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Description d’un milieu poreux :
Un milieu poreux saturé est constitué de deux phases. La première est l’espace poreux connecté saturé par un fluide et qui peut être le lieu de filtrations. Cet espace poreux connecté est supposé connexe. La seconde est la matrice qui se trouve définie comme l’espace complémentaire de l’espace poreux connecté. La matrice est composée de solides et éventuellement de pores. Toutefois, ceux-ci ne sont pas reliés à la porosité connectée et ne sont donc pas le lieu de filtrations. Cette porosité dite occluse est supposée négligeable et nous considérerons qu’elle fait partie de la matrice.
Nous représenterons le milieu poreux comme la superposition de deux milieux en interaction. Ainsi, dans un volume élémentaire, entourant un point géométrique repéré par son vecteur position x, coexistent deux particules (Figure 1.1) :
• La particule squelette, constituée de la matrice et de l’espace poreux connecté, vidé de son fluide. Le squelette est le matériau que l’on obtiendrait en extrayant tout le fluide saturant de l’espace poreux connecté.
• La particule fluide, constituée du fluide saturant l’espace poreux connecté.
Nous verrons par la suite, qu’à l’échelle macroscopique choisie pour décrire les phénomènes, ces deux milieux peuvent être considérés comme continus, c’est à dire que toutes les variables définies sur ces deux milieux varient peu entre deux points voisins.
Paramètres décrivant un milieu poreux :
Il existe plusieurs paramètres géométriques que l’on peut associer à une structure poreuse. Certains dépendent uniquement de la forme du solide poreux et ne varient pas lorsqu’on dilate ou change l’échelle du solide. C’est le cas de la porosité et de la tortuosité. D’autres dépendent des dimensions, c’est le cas des perméabilités visqueuses et thermiques qui varient, à forme égale comme une surface et des longueurs caractéristiques visqueuses et thermiques qui varient comme des longueurs.
Porosité :
La porosité d’un milieu poreux est le rapport entre le volume occupé par le fluide f et le volume total du matériau : f (1.1)
En notantS le volume de la phase solide, on a : S f .
Si les pores sont connectés entre eux et avec l’extérieur, on parle de porosité ouverte. S’il existe au sein du matériau des inclusions fermées, la porosité est dite occluse. Dans ce travail, on s’intéresse à la fraction poreuse connexe. On fait abstraction des éventuelles parties fluides enfermées dans le solide qui contribuent alors aux caractéristiques de la structure.
On ne considère donc que la porosité ouverte. La valeur de la porosité est comprise entre 0 et 1. Les matériaux poreux utilisés pour l’absorption acoustique ont généralement une porosité comprise entre 0,85 et 0,99. Les céramiques poreuses ou les roches peuvent prendre des valeurs très inférieures.
La tortuosité :
La tortuosité est un paramètre important pour décrire les effets inertiels qui se produisent entre les parties fluide et solide d’un matériau poreux. Pour des pores cylindriques parallèles, la tortuosité correspond au facteur de forme ks introduit pas Zwikker et Kosten. Pour des pores de forme quelconque, Johnson et coll donnent, de la tortuosité, la définition suivante : 1 V f v 2 dV Vf m (1.2)
Dans cette expression, vm est le champ des vitesses microscopiques d’un fluide parfait 1 V f incompressible s’écoulant à travers la structure et le terme vm dV s’interprète comme Vf la vitesse macroscopique. Vitesse microscopique du fluide et vitesse macroscopique sont de normes et de directions différentes. La tortuosité rend compte de la plus ou moins grande sinuosité des pores et donne une indication sur la taille des pores par rapport à la taille de l’échantillon, ainsi que sur les changements de section des pores. La tortuosité est un scalaire supérieur à 1. Pour les mousses plastiques et les matériaux fibreux, la tortuosité est comprise entre 1 et 2. C’est un paramètre géométrique connecté au comportement haute fréquence de l’écoulement fluide dans le matériau. Plusieurs méthodes existent pour estimer la tortuosité.
Résistivité spécifique au passage d’un fluide :
Lorsqu’un matériau poreux placé dans un tube aux parois étanches, est traversé par un fluide, il apparaît une différence de pression entre ces deux faces libres. Il existe une relation de proportionnalité entre débit Q et chute de pressionP donnée par la loi de DarcyP RQv , le coefficient R correspond à la résistance au passage du fluide et peut donc se définir comme le rapportP Qv .
Pour un matériau poreux homogène, cette résistance est proportionnelle à la longueur d de l’échantillon et inversement à la section de sa droite S . On peut définir alors, la résistivité comme étant la résistance spécifique au passage d’un fluide. Notée , cette résistivité est définie par : S dR (1.3)
Perméabilité visqueuse :
La perméabilité statique visqueuse est reliée à la résistivité au passage du fluide par la relation: k0 (1.4) où est la viscosité dynamique du fluide.
