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Notions importantes en robotique parall`ele
Le paragraphe 2.1 pr´esente les notions importantes utilis´ees en robotique parall`ele. Il existe sur ce sujet trois livres de r´ef´erence : [Merlet 00], [Tsai 99], [Angeles 2003].
Preliminaires
Les premiers m´ecanismes (ou manipulateurs) parall`eles construits sont un simulateur de vol [Stewart 65] et une machine pour tester les pneus [Gough 62]. Un investigateur a cependant apport´e en 2003 de nouvelles informations sur l’origine des manipulateurs parall`eles, dans une revue online tr`es bien document´ee [Bonev Web 2]. Le premier manipulateur parall`ele invent´e mais non construit daterait de 1932 [Gwinnett 31]. C’´etait un projet de plate-forme mobile destin´ee a` un cin´ema “dynamique”, comme au Futuroscope de Poitiers, pr`es de Chˆatellerault dans la Vienne. Aujourd’hui, on trouve de nombreuses utilisations des m´ecanismes parall`eles dans l’industrie : pick-and-place, simulateurs de vol, machines-outils, micro-positionnement.
La plate-forme mobile d’un m´ecanisme parall`ele sur laquelle est plac´e l’effecteur est connect´ee au bˆati par plusieurs chaˆınes cin´ematiques, appel´ees jambes, qui sont mont´ees en parall`ele. En g´en´eral, les jambes sont soit t´el´escopiques, c’est-a`-dire de longueur variable, soit de longueur fixe et c’est leur extr´emit´e qui est mobile (Fig. 2.1). Sur cette figure, les m´ecanismes ont cha-cun deux jambes. Celles-ci sont constitu´ees de pi`eces mobiles les unes par rapport aux autres appel´ees membrures.
On appelle configuration articulaire d’un m´ecanisme parall`ele l’ensemble des coordonn´ees li´ees aux articulations motoris´ees. Pour les deux m´ecanismes de la Fig. 2.1, les articulations motoris´ees sont les deux liaisons prismatiques.
On appelle configuration de l’outil l’ensemble des coordonn´ees permettant de definir la position et l’orientation de l’outil. Sur la Fig. 2.1, la configuration de l’outil est d´efinie par le couple de coordonn´ees Cart´esiennes (x, y) qui d´etermine la position de l’outil.
L’espace des configurations d’un m´ecanisme parall`ele est l’ensemble des valeurs que peuvent prendre les coordonn´ees articulaires passives et actives, qui doivent satisfaire les ´equations traduisant la fermeture des chaˆınes de solides.
La matrice Jacobienne (cin´ematique)
La d´etermination des mod`eles cin´ematiques des manipulateurs parall`eles est a` elle seule un th`eme de recherche en robotique parall`ele. En effet, chaque famille de manipulateurs n´ecessite une approche diff´erente pour d´eterminer son mod`ele cin´ematique. En g´en´eral, pour un mani-pulateur parall`ele on arrive a` ´etablir une relation du type : At = Bρ˙
o`u ρ˙ est le vecteur des vitesses articulaires, t est le vecteur des vitesses Cart´esiennes et J est la matrice Jacobienne du manipulateur. Lorsque A n’est pas singuli`ere, elle est inversible et on peut d´eterminer la matrice Jacobienne du manipulateur : J = A−1B
La d´etermination de la matrice Jacobienne revient donc a` d´eterminer les matrices A et B. La matrice Jacobienne d’un manipulateur parall`ele repr´esente la transformation lin´eaire entre les vitesses Cart´esiennes de la plate-forme mobile et les vitesses articulaires des liaisons actionn´ees : Jρ˙ = t
La dext´erit´e
La dext´erit´e est un concept tr`es important. Elle permet de caract´eriser les capacit´es d’un manipulateur a` effectuer avec pr´ecision des mouvements de faible amplitude [Gosselin 98]. En effet, ´etant donn´e une certaine pr´ecision des actionneurs, la pr´ecision du mouvement obtenu a` l’organe terminal d´ependra des param`etres g´eom´etriques du manipulateur ainsi que de sa confi-guration. La dext´erit´e est donc une propri´et´e locale du manipulateur. Elle ´evolue a` l’int´erieur de l’espace de travail. On peut ´etablir une expression de la dext´erit´e a` partir de l’´equation de vitesse du manipulateur Jρ˙ = t. La dext´erit´e est en effet d´efinie comme la qualit´e de la transformation lin´eaire caract´eris´ee par la matrice Jacobienne. On utilise le conditionnement de la Jacobienne pour mesurer cette qualit´e. Math´ematiquement, on d´efinit le conditionnement κ(M) d’une matrice M de la fa¸con suivante : κ(M) = kMk.kM−1k
Une matrice singuli`ere aura un conditionnement qui tend vers l’infini alors qu’une matrice parfaitement conditionn´ee aura un conditionnement de 1.
On utilise souvent l’inverse du conditionnement qui est compris entre 0 et 1, et qui est plus facile a` calculer. On dit qu’un manipulateur est isotrope si sa matrice jacobienne est parfaitement conditionn´ee en au moins une configuration. Une telle configuration sera appel´ee configuration isotrope.
