être bonne et suffisamment régulière, afin de minimiser l’approximation réalisée par la méthode des éléments finis ;
• la souplesse : on doit pouvoir mailler plus finement certaines zones de la pièce où les phénomènes que l’on désire étudier sont plus fins ;
• la rapidité : la rapidité d’un mailleur à créer un maillage est un paramètre important, qui prend encore plus de poids lorsque l’on désire développer un remailleur automatique.
• la capacité à évoluer : il doit être suffisamment « modulable » pour pouvoir générer de nouveaux types d’éléments, ou lui imposer une structure particulière.
Ce dernier point est essentiel pour le maillage de pièces multi-domaines et non connexes. Comme nous le verrons par la suite, c’est également un aspect important pour mailler finement la région entourant la pointe de fissure en mécanique de la rupture.
Pour toutes ces raisons, le mailleur utilisé dans FORGE2 Multimatériaux est basé sur la triangulation de Delaunay. Plusieurs outils spécifiques y ont été ajoutés de façon à pouvoir adapter le code au cas de multimatériaux.

Le mailleur multi-domaines

Pour développer le mailleur multi-domaines, nous nous sommes basé sur le mailleur mono-domaine de FORGE2®, et nous avons augmenté le nombre de contours ainsi que les caractéristiques des différents contours. Le mailleur multi-domaines est donc basé sur une description détaillée des contours servant à définir la pièce à mailler. Une fois la géométrie du contour définie par l’utilisateur, le maillage est réalisé en trois étapes principales. La première consiste à discrétiser la frontière de la pièce. Cette discrétisation produit un nuage de points qui constituera la base de la seconde étape : la triangulation de Delaunay. La dernière étape consiste à régulariser le maillage. Durant la description de ces trois étapes, nous mettrons en valeur les développements spécifiques nécessaires à la création de maillages multi-domaines [Bouchard et al. 2000a].
Pour illustrer les différentes étapes de création d’un maillage, nous choisirons la géométrie non connexe et bi-domaine suivante :

Description détaillée des contours

Pour réaliser un tel maillage, il est nécessaire de définir une structure de données avancée pour la gestion des différents contours. Les contours sont déclarés comme ouverts ou fermés, et orientés ou non orientés. Un contour ouvert correspond généralement à une interface entre deux matériaux. Un contour fermé peut définir soit une pièce, soit une cavité dans une pièce suivant l’orientation qui lui est attribuée. Un contour orienté permet de situer la matière par rapport au contour que l’on définit. Lorsque l’on parcourt le contour dans le sens trigonométrique, la matière se trouve à l’intérieur de ce dernier. Elle se trouve à l’extérieur de celui-ci lorsque son orientation est inverse au sens trigonométrique. Enfin un contour non orienté est utilisé lorsque la matière se trouve de part et d’autre du contour.
Une fois ces contours définis, une recherche automatique des points d’intersection est effectuée de façon à déterminer le nombre de sous-domaines présents dans le maillage. Cela permettra notamment par la suite d’assigner des rhéologies différentes à chaque sous-domaine.
Ainsi, pour créer le maillage de la pièce présentée sur la figure I.7., nous définissons les trois contours suivants :
Contour fermé, orienté dans le sens inverse trigo
Contour ouvert, non orienté
Contour fermé, orienté dans le sens trigo