La perméabilité visqueuse est un paramètre géométrique, homogène à une surface (elle s’exprime en m2 ), elle est indépendante de la nature du fluide saturant et ne dépend que de la géométrie interne du matériau poreux. Ce paramètre représente la section effective des pores pour l’écoulement du fluide, il est connecté au comportement basse fréquence des échanges visqueux entre le fluide saturant et la structure du poreux.
Longueur caractéristique visqueuse :
Les travaux de Johnson et al en 1987 caractérisation des effets visqueux en haute fréquence en introduisant la longueur caractéristique visqueuse donnée par : 2 S u 2dS (1.5) où u est la vitesse microscopique d’un fluide parfait incompressible, S l’aire de l’interface entre les phases solide et fluide et V le volume du fluide. La longueur est donc un paramètre géométrique. Cette définition vaut pour une surface solide fluide régulière et pour une épaisseur de couche limite faible devant le rayon de courbure caractéristique de l’interface. Lorsque la surface des pores présente des singularités (pointes), cette définition de la longueur caractéristique n’est plus valable. Le paramètre est un indicateur de la taille des pores étroits, lieu privilégié des échanges visqueux.
Longueur caractéristique thermique :
En 1991, Champoux et Allard ont introduit par analogie avec Johnson et al un paramètre géométrique appelé longueur caractéristique thermique donnée par : 2 S dS (1.6)
En d’autres termes est le double du rapport du volume fluide sur la surface de contact totale entre le solide et le fluide. Le facteur 2 est introduit pour que dans le cas des pores cylindriques, correspond au rayon des pores. La longueur est un indicateur de la taille des grands pores, lieu privilégié des échanges thermiques.
Perméabilité :
L’étude des effets visqueux et thermiques montre qu’il existe des similitudes entre ces deux effets. Mis à part le fait que, pour les effets visqueux intervient le champ de vecteur vitesse et que pour les effets thermiques c’est le champ scalaire de la température excédentaire, les équations régissant ces grandeurs sont similaires.
Partant de l’équation de diffusion de la chaleur, Lafarge introduit l’équivalent d’une loi de Darcy pour la température excédentaire en introduisant un nouveau paramètre : la perméabilité thermique k0 qui est l’inverse de la constante de piégeage.
Modèles de la littérature :
Lorsque le milieu poreux est saturé par un fluide léger, l’impédance caractéristique de la phase solide est très supérieure à celle de la phase fluide et la structure solide du matériau n’est généralement pas mise en vibration par le passage de l’onde sonore, elle reste immobile.
Dans ce cas, on utilise la théorie du fluide équivalent. Plusieurs modèles existent pour décrire les échanges visco-thermiques qui se produisent entre les parties solide et fluide d’un matériau poreux. La théorie de Kirchhoff étudie les effets visqueux et thermiques qui se produisent dans un matériau à pores cylindriques parallèles. Zwikker et Kosten montrent par la suite que ces deux phénomènes peuvent être traités séparément. Pour les effets visqueux on présente dans la suite de cette section le modèle de Johnson et Coll puis celui de Pride. De manière similaire, les effets thermiques sont pris en compte par le modèle de Champoux et Allard et comme Pride pour les effets visqueux, Lafarge propose, pour les effets thermiques, une extension au modèle de Champoux et Allard. On termine cette partie en introduisant la théorie de Biot. Elle généralise la théorie du fluide équivalent au cas où parties solide et fluide sont mises en mouvement par le passage de l’onde sonore.
Description du mouvement du fluide :
Nous présentons deux descriptions analytiques équivalentes du mouvement d’un fluide considéré comme un milieu continu : la représentation lagrangienne, qui envisage la dynamique des particules de matière dans l’écoulement, et la représentation eulérienne, qui s’intéresse aux variations dans le temps des caractéristiques de l’écoulement en des points fixes de l’espace.
Le système considéré est un domaine matériel en mouvement occupant à l’instant t 0 un ouvert connexe Dt de 3 (au sens ou chaque point de Dt est occupé par une « particule ». on dit que Dt représente la configuration au temps t du système cinématique.
Représentation de Lagrange :
En description lagrangienne, toutes les configurations d’un système cinématique constitué par un domaine matériel en mouvement sont rapportées à une configuration particulière, correspondant à un instant arbitraire, dit temps de référence. Cette représentation permet de suivre le déplacement d’une particule, en l’identifiant par sa position au temps de référence. Les variables indépendantes de Lagrange sont le vecteur a et le temps t , où ai désigne les coordonnéesa1 , a2 , a3 de la particule dans la configuration de référence.
