Implémentation numérique de la formulation anisotrope 

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Les éléments d’alliages

A l’état naturel, la cristallographie du titane peut, en fonction de la température, se distinguer entre une phase α et une phase β. La température de transition entre les deux phases est 882˚C. L’ajout d’éléments d’alliage peut modifier la structure cristallographique de quatre manières différentes, et ainsi privilégier l’apparition d’une microstructure par rapport à une autre, comme par exemple :
– des éléments peuvent être neutres vis à vis du titane, tel le zirconium et le zinc.
La structure cristallographique n’est donc pas modifiée (Fig. I.4).
– des éléments peuvent jouer le rôle de stabilisateur pour la phase α, tel l’aluminium, l’oxygène, l’azote, et le carbone. On observe la création d’une nouvelle phase α+β (Fig. I.5). Ces éléments sont appelés alphagènes.
– des éléments d’ajout peuvent stabiliser la phase β, par une réaction isomorphe où la phase la plus présente est la structure cubique centrée (Fig. I.6). Ceux-ci sont le vanadium, le molybdène, et le tantale, éléments d’ajouts dénommés par le terme bétagènes isomorphes.
– des éléments permettent la stabilisation de la phase β, par une réaction eutectique, avec l’apparition de deux nouvelles phases (Fig. I.7). On trouve parmi ceux-là le fer, le manganèse, le nickel, le cuivre …, dénommés bétagènes eutectoïdes
Les éléments d’alliage permettent donc de définir une structure cristallographique, qui permet de classer les différentes nuances d’alliages de titane.

Les classes d’alliage de titane

On distingue trois grands types d’alliages de titane en fonction de leur composition et de la température de transformation martensitique complète Ms (Fig. I.8) :
– les alliages α sont très intéressants pour une utilisation à haute température, mais peu sensibles aux traitements thermiques. Ils contiennent une forte addition d’éléments alphagènes. On peut distinguer les titanes dits commercialement purs, où l’on trouve en majorité du fer et de l’oxygène et les alliages α avec des faibles résidus de phase β.
– les alliages biphasés α + β sont composés à la fois d’éléments alphagènes et bétagènes. Leur microstructure est fortement dépendante de la composition et du mode de refroidissement. Ils offrent un bon compromis entre les propriétés mécaniques et une meilleure sensibilité aux traitements thermiques que les alliages composés principalement de phase α. Cependant, ils deviennent instables au-delà d’une température de 450˚C.
– les alliages β dont la majorité est composée de phase β métastable, obtenue par un refroidissement rapide sans précipitation de phase. Ils possèdent des caractéristiques mécaniques plus élevées.

Propriétés physiques généralités

Les alliages de titane sont utilisés dans les différents domaines cités précédemment grâce à des propriétés physiques qui leur permettent de couvrir plusieurs domaines. Tout d’abord, leur rapport densité/résistance mécanique permet d’obtenir des gains de poids conséquents pour un comportement mécanique, permettant de répondre au même cahier des charges. Cependant, cet avantage est contrebalancé par un coût d’achat élevé. La température de fusion plus élevée pour le titane (aux alentours de 1000˚C) que l’aluminium (environ 650˚C), son principal concurrent pour la construction des structures légères, lui procure un net avantage pour les applications à partir des températures avoisinant 150˚C. La température limite d’utilisation d’un alliage de titane est d’environ 600˚C pour les alliages les plus résistants thermiquement.
La résistance à la corrosion des alliages de titane est bien connue, mais cette propriété ne provient pas du titane intrinsèque. Celui-ci possède un potentiel oxydoréducteur de -1,63V, proche de celui de l’aluminium. Intrinsèquement, on ne peut pas considérer le titane comme un métal noble. Son excellente résistance à la corrosion dans la plupart des environnements provient d’une réaction chimique, qui crée une fine couche protectrice. Si ce film protecteur est dégradé, ce qui peut arriver en conditions extrêmes (attaque d’acide), la corrosion apparaît et le matériau se dégrade rapidement.
La résistance au feu des alliages de titane est un avantage certain pour son utilisation dans les moteurs d’avion. On peut également noter une biocompatibilité du titane, d’où son utilisation dans le domaine biomédical, avec la fabrication de prothèses et d’autres accessoires chirurgicaux.