Les Facteurs d’Amplification de Vitesse
Les Facteurs d’Amplification de Vitesse (ou FAV) d’un manipulateur parall`ele sont d´efinis a` partir des ellipso¨ıdes de manipulabilit´e en vitesse [Yoshikawa 85]. Ces ellipso¨ıdes sont eux-mˆemes d´efinis a` partir de la matrice jacobienne inverse du manipulateur, J−1.
Physiquement, les FAV ne repr´esentent pas les rapports entre les vitesses des liaisons cin´ematiques actionn´ees et les vitesses de la plate-forme mobile du manipulateur, mais ils en donnent une bonne approximation.
Les racines carr´ees des valeurs propres de (JJT )−1 sont not´ees γi. Ce sont les longueurs des demis axes de l’ellipso¨ıde. Les FAV sont tels que : λi = 1/γi
Les Facteurs d’Amplification des Efforts (ou FAE) sont l’inverse des FAV et repr´esentent une approximation du rapport entre les efforts disponibles au niveau des liaisons cin´ematiques actionn´ees et les efforts disponibles au niveau de la plate-forme mobile. Les FAE, not´es λ0i, sont ´egaux aux longueurs des demi-axes de l’ellipso¨ıde de manipulabilit´e. Ils sont tels que : λ0i = γi
Parce qu’ils sont d´efinis a` partir de la matrice Jacobienne, elle-mˆeme d´efinie a` partir des pa-ram`etres g´eom´etriques du manipulateur et de la configuration, les FAV d´ependent des pa-ram`etres g´eom´etriques et de la position Cart´esienne.
Sur la Fig. 2.2, on illustre la d´ependance des FAV avec les coordonn´ees Cart´esiennes. On montre l’ellipso¨ıde de manipulabilit´e d’un manipulateur plan dans deux configurations diff´erentes : dans la configuration quelconque les demis axes de l’ellipso¨ıde sont de dimen-sions diff´erentes ; et a` l’isotropie l’ellipso¨ıde est un cercle car les demis axes (et par cons´equent les FAV) sont ´egaux : λ1 = λ2, et on a mˆeme dans ce cas pr´ecis : λi = 1.
Ellipsoide de manipulabilité=1
Vecteur propre 2Vecteur propre 1Vecteur propre 21 1= = 1 P = Ellipsoide de manipulabilité P 1 0.342=Vecteur propre 1.
Singularit´es
Les singularit´es classiques
Lorsque det(A) ou det(B) s’annule, on dit que le manipulateur est en singularit´e. Lorsque det(B) = 0, c’est une singularit´e dite s´erielle ou de type I [Gosselin 90c]. Ce type de singularit´e correspond aux fronti`eres de l’espace atteignable par le manipulateur [Merlet 00]. Sur la Fig. 2.3, on a repr´esent´e une singularit´e s´erielle d’une PKM plane a` deux translations. La fl`eche indique la direction le long de laquelle le mouvement est impossible.
Lorsque det(A) = 0, c’est une singularit´e dite parall`ele ou de type II [Gosselin 90c]. Ce type de singularit´e correspond aux configurations dans lesquelles la rigidit´e du m´ecanisme est perdue localement. Sur la Fig. 2.4 on a repr´esent´e une singularit´e parall`ele, la fl`eche indique la direction le long de laquelle la rigidit´e est perdue, c’est-a`-dire qu’un mouvement infinit´esimal est possible.
L’analyse de ce type de singularit´es est plus complexe et fait encore l’objet de recherches. Pour mettre en ´evidence les singularit´es d’un manipulateur parall`ele, il est possible d’utiliser une approche alg´ebrique a` partir de la matrice Jacobienne, ou une approche g´eom´etrique [Hunt 78], [Merlet 89], [Zlatanov 94] en utilisant la g´eom´etrie des droites.
Une troisi`eme sorte de singularit´e, dite singularit´e architecturale, peut apparaˆıtre pour des dimensions particuli`eres des membrures d’un m´ecanisme parall`ele. Sur la Fig. 2.5 par exemple, il n’est pas possible de contrˆoler la position du point P, pour cette configuration articulaire particuli`ere (les liaisons actionn´ees sont les liaisons prismatiques), parce que les deux barres reli´ees aux actionneurs prismatiques ont mˆeme longueur. On peut bien sˆur ´eviter ces singula-rit´es, si l’on connaˆıt le risque, en d´eterminant les configurations articulaires critiques qu’il faut ´eviter. Lorsqu’on se trouve en une singularit´e architecturale, les ´equations de positionnement d´eg´en`erent [Ma91], c’est-a`-dire qu’il existe une infinit´e de solutions au probl`eme g´eom´etrique direct : pour une configuration articulaire donn´ee, il existe une infinit´e de positions Cart´esiennes solutions (Fig. 2.5).