Discrétisation de la frontière

Une fois le contour de la pièce connu, la discrétisation de la frontière est effectuée en deux étapes : la surdiscrétisation, puis la discrétisation de la frontière. Elle nécessite de plus la connaissance de 5 paramètres définis par l’utilisateur, et qui détermineront la finesse de cette discrétisation.
• La surdiscrétisation de la frontière : il s’agit d’une première discrétisation de la frontière dont les points, appelés points de surdiscrétisation, sont espacés d’une distance constante définie par l’utilisateur. Cette distance est généralement choisie petite, de façon à perdre le moins d’information lors de la surdiscrétisation du contour continu initial (Figure I.8.a).
• La discrétisation de la frontière : cette discrétisation réelle de la frontière consiste à éliminer les points inutiles de la frontière surdiscrétisée. On définit par « points inutiles » les points que l’on peut enlever à la frontière surdiscrétisée, tout en vérifiant 5 critères (précision, courbure, nombre de points maximum, taille maximale et homogénéité) définis en Annexe A.1. A l’aide de ces différents paramètres, le mailleur crée une discrétisation de la frontière (Figure I.8.b). Cette discrétisation, dont la finesse dépend en grande partie du bon choix des paramètres précédents, forme un nuage de points qui sert de structure de base à la triangulation de Delaunay.

Triangulation de Delaunay

La triangulation de Delaunay est développée à partir des polygones de Voronoï, dont la formulation mathématique est expliquée en détail dans [Coupez 1991], [Borouchaki et al. 1997]. La construction du maillage à partir du nuage de points fournis par la discrétisation s’effectue de manière itérative. Les différentes étapes sont présentées en Annexe A.2.
A la fin des n itérations (n étant le nombre de points à rajouter), on obtient un maillage grossier de l’enveloppe convexe (Figure I.8.c).

Régularisation du maillage

Une fois le maillage de l’enveloppe convexe réalisé, plusieurs outils permettent d’obtenir un maillage suffisamment fin et régulier (Figure I.8.d) : l’élimination des triangles extérieurs au domaine, l’ajout de nœuds internes, et la régularisation par barycentrage et par inversion de diagonale sont présentés en Annexe A.3.

La méthode du gradient conjugué

La méthode du gradient conjugué est une méthode itérative de type « descente ». Introduite par Heztenes et Stiefel en 1952 [Heztenes et al. 1952], ce n’est qu’en 1971 que Reid [Reid 1971] montra qu’elle pouvait être très efficace. Nous ne détaillerons pas ici cette méthode suffisamment connue, et présentée dans plusieurs ouvrages [Ciarlet 1998], [Lascaux et al. 1994].

Les méthodes de type « descente » consistent à construire la suite de vecteurs (xk) tendant vers x, et telle qu’à chaque itération, on détermine un vecteur direction de descente dk et un scalaire pas de descente αk nous permettant de calculer : xk +1 = xk + α k .dk .

Les méthodes de type gradient consistent à prendre le gradient de la fonctionnelle J comme direction de descente car c’est, localement, la direction de plus profonde descente. La particularité de la méthode du gradient conjugué est de rechercher xk+1 non pas sur la droite engendrée par ∇J(xk), mais sur le sous-espace orthogonal à l’ensemble des directions de descente précédentes. On démontre alors que la méthode converge en au plus n itérations.

Si on note n le nombre moyen de coefficients non nuls par ligne de la matrice A, le nombre d’opérations à effectuer par itération est de l’ordre de 2nn .Comme la méthode converge en au plus n itérations, on obtient un coût total de l’ordre de 2nn2 , ce qui est relativement élevé, surtout si n est grand. Par exemple pour une matrice pleine ( n = n ), la méthode serait en O(2n3 ), ce qui est en fait n3.

. D’où l’idée d’introduire la notion de moins bien que la méthode directe de Crout qui est en O3 préconditionneurs, qui auront pour but d’accélérer la convergence.

Préconditionneurs

Le préconditionnement consiste à remplacer la résolution du système initial A.x=b par celle du système équivalent C-1.A.x=C-1.b, où C est une matrice régulière. Le but étant de réduire le temps de calcul, il faut que la réduction du nombre d’itérations pour atteindre la convergence introduit par le préconditionnement, compense le coût dû au calcul et au stockage de la matrice C, ainsi qu’aux produits matrice-vecteur supplémentaires. Pour atteindre cet objectif, les caractéristiques principales d’une bonne matrice de préconditionnement sont les suivantes [Menai 1995] :

• Cond(C-1.A) << Cond(A) : l’objectif est de trouver la matrice C de telle sorte que le conditionnement de C-1.A soit le plus proche de 1 afin d’accélérer la convergence. Le meilleur choix étant bien sûr C-1=A-1, qui nous permettrait d’avoir un conditionnement égal à 1.

