Inférence bayésienne en imagerie micro-onde 

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Modèle discret

Méthode des Moments

La méthode des moments est une méthode couramment utilisée pour transformer des équations fonctionnelles en équations matricielles par projection sur des ensembles de fonctions de base et de fonctions de test [41]. Le problème étant réduit sous la forme AX = B, où A est une matrice, X est un vecteur inconnu et B est un vecteur connu, intuitivement, quand la matrice A est inversible, cela nous permet d’obtenir les solutions recherchées.

Principe de la méthode

Soient un opérateur linéaire L : G → H, et deux fonctions g ∈ G et h ∈ H telles que h = L(g). On cherche à déterminer g connaissant L et h. La fonction g peut être écrite sous la forme g = Pi=1..I giui, où {u1, u2…uI } sont des coefficients constants qui constituent un ensemble de fonctions de base uI . La propriété de linéarité de l’opérateur L

Application de la méthode des moments au domaine in-tégral

Les deux équations couplées (2.5) et (2.6) présentent une propriété de bilinéarité par rapport aux deux variables χ et E. La méthode des moments peut alors être appliquée sur chacune des équations. En effet, si on considère les équations d’observation et d’état comme deux équations linéaires par rapport à la variable E.
Ici, nous prendrons comme fonctions de base les fonctions caractéristiques des pixels partitionnant le domaine D et comme fonctions test des distributions de Dirac δ loca-lisées aux centres de chacun des pixels élémentaires pour l’équation de couplage et aux points de mesure pour l’équation d’observation.
La résolution du problème direct consiste donc, dans un premier temps, à résoudre l’équation (2.21) pour trouver le champ En, le champ diffracté Edifn s’en déduisant direc-tement, dans un second temps, à l’aide de l’équation (2.20). La résolution de l’équation (2.21) nécessite l’inversion de la matrice (Id −Gcf Xf ) pour chaque fréquence f, ce qui ne pose pas de problème particulier, cette matrice étant généralement bien conditionnée. Cependant, les dimensions de cette dernière pouvant être très importantes, les méthodes d’inversion directes, de type factorisation LU ou élimination de Gauss-Jordan, sont à proscrire car peu efficaces pour la résolution des systèmes de très grande taille et difficiles à mettre en œuvre car elles nécessitent le stockage en mémoire de ces derniers. C’est pourquoi nous avons opté pour un algorithme itératif de gradient bi-conjugué stabilisé (BiCGSTAB), une généralisation naturelle du gradient conjugué. Notons ici que la na-ture convolutionnelle de l’équation de couplage permet de travailler dans le domaine de Fourier, le calcul des opérateurs étant alors effectué à l’aide de l’algorithme BiCGSTAB combiné avec une transformée de fourrier rapide (BiCGSTAB-FFT). La complexité de cet algorithme est de l’ordre de O(N log N) et O(N), où N est le rang du système, en termes de temps de calcul et de coût en mémoires respectivement, ce qui est bien plus économique qu’une solution directe [102].

Génération des données

Comme signalé précédemment, afin d’éviter de commettre un crime inverse, les don-nées du problème inverse sont calculées à partir d’un modèle différent de celui utilisé dans l’inversion. Alors que dans ce dernier, exposé ci-dessus, l’ensemble du sein est par-tionné en pixels élémentaires et la fonction de Green utilisée est celle d’une configuration 2D en milieu homogène donnée par l’équation (2.7), pour calculer les données seules les inhomogénéités (e.g., D4, D5 et D6) sont discrétisées et la fonction de Green utilisée est celle d’un milieu stratifié cylindrique à deux (fantôme 1 : D1 et D3) ou trois couches (fantômes 2, 3 ou 4 : D1, D2 et D3) [39].
Notons que les séries infinies apparaissant ci-dessus convergent assez rapidement et une vingtaine de termes suffit, dans les exemples traités ici, à assurer une bonne précision des calculs. Une fois ces substitutions effectuées, le reste des calculs s’effectue comme décrit précédemment. Insistons sur le fait que les champs diffractés calculés de cette façon servirons de données au problème inverse et seront, par la suite, désignés par “les données”.

Configuration de mesure

Pour effectuer les tests, quatre fantômes de seins placés dans trois milieux d’adap-tations D1 différents ont été considérés (figure (2.4)). Les paramètres des fantômes 1, 2 et 3 ont été définis dans le cadre d’une collaboration informelle avec les universités de Bristol et de Mälardalen et l’Université Polytechnique de Catalogne afin de disposer d’objets de référence pour la comparaison des algorithmes d’inversion. Pour ces fan-tômes, les différents milieux sont distribués dans des domaines de sections circulaires et sont constitués de graisse (domaine D3), d’une tumeur (domaine D4) et, éventuellement de peau (domaine D2) et de milieux glandulaires (domaines D5 et D6). Le fantôme 4 est plus sophistiqué ; il est toujours supposé être de section circulaire, entouré de peau et atteint d’une tumeur, mais le milieu D3 est un milieu très hétérogène, dont les para-mètres varient entre ceux de la graisse et ceux de milieux fibro-glandulaires, construit à partir d’une coupe d’un sein réel obtenue par imagerie par résonance magnétique [97]. Le tableau (2.1) récapitule les différents paramètres électromagnétiques des mi-lieux composants les quatre configurations. Pour faciliter les notations, on associe aux quatre fantômes l’indice i qui indique le milieu d’adaptation (i = 0, 1, 2, 3, 4) où i = 0 correspond à l’espace libre ( r ; σ) = (1 ; 0), i = 1 correspond au milieu de paramètres ( r ; σ) = (10 ; 0, 5), i = 2 correspond au milieu de paramètres ( r; σ) = (21, 8 ; 0, 5) et i = 3 correspond au milieu de paramètres ( r; σ) = (35 ; 0, 5).
Finalement, la configuration de mesure est rappelée sur la figure (2.3). On dispose de 64 lignes-sources et de 64 récepteurs régulièrement répartis sur un cercle de rayon 7, 5 cm centré sur l’origine des axes. Le sein est de section circulaire de diamètre égal à 10 cm et le domaine test D est un carré de 12,2 cm de côté discrétisé en 64 × 64 pixels carrés de côté égal à a = 1, 9 mm pour les fantômes 1, 2 et 3 et en 120 ×120 pixels de côté égal à a = 1 mm pour le fantôme 4. Le dispositif fonctionne à 6 fréquences dans la bande 0, 5 – 3 GHz. Notons ici que, dans la réalité, les différents tissus composant le sein sont généralement fortement dispersifs [93], i.e. leurs permittivité et conductivité dépendent de la fréquence. C’est un aspect que, par souci de simplicité, nous n’aborderons pas dans ce travail. Les paramètres donnés dans la table (2.1) seront donc pris comme constants sur toute la bande de fréquence considérée.