Lors de la conception d’une PKM, il est important de d´eterminer ses configurations sin-guli`eres. En effet au voisinage de celles-ci, les performances de la machine se d´eteriorent :
• Au voisinage des singularit´es s´erielles, il n’est pas possible de d´eplacer l’outil dans certaines directions (Fig. 2.3) ;
• Au voisinage des singularit´es parall`eles, on peut d´eplacer l’outil bien que les articulations motoris´ees soient bloqu´ees (Fig. 2.4). Ces singularit´es peuvent exister a l’int´erieur de l’espace de travail et sont gˆenantes pour la planification de trajectoires. En ces points, les efforts dans les articulations augmentent, ce qui peut endommager la structure. De plus, la rigidit´e du m´ecanisme diminue et peut provoquer des mouvements non contrˆol´es de l’outil ;
• Si l’on se trouve en singularit´e architecturale, la position de l’outil est incontrˆolable, ce qui pose bien ´evidemment un probl`eme (Fig. 2.5).
Les singularit´es de contrainte
Plus r´ecemment, un nouveau type de singularit´e a ´et´e mis en ´evidence : les singularit´es de contrainte ou Constraint singularities [Zlatanov 01], aussi appel´ees singularit´es internes [Krut 03]. [Zlatanov 02] est un rapport online qui d´ecrit le ph´enom`ene avec des animations pertinentes. Ces singularit´es se produisent pour des m´ecanismes parall`eles poss´edant moins de 6 degr´es de libert´e, lorsqu’`a la fois le m´ecanisme entier et la plate-forme mobile gagnent un degr´e de libert´e. D’apr`es la classification propos´ee par [Zlatanov 94], ce type de singularit´e est tou-jours de type IIM (Increased Instantaneous Mobility). [Zlatanov 02] montre que les singularit´es IIM sont des singularit´es dans l’espace des configurations du m´ecanisme, appel´e Configuration space (voir paragraphe 2.1.1).
Voyons un exemple : la Fig. 2.6 repr´esente un m´ecanisme a` 4 barres dans une configuration quelconque (`a gauche) et en singularit´e de contrainte (`a droite). La plate-forme mobile dont on ´etudie le mouvement est appel´ee coupleur. Il y a un seul actionneur rotatif, donc on a un m´ecanisme parall`ele a` 1 degr´e de libert´e (DDL) en rotation. Sur la figure de droite, les axes des liaisons pivot sont tous align´es. Dans cette configuration, il est possible de d´eplacer le coupleur a` la fois en translation verticale et a` la fois en rotation autour de n’importe quel point de (Δ). On a donc localement un m´ecanisme a` 2 DDL : 1 rotation, 1 translation. On se trouve en singularit´e de contrainte puisque l’on gagne 1 DDL.
Le probl`eme pos´e aux PKM par les singularit´es de contrainte, outre la possible perte de rigidit´e au passage d’une telle singularit´e, comme pour les singularit´es parall`eles, est bien sˆur la modification locale des DDL de la machine. Si l’on veut une PKM a` 3 DDL en translation, il n’est pas envisageable qu’elle acqui`ere un DDL en rotation en cours d’usinage, mˆeme localement. Il faut donc a` tout prix ´eviter ces singularit´es.
Il arrive que la modification du nombre et du type de DDL ne soit pas seulement locale : dans [Zlatanov 02], on montre l’exemple du m´ecanisme 3-URU DYMO (pour Double-Y Multi-Operational mechanism, voir Fig. 2.7) qui lorsqu’il traverse des singularit´es de contrainte peut se comporter de diff´erentes fa¸cons : mode translationel (3 DDL en translation), mode sph´erique (3 rotations autour d’un point), mode plan (2 translations dans un plan, 1 rotation orthogonale au plan), mode mixte (2 rotations, 1 translation), mode bloqu´e (aucun d´eplacement de la plate-forme).
Remarque : Nous allons voir dans le paragraphe 2.1.7 que la d´etermination de l’espace de travail des m´ecanismes parall`eles est un th`eme de recherches, car les probl`emes a` surmonter varient suivant l’architecture. De mˆeme, la d´etermination des singularit´es pour des familles de m´ecanismes parall`eles est un th`eme de recherches. Par exemple dans [Krut 03] on pr´esente une m´ethode de d´etermination de toutes les singularit´es possibles (singularit´es de type I, II, singularit´es de contrainte) pour une famille de manipulateurs a` 3 DDL en translation et 1 DDL en rotation.
Modes d’assemblage et de fonctionnement
Une singularit´e s´erielle (resp. parall`ele) est associ´ee a` un changement de mode de fonctionne-ment (resp. de mode d’assemblage) [Chablat 98]. Sur la Fig. 2.8, le manipulateur poss`ede quatre modes de fonctionnement pour une position donn´ee du point P : l’articulation de chaque jambe peut ˆetre a` gauche ou a` droite de la position interm´ediaire correspondant a` la singularit´e s´erielle.