Les phénomènes de déformation des alliages de titane-α

L’élasticité de la phase α

Le caractère anisotrope de la structure cristalline de la phase α a des conséquences importantes sur le comportement élastique du titane et de ses alliages. Le module de Young peut varier entre 145 GPa, si la contrainte est appliquée selon l’axe þc, et 100 GPa, si la sollicitation mécanique est perpendiculaire à l’axe þc. Ces observations se retrouvent dans le module de cisaillement G, suivant que la contrainte de cisaillement est appliquée suivant le plan {11¯ 20} (module le plus élevé) ou suivant le plan {0002}. Une augmentation de la température fait décroître quasi linéairement les deux modules. Les propriétés élastiques des alliages de titane dépendent fortement de la direction de sollicitation. L’orientation des grains dans la tôle au début de la mise en forme sera donc importante et une forte inhomogénéité de la structure cristalline peut donner un matériau avec des propriétés mécaniques non homogènes en fonction de la zone d’utilisation. De plus, la maille hexagonale compacte, de par son empilement atomique est fortement anisotrope en élasticité et en plasticité.

Maclage

Le maclage est la séparation d’un cristal en deux entités distinctes avec des orientations différentes. La conséquence est l’apparition de deux cristaux, né d’un même grain, avec des propriétés différentes [Kocks98]. On peut distinguer trois phénomènes permettant la naissance de macle :
– la croissance cristalline
– les transformations de phases, durant laquelle les orientations et les symétries du cristal changent. Les macles naissent donc d’une opération mettant en jeu des phénomènes thermiques.
– les sollicitations mécaniques, qui permettent la naissance des macles.
On ne se préoccupera que des macles obtenues consécutivement à des actions mécaniques. Trois modes principaux de maclage sont observés dans les alliages de titane. Les données cristallographiques des macles sont explicitées dans la table I.4 et illustrées sur les figures I.14 à I.16. Le signe de la contrainte appliquée sur le grain avant le maclage dé- termine la forme de la macle. Le plan de glissement principal étant le plan prismatique, le maclage va favoriser celui-ci en réarrangeant l’orientation des structures hexagonales compactes, favorisant la colinéarité entre l’axe þc et la direction de la sollicitation.

Phénomènes microstructuraux sur le durcissement mécanique

Les différents phénomènes mis en jeu lors de la déformation des alliages de titane ont été présentés ci-dessus. De par sa structure cristalline, les orientations des grains ont une grande importance sur les modes de glissement et de maclage mis en jeu pour assurer la déformation appliquée. Le vecteur définissant l’orientation de la maille hexagonale compacte est l’axe þc. Battaini et al ont observé que le principal mode de déformation est le maclage [Battaini07] et concluent que la réorientation des cristaux par maclage est très importante et permet une plus grande déformation. Suivant l’orientation initiale dans l’échantillon, les sollicitations mécaniques appliquées pour obtenir la même déformation peuvent varier très fortement. On entrevoit bien dans ces observations le caractère anisotrope des alliages de titane, caractère qu’il faudra prendre en compte pour la modélisation macroscopique.
Dans le cadre du projet, des études microscopiques ont été menées par le LETAM de l’université Paul Verlaine de Metz [Lei]. Des échantillons de titane T40 ont été fortement déformés et des visualisations EBSD ont été exploitées. Leur conclusion sur le maclage dans les grains de ce matériau permet de comprendre comment celui-ci se déforme et l’importance de l’orientation de l’axe þc dans les modes de maclage actionnés :
– si les grains ont leur axe þc orienté dans la direction transverse, c’est-à-dire la direction perpendiculaire à la direction de laminage, aucun maclage n’est observé.
– les grains avec l’axe þc orienté dans la direction normale à la tôle subissent un maclage de compression {11¯ 22}.
– si les grains ont l’axe þc orienté dans la direction de laminage, alors le mode de maclage activé est le mode de traction {10¯ 12}
On peut donc représenter les modes de maclage sur une figure de pôle orientée par (0002) en fonction de l’orientation de l’axe þc (Fig. I.4). L’apparition de maclage secondaire dans le maclage primaire est observée si l’orientation de l’axe þc de la macle est dans une position instable. Dans ce cas là, l’orientation de la seconde macle va être stable. Ainsi, dans un grain, on peut donc observer un maclage d’ordre 2, c’est-à-dire l’apparition d’un maclage primaire suivi de la création d’une seconde macle dans le même grain. L’orientation finale est largement différente de l’orientation initiale. 

