Inégalités de Cauchy-Schwartz et de Minkowski

Inégalités de Cauchy-Schwartz et de Minkowski

Définition

Un espace préhilbertien est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire. Un espace préhilbertien de dimension finie est dit euclidien.Dans le cas où E est un espace euclidien, on peut aussi dire qu’un produit scalaire sur E est la forme polaire d’une forme quadratique de signature (n, 0) .On notera, quand il n’y a pas d’ambiguïté :(x, y) 7−! hx|yi un tel produit scalaire et pour y = x, on noteL’application x 7−! kxk2 = hx|xi est tout simplement la forme quadratique associée à h·|·i.Les deux égalités qui suivent, expressions de la forme polaire d’une forme quadratique, sont utiles en pratique.

Caractérisation des projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien

dans E telle que p p = p.
Il est facile de vérifier que si p est un projecteur de E, alors ker (p) et Im (p) sont en somme directe et pour tout x = y + z avec (y, z) 2 ker (p) × Im (p) , on a p (x) = y.
En effet, si x 2 ker (p) \ Im (p) , on a x = p (y) et 0 = p(x) = p p(y) = p(y) = x, donc ker (p) \Im(p) = {0} et tout x 2 E s’écrit x = x – p (x) + p (x) avec x – p (x) 2 ker (p) et p (x) 2 Im (p) , donc E = ker (p) + Im (p) . On a donc bien E = ker (p) Im (p) et pour tout x = y + z 2 E avec (y, z) 2 ker (p) × Im (p) , on a p (x) = p (y) + p (z) = p (z) = z.
On dit que p est le projecteur sur F = Im (p) parallèlement à ker (p) . Réciproquement si E = F G, l’application qui associe à x = y + z, où (y, z) 2 F × G, le vecteur y est un projecteur sur F parallèlement à G.
Les projecteurs orthogonaux sont des cas particuliers de projecteurs. Ce sont en fait les projecteurs de E caractérisés par la propriété 5. du théorème () ou par kp(x)k kxk pour tout x 2 E. Les valeurs propres de u sont donc les racines du polynôme Pu () = det (u – Id) . Ce polynôme est appelé polynôme caractéristique de u.
Comme Pu est de degré n, l’endomorphisme u a au plus n valeurs propres réelles.
Pour toute valeur propre réelle d’un endomorphisme u de E, le sous-espace vectoriel E=ker (u – Id) est appelé l’espace propre associé à la valeur propre .
En désignant par A la matrice de u dans une base de u, on a det (u – Id) = det (A – In) .
Le polynôme PA () = det (A – In) est appelé polynôme caractéristique de A et les racines de ce polynôme (réelles ou complexes) sont appelées les valeurs propres de A.

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1 Introduction
2 Formes bilinéaires symétriques
2.1 Représentation d’une forme bilinéaire par une matrice
2.2 Produit scalaire
3 Formes quadratiques
4 Inégalités de Cauchy-Schwartz et de Minkowski
5 Orthogonalité
5.1 Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
6 Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie
6.1 Caractérisation des projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien
6.2 Réduction des matrices symétriques réelles