Ce manipulateur poss`ede aussi deux modes d’assemblage pour une configuration articulaire donn´ee : l’outil peut ˆetre au-dessus ou au-dessous de la droite horizontale qui correspond a` la singularit´e parall`ele (Fig. 2.9). Le choix du mode d’assemblage ou de fonctionnement influence le comportement cin´etostatique du m´ecanisme de mani`ere significative [Chablat 98a].
Espace de travail
La d´etermination de l’espace de travail des manipulateurs parall`eles est un point important pour la conception de PKM. En effet, le faible volume de l’espace de travail par rapport a` l’encombrement est un des principaux d´efauts des manipulateurs parall`eles.
Diff´erentes projections de l’espace de travail existent pour les manipulateurs parall`eles [Merlet 98]:
1. L’espace de travail maximal, qui correspond a` l’ensemble des positions accessibles par la plate-forme mobile pour au moins une orientation de celle-ci ;
2. L’espace de travail dextre, qui correspond a` l’ensemble des positions accessibles par la plate-forme mobile pour toutes les orientations de celle-ci ;
3. L’espace de travail a` orientation constante, qui correspond a` l’ensemble des positions accessibles par la plate-forme mobile pour une orientation donn´ee de celle-ci.
Dans cette th`ese, nous nous int´eressons aux PKM a` translations, pour lesquelles les trois projections de l’espace de travail sont ´equivalentes puisque l’orientation de la plate-forme mobile ne varie pas.
Les m´ethodes d´evelopp´ees pour la d´etermination de l’espace de travail des m´ecanismes s´eriels ne sont pas directement applicables. Aussi, des m´ethodes particuli`eres, alg´ebriques et g´eom´etriques, ont ´et´e mises au point. Chaque m´ethode ou presque est sp´ecifique a` une archi-tecture particuli`ere. Des algorithmes g´eom´etriques sont par exemple pr´esent´es dans [Merlet 98] pour d´eterminer les diff´erentes projections de l’espace de travail pour des manipulateurs parall`eles plans.
Les m´ethodes g´eom´etriques [Gosselin 90b], [Merlet 00], [Bonev 02] permettent de calculer facilement la fronti`ere de l’espace de travail. Elles peuvent int´egrer les contraintes li´ees aux limites articulaires et aux collisions entre membrures. Cependant la reconstruction totale de l’espace de travail est diffcile.
Les m´ethodes alg´ebriques [Jo 89], [Haugh 95] sont plus difficiles a` appliquer car elles aug-mentent la dimension du probl`eme en introduisant des variables suppl´ementaires. Elles consistent a` r´esoudre un probl`eme d’optimisation en introduisant des p´enalit´es aux fronti`eres. Les singularit´es s´erielles sont les fronti`eres de l’espace atteignable [Merlet 00]. Des singula-rit´es parall`eles peuvent se trouver dans l’espace atteignable ce qui peut poser probl`eme car en ces points la rigidit´e devient presque nulle selon certaines directions (voir paragraphe 2.1.5).
Manipulateurs pleinement parall`eles
Un manipulateur pleinement parall`ele est un manipulateur qui poss`ede autant de jambes que de degr´es de libert´es, et un seul actionneur par jambe. La plate-forme hexapode de Gough-Stewart est un exemple de m´ecanisme pleinement parall`ele [Stewart 65]. Une hexapode est munie d’une plate-forme mobile reli´ee au bˆati par 6 chaˆınes s´erielles de type U P S (U = Uni-versal joint, i.e. cardan, P = Prismatique, S = Sph´erique) mont´ees en parall`ele (Fig. 2.10).
Redondance
Il existe deux sortes de redondance pour les m´ecanismes parall`eles [Krut 03]. La redondance d’actionnement signifie qu’`a une force donn´ee a` exercer par la plate-forme mobile, correspond une infinit´e de forces possibles pour les moteurs, et la redondance cin´ematique signifie qu’`a une vitesse donn´ee de la plate-forme mobile correspond une infinit´e de vitesses pour les moteurs (Fig. 2.11). Sur les figures, les liaisons actionn´ees sont les liaisons prismatiques.
Le concept de redondance peut par exemple ˆetre employ´e pour franchir des singularit´es et obtenir ainsi de forts d´ebattements angulaires [Krut 03]. C’est par exemple le cas du m´ecanisme parall`ele Archi d´evelopp´e au LIRMM de Montpellier (Fig. 2.12). La plate-forme mobile poss`ede 3 DDL mais 4 jambes actionn´ees. Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe 2.2.4.3.
Manipulateurs hybrides
Un manipulateur hybride est un manipulateur parall`ele compos´e de l’association en s´erie d’un m´ecanisme a` cin´ematique parall`ele et d’un m´ecanisme a` cin´ematique s´erielle. Ce type de manipulateur peut permettre de b´en´eficier d’un grand espace de travail en translation ou en orientation, caract´eristique propre aux m´ecanismes s´eriels. D’autre part, il peut ´egalement permettre de b´en´eficier des bonnes performances des manipulateurs parall`eles en terme de rigidit´e et de dynamique. Nous pr´esenterons un exemple de manipulateur parall`ele hybride dans le paragraphe 2.2.2.5.
