(In-)validation de modèles de systèmes incertains

La réalité physique d’un système est toujours complexe, avec en général des comportements non linéaires et non stationnaires. Dans le cas où il peut être décrit par des équations dynamiques, ces dernières dépendent de paramètres dont la valeur est souvent mal connue ou évolue au cours du temps.

La plupart des méthodes d’analyse des systèmes et de synthèse de lois de commande permettant de lui assurer de « bonnes » propriétés sont fondées sur l’exploitation d’un modèle mathématique. Celui-ci peut être issu, soit des équations physiques reflétant notre compréhension des mécanismes mis en jeu, soit d’une procédure d’identification du comportement entrée/sortie du système. Cependant, un système physique ne pourrait jamais être modélisé exactement par un modèle mathématique; nous avons toujours quelques incertitudes sur le comportement du système physique et celles ci ne peuvent pas être capturées dans notre modèle. L’écart entre le système et son modèle nominal peut provenir de deux sources : les incertitudes du modèle, et entrées inconnues que l’on désigne tout simplement par un bruit. Ces deux sources d’écart peuvent être incluses dans le modèle mathématique.

Les incertitudes du modèle sur le système physique seront représentées dans un composant inconnu noté ∆ . Plusieurs hypothèses sur ce bloc d’incertitude sont possibles. Dans le cas le plus général, ∆ est un opérateur borné. Alternativement ∆ peut être considéré comme un multiplicateur linéaire variant dans le temps. Cette hypothèse peut être utilisé pour capturer les effets non linéaires qui déplacent l’énergie entre les fréquences. L’analyse et la synthèse sont possibles avec cette hypothèse; Doyle et Packard [DoyP87] discutent les implications de cette hypothèse sur la théorie de commande. Dans cette thèse nous nous limiterons à l’hypothèse que ∆ est un système inconnu, borné en norme, linéaire–invariant dans le temps. D’un point de vue fréquentiel, ∆ sera caractérisé par une matrice complexe constante inconnue à chaque fréquence d’une norme bornée.

Les incertitudes de modèle sont de provenances multiples, on peut notamment citer :

• Les dynamiques non modélisées à cause d’une difficulté pour les identifier. Par exemple les dynamiques hautes fréquences.
• Les dynamiques connues mais elles sont volontairement négligées dans l’écriture du modèle afin de le simplifier. En effet, comme la complexité du contrôleur dépend de l’ordre du modèle nominal, l’ingénieur peut ne pas souhaiter inclure explicitement toutes les dynamiques connues alors il les introduit dans ∆ .
• Les incertitudes sur la valeur des paramètres physiques dans les équations différentielles du modèle. Par exemple, les constantes de linéarisation qui peuvent varier au delà de la plage de fonctionnement.

Elles seront évoquées sous les appellations respectives de : incertitudes non paramétriques et incertitudes paramétriques.

Chaque perturbation différente ∆ , donne un modèle de système légèrement différent. Le modèle complet de système incertain est donc une description de l’ensemble et nous espérons que quelques membres de cet ensemble décrivent la réalité de notre système physique. Donc, un modèle d’étude unique est en général trop restrictif : il est plus raisonnable de considérer un ensemble de modèles permettant d’englober les éléments incertains et non stationnaires. Utiliser l’ensemble de modèles, plutôt qu’un seul modèle nominal, permet la procédure de (in-)validation de modèle étudiée dans cette thèse, de sélectionner le meilleur modèle dans l’ensemble de modèles, celui qui présente la plus petite perturbation et donc concevoir un contrôleur robuste aux erreurs de modélisation.

Les ensembles de modèles que nous allons considérer dans cette thèse sont ceux formés à partir d’une représentation linéaire fractionnaire notée LFT. En effet, cette représentation LFT permet de décrire les écarts entre le comportement nominal et le comportement réel du procédé, en considérant que l’ensemble de modèles associé peut être décrit par un modèle nominal noté P s nom ( ) et une matrice ∆(s ) supposée bornée. Où ∆( )s rassemble toutes les incertitudes prises en compte dans le modèle. Bien que la structure LFT soit plus générale (certaines non linéarités peuvent en effet être incorporées dans le bloc d’incertitude [EiSc96]), nous nous restreindrons dans ce mémoire au cas particulier des systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI).

D’une façon générale, en automatique, un modèle nominal est une représentation approchée de la réalité physique des systèmes, à partir de laquelle on peut aborder un certain nombre de problèmes pratiques. Le but de toute procédure d’identification est, à partir d’un ensemble de données issues d’observations, la recherche du meilleur modèle, résultat d’un compromis entre sa précision et sa simplicité, compte tenu de l’utilisation finale qui en sera faite. D’autre part, l’utilisateur aura pleine confiance en son modèle si celui-ci présente de façon adéquate la réalité physique, c’est-à-dire si les propriétés démontrées sur le modèle restent vraies pour le système réel. Cependant, la qualité d’un modèle n’est pas simplement fonction de sa capacité à décrire de manière plus ou moins parfaite le système qu’il représente. Il doit également être suffisamment simple pour pouvoir être exploitable aux techniques d’analyse et de synthèse du modèle.