De la microstructure à la modélisation numérique

L’étude de la microstructure d’un matériau permet la mise en évidence des phénomènes physiques responsables du comportement plastique. La cristallographie et l’étude du maclage permettent le développement de modèles analytiques ou numériques. Ces derniers se classent en plusieurs catégories selon l’échelle considérée, de l’atome à la pièce industrielle (Fig. I.18). Les grandeurs mises en jeu au cours des différentes modélisations sont fonction de l’échelle envisagée, des interactions entre les atomes au comportement supposé homogène dans la tôle.
La dynamique moléculaire est l’étude des interactions entre les différents atomes dune maille cristalline. A partir d’un potentiel d’interaction et de la position théorique initiale des molécules, l’intégration de l’équation de mouvement permet le suivi des particules à partir d’une situation hors équilibre. Les résultats sont fortement dépendants de la forme du potentiel utilisé, qui modélisent la répulsion entre les noyaux atomiques et la contribution des électrons (Fig .I.19). Ce dernier dépend du matériau envisagé, le zirconium étant assez bien connu [Ackland07], mais le titane très peu pour l’instant, aucun potentiel fiable n’étant validé [Raulot]. Cette modélisation permet la comparaison des caractéristiques de la maille hexagonale, des énergies mises en jeu pour la création de défauts d’empilement, et des constantes élastiques. La caractérisation de lélasticité permet de mettre en évidence le caractère anisotrope du matériau induit par sa cristallographie.

De la microstructure à la modélisation numérique

La dynamique des dislocations permet la décorrélation des systèmes de glissement mis en jeu lors de la déformation plastique. Cette modélisation théorique permet la détermination des énergies d’activation des différents systèmes de glissement et permet d’établir une hiérarchie dans ces derniers [Wang09]. La dynamique des dislocations permet donc de prédire l’évolution d’une dislocation dans un grain et son influence sur le comportement plastique. La détermination des cissions critiques pour chaque plan de glissement permet de classer les plans principaux et de confirmer les observations expérimentales. Le maclage suivant dans la maille hexagonale compacte peut être aussi étudié par la dynamique des dislocations [Monnet04]. Le titane commercialement pur est, à ce jour, très peu modélisé, les efforts scientifiques s’étant plus portés sur le zirconium.
Les cissions critiques de glissement permettent l’utilisation de modèles polycristallins. Il s’agit donc d’une modélisation à l’échelle mésoscopique du comportement plastique, considérant un grain ou un volume élémentaire représentatif. Ces modèles permettent la détermination du comportement rhéologique global du matériau étudié et la réponse de ce dernier à des sollicitations mécaniques multiples (traction simple, cisaillement cyclique). Le modèle de Taylor [Fundenbergert97] ou des modèles autocohérents [Proust07] [Héripré07] permettent la prédiction d’orientations cristallines et de courbes rhéologiques. Tous ces modèles se basent sur les cissions critiques de glissement, déterminées soit expérimentalement, soit par la dynamique des dislocations. Les travaux existant sur les cristallographies cubiques doivent être adaptés à la maille hexagonale compacte pour permettre l’utilisation de modèle micromécanique pour les alliages de titane.
A l’échelle macroscopique, la prédiction numérique est réalisée par le biais de calcul éléments finis. Le comportement du matériau est modélisé par des lois phénoménologiques décrivant globalement la physique mise en jeu lors de la déformation plastique. Ces lois de comportement peuvent être caractérisées à partir des résultats d’une modé- lisation micromécanique [Rabahallah09b] ou de données issues de test expérimentaux. L’étude effectuée dans cette thèse se place à cette échelle, le but étant la caractérisation des alliages de titane pour la mise en forme à froid. Cependant toutes les lois de comportement présentées dans la suite de ce manuscrit, sont représentatives du comportement microstructural du matériau. On ne peut, d’un point de vue numérique, utiliser une modélisation fine pour prédire le formage de tôle en un temps de calcul raisonnable. La caractérisation des alliages de titane par des lois phénoménologiques a surtout été réalisée pour l’alliage TA6V, avec notamment une modélisation de la thermodépendance du comportement [Combres88] [Gavrus96]. En revanche, la caractérisation du comportement dalliages de titane commercialement purs nest très peu discutée dans la littérature. La loi de Norton-Hoff est majoritairement utilisée.
La figure I.20 permet de faire le lien entre les différentes échelles de travail et notamment l’enchaînement des étapes permettant une modélisation à l’état macroscopique s’appuyant sur des modèles représentant plus finement les phénomènes physiques. L’apport de données expérimentales macroscopiques est important pour caractériser le comportement, mais aussi valider le modèle numérique. 