Application des m´ecanismes parall`eles `a l’usinage
Limites des machines outils classiques
La plupart des machines outils poss`edent une architecture s´erielle ou arborescente, c’est-a`-dire que chaque axe doit d´eplacer et supporter l’autre. Sur la Fig. 2.13, on voit par exemple que l’axe X est support´e par l’axe Y , lui-mˆeme support´e par le bˆati de la machine, qui supporte l’axe Z. L’avantage de cette structure est que les axes du rep`ere li´e a` la machine et ceux du rep`ere lie a la pi`ece peuvent facilement ˆetre mis en relation au moyen d’expressions math´ematiques simples, ce qui facilite la programmation des trajectoires d’usinage.
Remarque : On a dans cet exemple une structure s´erielle de type main droite / main gauche ou arborescente : les mouvements de l’outil et de la pi`ece sont g´en´er´es par deux chaˆınes cin´ematiques ind´ependantes (la table et la broche).
Les contraintes ´economiques actuelles imposent de produire plus vite et mieux. Les ma-chines outils de conception r´ecente suivent cette ´evolution, et on constate que leurs perfor-mances en pr´ecision, en vitesse se sont nettement amelior´ees, grˆace aux avanc´ees technolo-giques des constructeurs, et a` l’amelioration des performances de certains composants (moteurs lin´eaires, ´electrobroches a` paliers hydrostatiques, roulements sp´eciaux, commandes num´eriques plus performantes, etc…). Cependant, l’architecture s´erielle employ´ee pour la cin´ematique de ces machines montre des limites :
1. Les machines deviennent tr`es lourdes et tr`es encombrantes, car l’augmentation des vitesses de broche et des avances exigent un dimensionnement g´en´ereux, en accord avec la rigidit´e requise ;
2. La masse a` d´eplacer sur chaque axe devient donc importante, ce qui pose des probl`emes de flexion en bout de course, et nuit a` la pr´ecision ainsi qu’aux performances dynamiques.
Les PKM repr´esentent donc des alternatives int´eressantes en termes de performances dyna-miques, et nous allons donc pr´esenter maintenant un ´etat de l’art des PKM industrialis´ees existantes.
Etat de l’art des PKM poss´edant plus de 3 DDL
Pr´eambule
Pour organiser cet ´etat de l’art, nous allons rassembler les PKM au sein de 4 familles : les PKM dont la longueur des jambes varie (les liaisons actionn´ees sont prismatiques et non-fix´ees sur le bˆati), les PKM dont la longueur des jambes est fixe (les liaisons actionn´ees sont fix´ees sur le bˆati), les PKM redondantes et les PKM hybrides. Au sein des deux premi`eres familles, on s´eparera les diff´erentes PKM en fonction de leurs DDL. La famille des PKM a` 3 DDL sera pr´esent´ee dans le paragraphe suivant afin de mieux la d´etailler.
PKM dont la longueur des jambes varie
Un probl`eme de ces PKM est que les actionneurs sont souvent situ´es sur des parties mobiles, ce qui augmente l’inertie de celles-ci, et rend difficile l’utilisation de moteurs lin´eaires. D’autre part, lorsque les liaisons actionn´ees sont des vis a` billes, la dilatation de l’axe caus´ee par l’´echauffement provoqu´e par le frottement avec les billes pose un probl`eme de pr´ecision.
• ` A6DDL
C’est a` cette famille qu’appartiennent les PKM de type hexapode a` 6 DDL. On recense la Variax de Giddings and Lewis (Fig. 2.14), la CMW300 de la Compagnie M´ecanique des Vosges, la Tornado 2000 de Hexel, la Mikromat 6X de Mikromat/Fraunhofer IWU, l’Hexapode OKUMA et l’Hexapode G500 de Geodetic. Avec 6 DDL, la rotation autour de l’axe de la broche est inutile, il y a donc redondance d’actionnement.
La Variax poss`ede un grand volume de travail (700mm × 700mm × 750mm). Cependant, les performances de la machine ne sont pas les mˆemes dans tout l’espace de travail.
La machine 6X de Mikromat (Fig. 2.15), con¸cue pour l’UGV 5 axes de pi`eces en acier et fonte, est assez lente (avances 30 m.min−1, acc´el´erations 10 m.s−2) compar´ee a` ses concurrentes a` structure parall`ele ou mˆeme s´erielle. De plus, son encombrement est trop important par rapport a` son espace de travail utile (encombrement : 6200mm × 5400mm × 4000mm, espace de travail : 630mm × 630mm × 630), et lorsque l’on s’´eloigne du centre de l’espace de travail, les capacit´es d’orientation de la tˆete diminuent jusqu’`a atteindre seulement +/- 15 degr´es.
L’architecture cin´ematique de type hexapode ´etant la premi`ere a` avoir ´et´e utilis´ee industriel-lement, sa conception a fait l’objet de nombreux travaux, ce qui explique que son application a` l’usinage ait ´et´e la premi`ere a` avoir ´et´e ´etudi´ee par les constructeurs. Les 6 jambes des hexa-podes sont en g´en´eral faites de composants identiques, ce qui peut aider a` diminuer le coˆut de la machine.