• C facilement inversible : pour résoudre le système C-1.A.x=C-1.b, il nous faut inverser la matrice C. Il est donc important qu’elle soit facilement inversible.

• C creuse : Pour des raisons d’économie en place mémoire, il est nécessaire que C soit au moins aussi creuse que A.

• C facile à obtenir : toujours pour une raison de coût de calcul, il est important que la matrice C soit rapide à obtenir.

Il existe plusieurs types de préconditionneurs [Golub et al. 1983]. Le but n’étant pas d’effectuer une étude exhaustive des préconditionneurs, nous allons juste présenter ceux que nous avons implémentés :

• Préconditionneur par la diagonale : c’est le préconditionneur le plus intuitif, et sûrement un des plus utilisés : C est une matrice diagonale constituée des termes diagonaux de A. C=Diag(A)

C’est sans aucun doute le préconditionneur le plus simple, et il permet, dans la plupart des cas, d’accélérer suffisamment la convergence. Par ailleurs, il ne nécessite aucun coût supplémentaire de stockage.

• Préconditionneur SSOR (Symmetric Successive Over Relaxation) : c’est une méthode itérative basée sur la décomposition de la matrice A sous la forme : D = Diag( A)

A=D-L-U, où L = (−aij )i> j matrice triangulaire inférieure stricte U = (−aij )i< j matrice triangulaire supérieure stricte

Cette technique de préconditionnement a été introduite par Evans [Evans 1968], puis reprise et développée par Axelsson [Axelsson 1976]. Elle consiste à définir la matrice de conditionnement comme combinaison linéaire de D et L : C=[ω(2-ω)]-1.(D+ωL).D-1.(D+ωL)t où ω est un coefficient de relaxation compris entre 0 et 2.

Ce préconditionneur à l’avantage de pouvoir être obtenu directement à partir de la matrice A, et donc de ne nécessiter aucun stockage supplémentaire. Par contre, la détermination du paramètre

ω optimal n’est pas facile.

Remarque : Il est également possible de définir un préconditionneur à partir de la factorisation incomplète de Cholesky de la matrice symétrique A [Meijerink et al. 1977]. C’est une méthode intéressante dans la plupart des cas, mais qui peut poser des problèmes de stockage lorsque l’on stocke les matrices sous forme morse.

Stockage morse

Un des avantages des méthodes itératives est qu’elles nous permettent de stocker les matrices de façon plus optimale. Le stockage de type morse consiste à stocker dans un vecteur Acompact uniquement les termes non nuls de la matrice A (partie inférieure seulement si la matrice est symétrique). On utilise de plus deux vecteurs pointeurs PL et PC qui permettent de repérer la position aij d’un coefficient dans la matrice A.

Ce type de stockage est très intéressant pour les méthodes itératives car elles ne nécessitent que des opérations de multiplication matrice-vecteur qui ne modifient pas la structure des pointeurs PL et PC.