Validation des modèles

Nous commençons par une validation préliminaire en simulant le problème direct pour un angle de réception et une fréquence donnés. Ensuite on calcule le champ incident en l’absence d’objet et on génère le contraste de l’objet. Puis on procède au calcul des champs diffractés pour toutes les incidences, toutes les fréquences et tous les angles de réception. Ensuite, on compare la sortie de chaque modèle avec les données. D’après les figures (2.5), (2.6), (2.7) et (2.8) nous remarquons que les sorties des modèles coïncident relativement bien avec les données, aussi bien en module qu’en phase, ce que confirment les tableaux (2.2) et (2.3) qui montrent l’erreur relative entre les deux champs calculée pour toutes les positions de source et de récepteur pour chaque fréquence. Cette dernière est généralement faible mais croît avec la fréquence. Ceci s’explique par le fait que la discrétisation, i.e. la taille des pixels, est constante quelle que soit la fréquence. Hors nous avons vu qu’une bonne convergence des calculs menés à l’aide de la méthode des moments nécessite d’indexer cette taille à la longueur d’onde. Par conséquent, plus la fréquence augmente, plus l’erreur liée aux contributions du milieu D2 et du bord du milieu D3, décrits exactement pour le calcul des données mais discrétisés dans le modèle direct, devient importante.

Table des matières

1 Introduction générale 
1.1 Avant propos
1.2 Contexte général d’étude
1.3 Imagerie micro-onde
1.4 L’application visée
1.4.1 Approches de l’imagerie micro-onde
1.5 Méthodes de résolution du problème d’imagerie micro-onde
1.5.1 Les approches linéarisées
1.5.2 Les approches non linéaires
1.6 Cadre du travail
1.7 Plan de l’étude et contributions
2 Le problème direct 
2.1 Introduction
2.2 Représentation intégrale de domaine du champ électrique
2.3 Modèle discret
2.3.1 Méthode des Moments
2.3.2 Application de la méthode des moments au domaine intégral
2.4 Génération des données
2.5 Configuration de mesure
2.6 Validation des modèles
2.7 Conclusions
3 Inférence bayésienne en imagerie micro-onde 
3.1 Introduction
3.2 Mise en équation probabiliste du modèle direct
3.3 Modèle a priori hiérarchique
3.3.1 Modèle de Mélange de Gaussiennes conditionnellement Indépendantes (MGI)
3.3.2 Modèle de Mélange de Gauss-Markov (MGM)
3.4 Cadre quasi non-supervisé
3.4.1 Estimation conjointe
3.4.2 Estimateur J MAP (optimisation alternée par point fixe)
3.4.3 Discussion
3.5 Conclusions
4 Méthodes bayésiennes variationnelles 
4.1 Introduction
4.2 Principe de la méthode bayésienne variationnelle
4.3 Approche bayésienne variationnelle en imagerie micro-onde
4.3.1 Équations de mise à jour
4.3.2 Déroulement de l’algorithme
4.4 Méthode du gradient pour l’approche bayésienne variationnelle
4.4.1 Principe de la méthode
4.4.2 Équations de mise à jour
4.4.3 Pas de descente
4.4.4 Déroulement de l’algorithme
4.5 Comparaison théorique entre BV, G-BV et J MAP
4.6 Conclusions
5 Résultats d’inversion 
5.1 Introduction
5.2 Résultats de reconstruction
5.2.1 Qualité de reconstruction
5.2.2 Complexité algorithmique
5.3 Données bruitées
5.4 Paramètre de corrélation
5.5 MGI vs MGM
5.6 Conclusions
6 Bilan et perspectives 
6.1 Bilan de l’étude
6.2 Perspectives du travail
6.2.1 Autre modèle a priori
6.2.2 Autre modélisation du bruit de mesure
6.2.3 Mises à jour non simultanées des paramètres de forme
6.2.4 Approche totalement non supervisée
6.2.5 Prise en compte du caractère dispersif des tissus
6.2.6 Taux de fausse alarme
A Solution analytique de l’approche bayésienne variationnelle
B Mise à jour des paramètres de forme du G-BV
B.1 Les sources induites w
B.2 Le contraste
B.3 Le champ caché z
B.4 La variance du bruit d’observation v
B.5 La variance du bruit de couplage v
B.6 La variance des classes vk
B.7 La moyennes des classes mk
C Détermination du pas optimal de descente du G-BV
C.1 L’énergie libre négative
C.2 Le calcul du pas optimal de descente
D Publications
Références

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