L’Hexapode CMW300 est pr´evue pour ˆetre mont´ee sur une al´eseuse fraiseuse, ce qui permet de compenser un des inconv´enients des PKM : la petite taille de l’espace de travail. La structure porteuse autorise en effet de grands d´eplacements dans un plan. La tˆete hexapode (Fig. 2.16) usine par exemple chaque partie d’un moule, selon une technique dite de mailles : la tˆete est plac´ee au centre d’une maille, usine une partie du moule, puis est d´eplac´ee au centre d’une autre maille pour poursuivre le travail, et ainsi de suite. La rigidit´e de la machine support et la qualit´e de la liaison entre la tˆete et son support jouent un rˆole important dans la pr´ecision et la r´ep´etabilit´e. On remarque bien sur la Fig. 2.16 que les moteurs actionnant les vis a` billes sont plac´es sur la partie mobile de la jambe.
• ` A5DDL
La PKM P800 de Metrom poss`ede 5 DDL et un plateau tournant pour augmenter le d´ebattement angulaire (Fig. 2.17). Les moteurs sont travers´es par une vis qui est fix´ee a` la broche au moyen de liaisons pivot.
La PKM Seyanka de Tekniker poss`ede 5 DDL (Fig. 2.18). Son volume de travail a une forme parall´epip´edique ce qui est int´eressant pour l’usinage de pi`eces prismatiques.
PKM dont la longueur des jambes est fixe
Dans cette famille, ce sont les pieds des jambes qui se d´eplacent grˆace a` des des liaisons prismatiques ou rotatives fix´ees sur le bˆati. Cette solution est int´eressante pour les PKM car le placement des actionneurs sur le bˆati permet de r´eduire la masse en mouvement. D’autre part ce type d’architecture favorise l’utilisation de moteurs lin´eaires pour augmenter les performances dynamiques.
• A6DDL
Un repr´esentant de cette famille a` 6 DDL est la PKM de type hexaglide de l’ETH de Z¨urich dont les liaisons prismatiques sont toutes coplanaires et parall`eles (Fig. 2.19). C’est la version “jambes de longueur fixe” de la PKM hexapode. Il est possible d’utiliser des moteurs lin´eaires.
Cette architecture particuli`ere permet d’obtenir une longue course selon l’axe des liaisons actionn´ees, ce qui est int´eressant pour l’usinage de pi`eces longues. Ce principe de conception est proche de celui employ´e par CMW pour l’Hexapode 300.
Diff´erentes architectures de type hexaglide existent. On recense la machine HexaM qui poss`ede trois paires de liaisons prismatiques parall`eles mont´ees sur un cˆone vertical [Toyoama 98] (Fig. 2.20). C’est une machine rapide (avances jusqu’`a 100 m.min−1, acc´el´erations de 10 a 20 m.s−2) et pr´ecise.
PKM redondantes
La machine cor´eenne Eclipse 1 de Sena Technologies est une PKM 6 axes a` 8 actionneurs donc a` redondance d’actionnement [Ryu 98] (Fig. 2.21). Cette PKM est bas´ee sur un m´ecanisme original qui autorise une rotation continue de la plate-forme de 360 degr´es autour de l’axe Z, et un d´ebattement de +/- 90 degr´es autour des axes X et Y (Fig. 2.22). Une version 2 de l’Eclipse est pr´esent´ee dans [Kim 02]. Dans cette version, les trois rotations ont un d´ebattement angulaire de 360 degr´es (Fig. 2.21).
PKM hybrides
La machine Hexabot de la soci´et´e Hexel est une plateforme hexapode qui sert de support mobile de pi`ece. Elle se combine a` une fraiseuse coud´ee fixe pour former une machine pa-rall`ele 5 axes d’architecture main droite/main gauche (Fig. 2.23). Les performances ne sont pas ´epoustouflantes, mais l’int´erˆet est de r´eutiliser un vieux mat´eriel : la fraiseuse coud´ee, souvent utilis´ee par des artisans. On peut utiliser l’ensemble pour du prototypage rapide de moules, ou pour tester des programmes CN.
Il existe des PKM a` architecture hybride a` 5 DDL comme le Tricept de Neos Robotics [Neumann 88] (Fig. 2.24). Cette PKM poss`ede un poignet s´eriel a` deux rotations mont´e sur un tripode a` cin´ematique parall`ele a` jambes de longueur variable, avec une jambe passive. Ce porteur parall`ele a` jambe passive poss`ede les trois DDL des coordonn´ees sph´eriques (2 rotations, 1 translation) [Siciliano 99]. Le Tricept, associ´e a` la CN Sinumerik 840D de Siemens, atteint des vitesses allant de 24,000 a` 30,000 tr.min−1 pour la broche, 90 m.min−1 pour les avances et des acc´el´erations de 20 m.s−2. Le Centre d’Usinage a` architecture modulaire est utilis´e pour des op´erations d’usinage a` grande vitesse tandis que le m´ecanisme seul est utilis´e pour du soudage par friction par exemple.