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Table des matières

INTRODUCTION
I. TECHNIQUES DE MAILLAGE POUR DES GEOMETRIES COMPLEXES
I.1. Introduction
I.2. Résolution mécanique
I.2.1. Les équations de la mécanique pour un matériau élasto-viscoplastique
I.2.2. Formulation incrémentale du problème
I.2.3. La discrétisation spatiale du problème
I.2.4. La résolution du système
I.3. Mailleur et remailleur automatique
I.3.1. Le mailleur multi-domaines
I.3.2. Le remailleur automatique
I.4. Gestion du contact pour des multimatériaux
I.4.1. L’élaboration de composites
I.4.2. Stratégie de gestion des contours
I.4.3. Application
I.5. Méthodes de résolution pour des multimatériaux
I.5.1. Etude d’un assemblage collé
I.5.2. Etude de conditionnement
I.5.3. La méthode du gradient conjugué préconditionné
I.6. Bilan
II. ANALYSE MECANIQUE D’UNE PIECE FISSUREE
II.1. Motivations
II.2. Etude Bibliographique
II.2.1. Historique
II.2.2. Hypothèses et cadre de l’étude
II.2.3. Approche locale
II.2.4. Approche globale ou énergétique
II.2.5. Bilan
II.3. Développement d’outils numériques pour la modélisation d’une fissure
II.3.1. Maillage concentrique
II.3.2. Eléments singuliers
II.3.3. Bilan
II.4. Calcul du taux de restitution d’énergie
II.4.1. Implémentation de la méthode Gθ
II.4.2. Comparaison de différentes méthodes
II.4.3. Influence du maillage pour la méthode Gθ
II.4.4. Bilan
II.5. Application à l’adhérence d’un assemblage collé
II.5.1. Description de l’essai
II.5.2. Résultats
II.5.3. Bilan
II.6. Conclusion
III. MODELISATION DE LA PROPAGATION QUASI-STATIQUE DE FISSURES
III.1. Etude bibliographique
III.1.1. Critères d’amorçage
III.1.2. Critères de bifurcation
III.1.3. Critères de stabilité
III.1.4. Méthodes numériques utilisées
III.2. Amorçage d’une fissure
III.2.1. Les outils numériques nécessaires à la localisation et à l’amorçage d’une fissure
III.2.2. Amorçage en contrainte critique
III.2.3. Amorçage en endommagement critique
III.2.4. Application au compactage de coques
III.3. Propagation d’une fissure
III.3.1. Critère de la contrainte normale maximale
III.3.2. Critère de la densité d’énergie de déformation minimale
III.3.3. Critère du taux de restitution d’énergie maximal
III.3.4. Comparaison
III.3.5. Bilan
III.4. Applications et développements spécifiques
III.4.1. Plaque trouée pré-fissurée
III.4.2. Poutres en flexion et formation de débris
III.4.3. Procédés à fort cisaillement et contact matière-matière
III.4.4. Propagation dans les structures multimatériaux
III.5. Conclusion
IV. INFLUENCE DE L’OXYDATION DE GAINES EN ZIRCALOY 4 SUR LEURS PROPRIETES MECANIQUES
IV.1. Contexte de l’étude
IV.1.1. L’essai spécifique de compactage
IV.1.2. Le zircaloy 4 irradié
IV.1.3. Recherche du matériau simulant
IV.1.4. Bilan et matériau simulant retenu
IV.2. Modélisation numérique du compactage
IV.2.1. Validation de la loi de comportement : dépliage d’un demi-tube
IV.2.2. Prise en compte du multi-domaines : compactage de trois tubes superposés
IV.2.3. Prise en compte de la fissuration : compactage d’un tube
IV.2.4. Etudes de sensibilité
IV.2.5. Bilan
IV.3. Etude et discussion sur l’influence d’une couche d’oxyde
IV.3.1. Oxydation du zircaloy 4
IV.3.2. Etude expérimentale de l’oxydation de tubes en zircaloy 4 écroui
IV.3.3. Modélisation numérique du compactage d’un tube oxydé
IV.4. Bilan
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
ANNEXES
A. TECHNIQUES DE MAILLAGE
A.1. Discrétisation de la frontière
A.2. Triangulation de Delaunay
A.3. Régularisation du maillage
B. CHAMPS MECANIQUES A LA POINTE D’UNE FISSURE STATIQUE
B.1. Facteurs d’intensité de contraintes
B.2. Justification des éléments singuliers
C. COURBES DE RESISTANCE
C.1. Courbe de résistance
C.2. Module de déchirement T
D. IMPLEMENTATION DU CRITERE DE LA CONTRAINTE NORMALE MAXIMALE
D.1. Exemple d’application symétrique
D.2. CNM1
D.3. CNM2
D.4. CNM3
D.5. Exemple d’application non symétrique
D.6. Bilan
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES