Importance du changement de registre en mathématiques: changements de registre dans le cadre des fonctions

Mon étude a pris forme en classe lorsque mes élèves de Seconde ont rencontré des difficultés pour convertir une représentation graphique en tableau et que mes collègues de Première m’ont indiqué que cette difficulté perdurait en classe de Première. Le problème est que cela semble montrer une incompréhension du sens de ces représentations et de la notion de fonction.

La précision du sujet de l’écrit réflexif a été difficile en raison de la confusion entre cadre et registre chez les enseignants et les chercheurs. Selon les articles, les notions de cadres et registres sont mélangées et leur distinction est donc assez floue. C’est le cadre d’analyse de Raymond Duval (1993) avec des apports de la dialectique outil-objet de Régine Douady (1986) qui ont permis de fixer les définitions de ces deux termes.

Analyse théorique des changements de registre

La première partie de cette étude consiste en une analyse théorique des changements de registre, basée surtout sur le cadre théorique de Duval (1993) et spécifiée sur le domaine des fonctions. Cette partie débute par une analyse des différents changements de registres, se poursuit par une analyse de leur importance et se termine par une exposition de la façon d’analyser les activités et les processus cognitifs associés à ces changements de registres. Les deux premières parties s’appuient sur « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée » de Duval (1993) la troisième partie s’appuie quant à elle sur “Comment décrire et analyser l’activité mathématique ? Cadres et registres” de Duval (2001). La partie sur l’importance des registres intégrera aussi une analyse de la compétence « Représenter » en mathématiques d’Eduscol, 2016.

Différence registre / cadre

Avant d’analyser les changements de registre, il a fallu reprendre les définitions de cadre et de registre, qui sont souvent mêlées et confondues dans les textes.

Pour établir ces définitions, l’étude s’est appuyée sur l’article sur les cadres et registres de Raymond Duval de 1993. Le cadre est alors défini comme « un ensemble de concepts susceptibles d’être organisés en une progression théorique ou une branche des mathématiques » tandis que le registre de représentation sémiotique est un système « producteur d’un type de représentations, et dont la production peut répondre à des fonctions cognitives différentes. ». Un registre de représentation doit permettre trois activités cognitives. La première est la formation d’une représentation identifiable répondant à des règles données, par exemple que (9-3)*5 et 9-3*5 représentent deux nombres distincts. La deuxième activité cognitive est le traitement d’une représentation dans son registre, le calcul étant par exemple une forme de traitement des écritures symboliques. La troisième et dernière activité cognitive est la conversion d’une représentation : on doit pouvoir transformer une représentation en celle d’un autre registre, par exemple passer de l’écriture décimale à l’écriture fractionnaire.

La dialectique outil-objet de Régine Douady (1986) nous apporte également des éléments intéressants pour définir cadre et registre d’un point de vue outilobjet. Un cadre serait alors identifié par ses objets, les relations qu’ils entretiennent et les types de représentations qu’ils mobilisent, il serait « constitué des objets d’une des branches mathématiques, des relations entre les objets, de leurs formulations éventuellement diverses et des images mentales associées à ces objets et ces relations. ». Cette dialectique outil-objet trouve un reflet dans l’étude de Duval (1993) avec le rapport « noesis »- « semiosis ». La Noesis serait l’appréhension d’un objet et la Semiosis serait l’appréhension d’une représentation (ou d’un outil) et on ne pourrait les séparer.

Le changement de cadre est donc distinct du changement de registre appelé « conversion de représentation » par Duval (1993). Le changement de cadre consiste à « traduire un problème dans un domaine de travail autre que celui que la première présentation du problème permet d’identifier. » tandis que le changement de registre consiste en le passage par exemple « d’une figure à un énoncé, ou d’un énoncé en français à une formule algébrique ». Il peut donc y avoir des changements de registre sans qu’il y ait changement de cadre mathématique. Ces définitions mises en place, le sujet de l’écrit réflexif s’est ensuite focalisé uniquement sur les changements de registre.

Différents changements de registre et types de reconnaissances 

Le changement de registre est appelé « conversion de représentation » par Duval (1993). Il conserve la référence de la représentation de départ mais permet de changer d’unité de représentation, afin d’accéder à des traitements moins coûteux dans le registre d’arrivée et d’expliciter d’autres propriétés de l’objet. Il n’est pas nécessairement total, c’est-à-dire qu’il peut ne conserver qu’une partie des informations. En effet, dans la conversion du registre algébrique au registre numérique par exemple, on passe d’un registre où il est possible de calculer l’ensemble des valeurs de la fonction sur son ensemble de définition, à un registre ne donnant à accès qu’à un nombre fini et restreint de couples (antécédents, images) de cette fonction. La suite de cette sous-partie explicite les différents types de changements de registre, au regard de l’étude « Comprendre et analyser cadres et registres » de Duval (2001). Les types de registres mobilisés par un changement de registre définissent un type de conversion. Les changements de registres dans le domaine des fonctions font donc appel à des procédés cognitifs différents, selon que l’on doive convertir du registre algébrique au registre numérique ou du registre graphique au registre numérique ou encore du registre algébrique au registre graphique par exemple. La distance cognitive est alors différente pour chacun de ces changements.