L’Orthoglide 5 axes utilise par contre un porteur parall`ele de type Delta lin´eaire sur lequel est mont´e un poignet parall`ele sph´erique a` 2 DDL de type oeil agile [Gosselin 96] (Fig. 2.25).
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Table des matières
1 Introduction
2 Conception de machines-outils `a cin´ematique parallele
2.1 Notions importantes en robotique parall`ele
2.1.1 Pr´eliminaires
2.1.2 La matrice Jacobienne (cin´ematique)
2.1.3 La dext´erit´e
2.1.4 Les Facteurs d’Amplification de Vitesse
2.1.5 Singularit´es
2.1.5.1 Les singularit´es classiques
2.1.5.2 Les singularit´es de contrainte
2.1.6 Modes d’assemblage et de fonctionnement
2.1.7 Espace de travail
2.1.8 Manipulateurs pleinement parall`eles
2.1.9 Redondance
2.1.10 Manipulateurs hybrides
2.2 Application des m´ecanismes parall`eles ` a l’usinage
2.2.1 Limites des machines outils classiques
2.2.2 Etat ´ de l’art des PKM poss´edant plus de 3 DDL
2.2.2.1 Pr´eambule
2.2.2.2 PKM dont la longueur des jambes varie
2.2.2.4 PKM redondantes
2.2.2.5 PKM hybrides
2.2.3 Les PKM ` a 3 DDL en translation
2.2.3.1 Pr´eambule
2.2.3.2 Les TPM lin´eaires
2.2.3.3 Les TPM lin´eaires isotropes
2.2.3.4 Les TPM ` a jambes de longueur variable
2.2.3.5 Les TPM de type Delta
2.2.3.6 Conclusions
2.2.4 Avantages et inconv´enients des PKM
2.2.4.1 Avantages
2.2.4.2 Inconv´enients
2.2.4.3 Solutions possibles pour pallier les inconv´enients des PKM
2.2.4.4 Conclusions
2.3 Synth`ese de m´ecanismes parall`eles
2.3.1 Introduction
2.3.1.1 Donn´ees du probl`eme
2.3.1.2 Une approche globale est n´ecessaire
2.3.1.3 Exemples d’approches globales
2.3.1.4 Conclusion
2.3.2 Synth`ese structurelle
2.3.2.1 G´en´eralit´es
2.3.2.2 Principes
2.3.2.3 Utilisation de la th´eorie des visseurs
2.3.2.4 Utilisation du groupe de Lie des d´eplacements
2.3.3 Synth`ese g´eom´etrique
2.3.3.1 Introduction
2.3.3.2 A` partir d’un indice cin´etostatique
2.3.3.3 A` partir d’un indice cin´etostatique et du volume de de l’espace de travail
2.3.3.4 A` partir d’une mesure de la rigidit´e et du volume de l’espace de travail
2.3.3.5 A` partir d’un volume inscrit dans de l’espace de travail
2.3.3.6 A` partir d’un volume de travail prescrit
2.3.3.7 A` partir de la raideur
2.3.3.8 Conclusion
2.4 Indices de performance pour l’´evaluation et la comparaison de PKM
2.4.1 La comparaison de PKM
2.4.2 Comparaison des indices de performance existants
2.4.3 L’empreinte au sol d’une PKM
2.4.4 Conclusion
2.5 Un crit`ere de performance fondamental : la pr´ecision
2.5.1 Introduction
2.5.2 Etalonnage ´ g´eom´etrique
2.5.3 Analyse de sensibilit´e pour la synth`ese de tol´erances
2.5.4 Prise en compte de la d´eformation des membrures
2.5.4.1 Introduction
2.5.4.2 Mod´elisation par El ´ ´ements Finis
2.5.4.3 Mod`ele de rigidit´e cin´ematique avec membrures rigides
2.5.4.4 Mod´elisation de la flexibilit´e des membrures
2.6 Conclusions
3 Evaluation des PKM `a translations avec des indices cinetostatiques
3.1 Optimisation topologique de l’Orthoglide
3.1.1 Le projet
3.1.2 Optimisation de l’architecture
3.1.3 D´etection et ´elimination des singularit´es internes
3.1.4 Orientation des parall´elogrammes
3.1.5 Analyse statique du parall´elogramme aplati
3.2 Une notion nouvelle : l’Espace de travail Dextre R´egulier
3.2.1 Notion intuitive
3.2.2 Passage d’un EDA ` a un autre
3.2.3 D´efinition formelle de l’EDR
3.2.4 D´efinition de nouveaux indices de performance
3.3 Calcul du volume de l’espace de travail dextre r´egulier
3.3.1 Pr´eliminaires
3.3.2 Calcul de l’EDR en discr´etisant l’espace de travail
3.3.3 Calcul de l’EDR en utilisant l’analyse par intervalles
3.3.3.1 Pr´eliminaires
3.3.3.2 Description de la m´ethode
3.4 Evaluation des performances d’une PKM plane ` a translations
3.4.1 D´efinition des facteurs d’amplification de vitesse
3.4.2 Choix des bornes sur les FAV
3.4.3 Choix de la forme de l’EDR