La modélisation macroscopique du comportement plastique

Après avoir détaillé les mécanismes mis en jeu lors de la déformation d’un alliage de titane, les différentes modélisations du comportement macroscopique vont être explicitées. Certaines peuvent être simples avec de nombreuses hypothèses admises et d’autres beaucoup plus complexes. Le nombre de paramètres à identifier pour permettre l’utilisation de la loi de comportement choisie doit être raisonnable afin d’utiliser un nombre limité de tests expérimentaux simples.
Il est important de choisir un comportement élasto-plastique permettant de prendre en compte la dépendance du comportement mécanique à la direction de sollicitation. Plusieurs lois de comportement doivent être définies :
– un comportement élastique isotrope défini par la loi de Hooke,
– Une loi d’écrouissage cinématique pour définir le déviateur du tenseur cinématique [X],
– une surface convexe pour définir la surface de plasticité initiale en fonction du déviateur des contraintes [S] : f([S] – [X]),
– une loi d’écrouissage isotrope continue et dérivable pour définir la contrainte d’écoulement σ y, Celles-ci permettent de définir la loi de comportement d’un matériau élasto-plastique par l’intermédiaire de la fonction Fp : Fp = f([S] – [X]) – σy (I.1)
Suivant la valeur de F p, le comportement est élastique (Fp<0) ou élasto-plastique (Fp=0). Concernant les propriétés élastiques, on considéra que le matériau pourra être simplement modélisé par un comportement isotrope, régit par la loi de Hooke : Ôij = 1 + ν E Sij (I.2)

La modélisation de la surface de plasticité

On distingue les critères de plasticité isotropes et anisotropes. L’anisotropie d’un matériau signifie que le comportement mécanique est différent selon la direction de sollicitation. On prend généralement comme direction de référence la direction de laminage. Dans la suite de ce rapport, la direction 0 sera donc la direction de laminage. Les figures ci-dessous expriment cette dépendance à la direction de sollicitation pour le module de Young (Fig. I.21) et le comportement plastique (Fig. I.22). Les critères anisotropes se divisent en deux parties. On nommera critère anisotrope quadratique, tous les critères qui définissent la surface de charge par des fonctions quadratiques. Ces critères sont surtout utilisés pour la modélisation du comportement anisotrope des aciers. Les autres sont dits critères non quadratiques. Ils ont été développés dans l’optique d’une modélisation de l’anisotropie des alliages d’aluminium et autres matériaux.

Les critères isotropes

i) Critère de Tresca. Les critères de plasticité isotropes sont les plus courants. Les plus utilisés sont le critère de Von Mises et le critère de Tresca. Le critère de Tresca est un critère en contrainte de cisaillement maximale, et s’exprime de la façon suivante dans le repère des contraintes principales :f(S) = Max(i, j = I, II, III)|Si – Sj|(I.4)

Les critères anisotropes quadratiques

Les critères de plasticité anisotropes quadratiques permettent la modélisation d’un comportement anisotrope peu marqué. Ils supposent la symétrie du comportement mé- canique en traction et en compression. Ils ne modélisent pas les concentrations de dé- formations plastiques qui peuvent caractériser certains matériaux dont les alliages de titane. De plus, ils sont indépendants de la pression hydrostatique. Le plus utilisé d’entre eux est le critère de Hill 1948 [Hill48]. Aujourd’hui encore, sa facilité d’utilisation et une identification des paramètres basée uniquement à partir des tests de traction lui permettent d’être le critère le plus utilisé dans un contexte industriel.
i) Critère de Hill 1948. Le critère de Hill est une généralisation du critère de Von Mises par l’ajout de coefficients pondérateurs devant les termes composant le critère de Von Mises (équation I.5). Cette modification permet la prise en compte d’un comportement différent selon la direction de sollicitation. L’expression indicielle de ce critère est la suivante : f(S) = (F (S22–S33)2+G(S33–S11)2+H(S11–S22)2+2LS23 2 +2MS13 2 +2NS12 2 )(0.5) (I.8)
Les 6 paramètres d’anisotropie sont donc les variables F, G, H, L, M, N. L’utilisation de ce critère pour la modélisation de tôles restreint le nombre de paramètres à 4 : F, G, H et N [Hill93]. En considérant que le comportement de référence est obtenu dans la direction de laminage, on obtient donc G+H = 1. L’écriture matricielle permet de faire apparaître le déviateur des contraintes {S } :