De plus, les changements de registre peuvent être, selon Duval, « congruents » : c’est-à-dire que les représentations dans le registre de départ et dans le registre d’arrivée sont équivalentes, on ne perd pas d’information en effectuant le changement de registre et on peut revenir à la représentation dans le registre de départ par traduction de celle dans le registre d’arrivée. Dans le cas contraire ils sont dits « non-congruents ». Par exemple, la conversion du registre algébrique (formule algébrique d’une fonction) au registre numérique (tableau de valeurs) est non congruente car il n’y a pas de « correspondance sémantique des éléments signifiants ». En effet, un tableau de valeurs peut correspondre à plusieurs fonctions. Plus la non-congruence est forte et plus la conversion est complexe.

Une fois les différents types de changements de registres décelés, il faut comprendre que ceux-ci apparaissent de différentes formes dans les énoncés : ils peuvent nécessiter une reconnaissance « proactive » ou « rétroactive » selon que le changement de registre soit à opérer et à deviner par l’élève (changement proactif) ou que l’élève ait à associer des représentations dans plusieurs registres (changement rétroactif). Une reconnaissance « rétro-active » sera généralement plus aisée à réaliser pour un élève qu’une reconnaissance « proactive». Aussi les changements de registre peuvent être de types différents et ainsi aboutir à des démarches cognitives plus ou moins complexes.

Importance des changements de registre

Selon Duval, il est nécessaire de distinguer objet et représentation car sinon, les élèves perdent tout le sens de ce qu’est l’objet. Il faut alors prendre en considération que noesis (appropriation d’un objet) et sémiosis (appropriation d’une représentation sémiotique) sont indissociables. Il y a alors trois types d’activités liées à la sémiosis, devant respecter les règles internes du registre : la construction d’une représentation, la conversion (transformation dans un autre registre) et le traitement (transformation dans le même registre). D’après Duval, la conversion n’est pas présente en général dans l’enseignement car considérée comme allant de soi une fois que les représentations sont acquises. On vérifiera cela dans la séquence qui a été proposée. Cependant, cette conversion est nécessaire afin de comprendre l’objet.

Par ailleurs, l’existence de différents registres est indispensable car chaque registre ne permet qu’un accès partiel aux caractéristiques de l’objet. Et ainsi, l’articulation entre les différents registres assure un accès à la compréhension de l’objet. On verra comment cela a été introduit dans la séquence sur les fonctions. L’importance des changements de registre est aussi évoquée dans le document « Cycle 4, Mathématiques, Compétence Représenter » (MEN 2016), dans la description de la compétence « Représenter ». Il est souligné que représenter est nécessaire quand on s’intéresse aux objets mathématiques qui ne sont pas accessibles dans le monde extérieur mais seulement par des représentations. Ces représentations peuvent appartenir à différents registres : graphique ou algébrique notamment. D’après ce document, comprendre ce qu’est une fonction, c’est savoir la représenter, mais aussi savoir varier les représentations et les registres de représentation. Pour s’assurer qu’une représentation est bien comprise par un élève, il est nécessaire de lui faire changer de représentation, par exemple en lui faisant verbaliser ce qu’il a représenté. Une fois que les changements de registres ont bien été appréhendés par les élèves, il peut être intéressant de leur faire réaliser ces changements de registres avec les outils numériques : passage de la formule algébrique à la représentation graphique ou à un tableau de valeurs sur un logiciel tel que Geogebra, ou du tableau de valeurs à une représentation graphique ou à une formule algébrique sur un tableur par interpolation.

Table des matières

Introduction
1. Analyse théorique des changements de registre
1.1. Différence registre / cadre
1.2. Différents changements de registre et types de reconnaissances
1.3. Importance des changements de registre
1.4. Analyse des activités et processus cognitifs liés à ces changements de registre
2. Analyse des difficultés des élèves à réaliser et appréhender les changements de registres
2.1. Analyse des activités et séquences
2.1.1. Activité 1 : le jeu des correspondances
2.1.2. Analyse des exercices et activités proposés en classe
2.1.3. Activité 2 : QCM sur les changements de registre
2.1.4. Analyse du manuel « Le livre scolaire mathématiques Seconde »
2.2. Résultats des élèves aux activités
2.2.1. Activité 1 : Jeu des correspondances
2.2.2. Activité 2 : QCM Changement de registre
3. Analyse des types d’activités rendant nécessaires les changements de registre et habituant donc les élèves à en faire
3.1. Types d’activités aidant les élèves dans cette habitude
3.2. Pistes d’amélioration de la séquence proposée pour améliorer l’appréhension des changements de registre
3.2.1. Propositions de modifications du cours
3.2.2. Propositions de modifications des exercices
3.2.3. Exercices suggérés par les trois types de tâches de Duval
3.3. Pistes pour les séquences sur les vecteurs et probabilités
3.3.1. Modes de représentation d’un vecteur
3.3.2. Modes de représentation d’une loi de probabilité
Conclusion
Bibliographie
Annexes
Annexe 1 – Jeu des correspondances
Annexe 2 – QCM sur les changements de registre
Annexe 3 – Résultats QCM
Annexe 4 – Exercices proposés dans la séquence
Annexe 5 – Activité-cours conversion
Annexe 6 – Exercice Variations comparatives et représentations
Annexe 7 – Dans quel registre traite-t-on une information ?

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