3.4.4 Choix de l’orientation de l’EDR
3.5 Ev ´ aluation des performances de PKM spatiales ` a translations
3.5.1 Mod`ele cin´ematique de la famille de l’Orthoglide
3.5.2 Ev ´ aluation des performances de l’Orthoglide pour des EDR cubique, cylindrique, sph´erique
3.5.3 Ev ´ aluation des performances de l’Orthoglide lorsque la longueur d’une jambe varie
3.5.4 Comparaison de l’Orthoglide avec d’autres PKM ` a translations
3.5.4.1 Comparaison de l’Orthoglide avec l’UraneSX en utilisant l’analyse par intervalles
3.5.4.2 Comparaison de l’Orthoglide avec d’autres PKM ` a translations
3.5.5 Ev ´ aluation d’une PKM ` a translations ` a liaisons actionn´ees rotatives : le robot Delta
3.6 Notion d’EDR prenant en compte la direction de d´eplacement
3.6.1 Pourquoi prendre en compte la direction de d´eplacement
3.6.2 D´efinition et d´etermination de l’EDR directionnel
3.6.3 D´etermination de la validit´e d’un point de l’EDR directionnel
3.7 Nouveaux indices de performances bas´es sur la notion d’EDR
3.8 R´esultats interm´ediaires
3.9 Conclusion
4 Analyse parametrique de la rigidite de l’Orthoglide
4.1 Introduction
4.1.1 Choix de la m´ethode de rigidit´e
4.1.2 Continuit´e de la d´emarche d’analyse des PKM ` a translations
4.2 Mod´elisation flexible de l’Orthoglide
4.2.1 Param´etrage
4.2.2 Localisation des liaisons ´elastiques virtuelles
4.2.3 Calcul des raideurs des liaisons ´elastiques
4.2.3.1 Calcul de la raideur k2 du pied en flexion due ^ ` a la force F
4.2.3.2 Calcul de la raideur k3 du pied en flexion due ^ au couple T
4.2.3.3 Calcul de la raideur k4 du pied en torsion due ^ au couple T
4.2.3.4 Calcul de la raideur k5 du pied en traction/compression due ^ ` a l’effort F
4.2.3.5 Calcul de la raideur k6 de la rotation de section du pied due ^ au couple T
4.2.3.6 Calcul de la raideur k9 des barres du parall´elogramme sollicit´ees en traction/compression par la force F transmise par la jambe
4.2.3.7 Calcul de la raideur k11 du parall´elogramme en tension diff´erentielle due ^ au couple T
4.2.4 Analyse de l’influence de l’hyperstatisme
4.3 Calcul symbolique de la matrice de raideur
4.3.1 Mod´elisation cin´ematique d’une jambe
4.3.2 Elimination ´ des variables passives
4.3.3 Calcul de la matrice de raideur
4.4 Analyse de l’influence individuelle des liaisons ´elastiques et simplification du mod`ele136
4.4.1 Int´er^ets d’une telle analyse
4.4.2 Choix d’un EDR
4.4.3 Rigidifier une liaison ´elastique virtuelle
4.4.4 Influence individuelle de chaque liaison ´elastique
4.4.5 Nouveau mod`ele de jambe flexible
4.5 D´ecomposition en cascade des expressions symboliques
4.6 Analyse param´etrique de la complaisance
4.6.1 Dans la configuration isotrope
4.6.1.1 Expressions symboliques simples
4.6.1.2 Analyse qualitative
4.6.1.3 Analyse quantitative
4.6.1.4 Couplage raideur/dynamique
4.6.2 Dans l’espace de travail dextre r´egulier
4.6.2.1 Choix d’une zone de contr^ ole
4.6.2.2 Observation des κij le long de l’axe (Q1Q2)
4.6.3 Observation de κ44 dans tout l’EDR
4.7 Influence sur la rigidit´e de la variation simultan´ee de deux parametres
4.8 Influence de la longueur LB3 des barres de la jambe verticale
4.9 Analyse des d´eplacements compliants de l’outil
4.9.1 Calcul des d´eplacements compliants
4.9.2 Exemple d’une d´ecomposition en cascade d’un d´eplacement
4.9.3 Choix d’une zone de travail en fonction de la t^ ache
4.10 Comparaison du mod`ele de rigidit´e avec des mesures, avec un mod`ele ´el´ements finis
4.10.1 Mesure exp´erimentale de la raideur
4.10.2 Avec un mod`ele ´el´ements finis
4.11 Conclusions
5 Conclusions
5.1 Etat ´ de l’art de la conception de PKM
5.2 Contributions Franco-Qu´ebecoises ` a la conception de PKM
5.2.1 Contexte g´eoscientifique de la th`ese
5.2.2 Proposition d’une d´emarche pour l’analyse et la conception de PKM ` a translations
5.3 Perspectives
Bibliographie
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