Table des matières

Notation
Introduction
Contexte de l’étude
La mise en forme des tôles
Les objectifs de la thèse
Plan du manuscrit
I La modélisation des alliages de titane 
I.1 Les alliages de titane
I.1.1 Généralités sur les alliages de titane
I.1.2 Bref aperçu des alliages de titane
I.1.3 Les alliages de l’étude
I.1.4 Les phénomènes de déformation des alliages de titane-α
I.2 De la microstructure à la modélisation numérique
I.3 La modélisation macroscopique du comportement plastique
I.3.1 La modélisation de la surface de plasticité
I.3.2 Loi d’écrouissage cinématique
I.3.3 Loi d’écrouissage isotrope
I.3.4 Loi de comportement à variable interne
I.4 Conclusion du chapitre
II La formulation du modèle continu anisotrope en grandes transformations 
II.1 Mécanique des grandes transformations
II.1.1 Relations de base
II.1.2 Décomposition élasto-plastique
II.1.3 Le suivi de la transformation élasto-plastique
II.2 L’environnement du modèle continu anisotrope
II.2.1 Hypothèses générales
II.2.2 Le suivi des axes d’anisotropie
II.2.3 Le transport des grandeurs tensorielles
II.3 Spécificité de la formulation anisotrope
II.3.1 L’objectivité de la formulation
II.3.2 La gestion incrémentale de la formulation
II.4 Conclusion du chapitre
III Implémentation numérique de la formulation anisotrope 
III.1 La résolution du problème mécanique dans Forge©R
III.2 Implémentation d’un modèle de comportement mécanique
III.2.1 Mise en place de la formulation incrémentale
III.2.2 Le calcul de l’incrément de contrainte
III.2.3 Les modules tangents linéaire et bulle
III.2.4 Pas de temps adaptatif
III.3 Calcul de l’incrément de contraintes pour le critère de Hill
III.4 Implémentation du critère de Cazacu
III.4.1 Calcul des contraintes principales d’un tenseur
III.4.2 Calcul de l’incrément de contrainte
III.4.3 Calcul des dérivées du critère de Cazacu
III.5 Gestion de l’écrouissage isotrope
III.5.1 Intégration de la loi adoucissante
III.5.2 Intégration de la dépendance au chargement pour l’écrouissage isotrope .
III.6 Validation de l’implémentation de la formulation anisotrope sous Forge©R
III.6.1 Emboutissage d’un godet cylindrique isotrope
III.6.2 Emboutissage d’une boite carrée
III.6.3 Emboutissage d’un godet cylindrique anisotrope dont l’anisotropie est modélisée par un critère de Hill
III.6.4 Emboutissage retour d’un godet cylindrique
III.7 Conclusion du chapitre
IV Identification des paramètres du modèle anisotrope 
IV.1 Essais expérimentaux à sollicitation simple
IV.1.1 Essais de traction uniaxiale
IV.1.2 Test de cisaillement simple
IV.1.3 Test de compression
IV.2 Identification des paramètres du matériau
IV.2.1 Identification du critère de plasticité
IV.2.2 Identification des lois d’écrouissage
IV.3 Comparaisons numériques entre les différentes procédures d’identifications
IV.3.1 Simulation des tests de traction uniaxiale
IV.3.2 Simulation des essais de cisaillement simple
IV.4 Conclusion du chapitre
V Mise en forme à froid des alliages de titane 
V.1 La mise en forme à froid de l’alliage SSAT350
V.2 Gonflage des alliages de titane
V.2.1 Essai de gonflage d’alliage de titane.
V.2.2 Modélisation analytique de l’essai de gonflage hémisphérique
V.2.3 Simulation de l’essai de gonflage hémisphérique
V.2.4 Simulation de l’essai de gonflage elliptique
V.2.5 La modélisation des alliages de titane pour le gonflage
V.3 Emboutissage des alliages de titane
V.3.1 Emboutissage d’un godet cylindrique
V.3.2 Emboutisssage d’une pièce axisymmétrique
V.4 Conclusion du chapitre
Conclusion 
A Test de cisaillement pour un matériau anisotrope élastique 
A.1 Orientation initiale à 0/90˚
A.2 Orientation initiale à 45/135˚
B Détermination des déformations par corrélation d’image 3D 
C Récapitulatif des paramètres identifiés pour les critères de plasticité et les lois d’écrouissage 
C.1 Critères de plasticité
C.2 Lois d’écrouissage
Bibliographie

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