La théorie de la commande robuste donne maintenant à l’ingénieur la puissance de décrire les systèmes physiques avec un modèle qui inclut les deux types d’incertitude, bruit additif et bloc d’incertitude, de norme bornée entrant dans le modèle d’une façon fractionnaire linéaire, tandis que l’identification classique [Lju99] suppose que toutes les sources d’incertitudes sont relatives aux entrées inconnues. Or, d’un point de vue de la commande, les entrées inconnues ne peuvent pas déstabiliser une boucle fermée alors que les dynamiques inconnues le peuvent. Ceci a gêné l’application des méthodes de la commande robuste aux problèmes pratiques. Les modèles de la commande robuste peuvent capturer cette caractéristique, essentiellement étant capable d’inclure les dynamiques non modélisées mais bornées. D’où la nécessité d’avoir un modèle de cette source d’erreur lors de la synthèse d’un régulateur.

Table des matières

Remerciement
Résumé
Abstract
Liste des publications
Chapitre 1 – Introduction générale
1.1. Introduction
1.2. Contexte de la thèse
1.3. Problématique
1.4. Objectif de la thèse
1.5. Validation ou invalidation ?
1.6. Organisation de la thèse
Chapitre 2 – Notations et définitions
2.1. Introduction
2.2. Notations Algébriques
2.3. Acronymes
2.4. Normes des signaux et des systèmes
2.4.1. Norme 2
2.4.2. Norme ∞
2.5. Structure générique du problème de validation de modèle
2.6. Conclusion
Chapitre 3 – Modélisation des systèmes incertains
3.1. Introduction
3.2. Systèmes incertains
3.3. Ensemble de modèles pour les systèmes incertains
3.4. Exemple illustratif
Table des matières viii
3.5. Exemples d’ensemble de modèles
3.6. Modélisation des systèmes incertains par transformation linéaire
fractionnaire
3.6.1 Définition d’une Transformation fractionnaire linéaire
3.6.2 Algèbre des LFT’s
3.7. Modélisation des incertitudes paramétriques
3.8. Modélisation des incertitudes non structurées
3.8.1 Incertitudes non structurées additives
3.8.2 Incertitudes non structurées multiplicatives
3.8.3 Incertitudes scalaires complexes
3.8.4 Incertitudes multiformes
3.9. Matrice d’incertitude générale ∆
3.10. Modèle général pour le problème de validation de modèle
3.11. Conclusion
Chapitre 4 – Etat de l’art
4.1. Introduction
4.2. Identification
4.3. Problème de la commande
4.4. Interaction entre l’identification et la commande
4.5. Validation de modèle
4.5.1. Domaine fréquentiel
4.5.2. Domaine temporel
4.6. Conclusion
Chapitre 5 – Validation de modèle de systèmes incertains
5.1. Introduction
5.2. Etude préliminaire
5.3. Normalisation du problème
5.4. Validation de modèle pour la structure LFT
5.5. Problème générique de validation de modèle
5.6. Première approche du problème de validation de modèle
5.7. Optimisation convexes : Les Inégalités Matricielles Affines
5.8. Résolution du problème par le formalisme LMI
5.9. Deuxième approche du problème de validation de modèle
5.10. Généralisation des valeurs singulières structurées
5.10.1 Définition équivalente de la valeur singulière structurée
5.10.2 Définition de la valeur singulière structurée généralisée
5.11. Application de µg au problème de validation de modèle
5.11.1 Construction de la matrice complexe
5.11.2 Application au problème de validation de modèle
5.12. Evaluation de la fonction µg
5.12.1 Formulation de la borne supérieure de µg comme un LMI
5.12.2 Valeurs singulières structurées généralisées en présence des
incertitudes paramétriques réelles
5.12.3 Borne inférieure pour µg
5.12.4 Formulation comme un problème µ standard
5.13. Récapitulatif
5.14. Extension à la structure générale du modèle générique
5.15. Conclusion
Chapitre 6 – Applications
6.1. Introduction
6.2. Exemple illustratif
6.3. Application au système de trois cuves
6.3.1. Description du procédé
6.3.2. Modélisation
6.3.3. Identification par l’expérience
6.3.4. Système à un seul réservoir
6.3.5. Système à trois réservoirs
6.4. Conclusion
Conclusion générale

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