L’inconnue de Lagrange , aussi appelée fonctions placement, décrit alors la trajectoire de la particule : Xta , t,
Le vecteur désignant l’ensemble des coordonnées du point en lequel, à un instant t quelconque, la particule située en a au temps de référence. Notons que l’application est bijective et qu’elle met en correspondance biunivoque les configurations de référence et la configuration à l’instant t . Le vecteur vitesse à l’instant t du point matériel de coordonnées de
Lagrange a est alors défini par : va , t a , t (2.12)
Représentation d’Euler :
La description eulérienne du mouvement d’un milieu consiste à observer l’évolution de la vitesse v , dite inconnue d’Euler, en fonction du temps et en tout point du domaine considéré. Les variables indépendantes d’Euler sont le couplex , t, le vecteur x représentant
la position instantanée d’une particule à un instant t quelconque. Dans cette représentation du mouvement, la trajectoire Xt d’une particule est la solution du système différentiel suivant : dXdtt vXt, t.
Homogénéisation
L’homogénéisation est la théorie qui étudie les méthodes de moyennisation dans les équations aux dérivées partielles. En d’autres termes, l’homogénéisation permet de trouver un modèle homogénéisé, ou macroscopique, ou moyenné qui est une bonne approximation d’un problème originalement posé dans un milieu très hétérogène. L’intérêt de ce modèle homogénéisé est qu’il est plus facile à résoudre numériquement car posé dans un milieu homogène équivalent.
Dans ce chapitre nous nous contenterons d’exposer la théorie de l’homogénéisation pour des structures périodiques. Celles-ci sont très nombreuses dans la nature ou dans les applications industrielles et on dispose d’une méthode très simple et très puissante pour les homogénéiser : la méthode des développements asymptotiques à deux échelles que nous présentons ci-dessous. Néanmoins l’homogénéisation n’est pas réduite au cas périodique : il existe aussi des théories plus générales que nous occulterons ici par souci de simplicité.
Dans une structure périodique, nous notons le rapport de la période sur la taille caractéristique de la structure. En général, ce paramètre positif est petit, et l’homogénéisation consiste à effectuer une analyse asymptotique lorsque tend vers zéro. La limite ainsi obtenue sera dite homogénéisée, macroscopique, ou effective. Dans le problème homogénéisé la forte hétérogénéité de la structure périodique d’origine est moyennée et remplacée par l’utilisation de coefficients effectifs.
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Table des matières
INTRODUCTION
Chapitre I Généralités de la propagation du son dans les milieux poreux
I-1) Hypothèses
I-1-1) Continuités des phases
I-1-2) Homogénéité
I 1-3) Grandes longueurs d’onde
I-1-4) Isotropie
I -5) Description d’un milieu poreux
I-5-1) Paramètres décrivant un milieu poreux
I -5-1-1) Porosité
I -5-1-2) La tortuosité
I -5-1-3) Résistivité spécifique au passage d’un fluide
I -5-1-4) Perméabilité visqueuse
I -5-1-5) Longueur caractéristique visqueuse
I -5-1-6) Longueur caractéristique thermique
I -5-1-7) Perméabilité
I -6) Modèles de la littérature
I-6-1) Théorie du fluide équivalent
I-6-2) Théorie de Biot
Chapitre II Equation de Bilan
II-1) Rappel de mécaniques des milieux continus
II-1-1) Déformations
II-1-2) Contraintes
II-1-3) Fluides newtoniens
II-2) Description du mouvement du fluide
II-2-1) Représentation de Lagrange
II-2-2) Représentation d’Euler
II-3) Equations de conservation pour un fluide parfait
II-3-1) Equation de conservation de la masse
II-3-2) Equation de conservation de la quantité de mouvement
II-3-3) Bilan d’énergie mécanique
II-3-3-1) Forme générale
II-3-3-2) Application aux fluides newtoniens
II-3-3-3) Bilan d’énergie et d’enthalpie
II-3-3-3-1) Bilan d’énergie interne
II-3-3-3-2) Bilan d’enthalpie
Chapitre III Homogénéisation
III-1) Méthode homogénéisation des structures périodiques(HSP)
III-2) Principe de la méthode HSP
III-3) Illustration de la méthode HSP à travers une équation de diffusion
III-3-1) Modèle de diffusion en milieu périodique
III-3-2) Développement asymptotique à deux échelles
IV-1) Rappel de notions fondamentales en acoustiques
IV-1-1) Caractéristique du son
IV-1-2) Le son est une onde
IV-1-3) Propagation de l’énergie acoustique
IV-2) Formulation du problème
IV-3) Evaluation des nombres adimensionnels
IV-3-1) Le nombre de Reynolds e R
IV-3-2) Le nombre de Reynolds transitoire t R
IV-3-3) Le nombre adimensionnelleQ
IV-3-4) Normalisation
IV-4) Problème local
IV-4-1) Linéarisation
IV-4-2) Développement asymptotique à deux échelles
IV-5) Comportement macroscopique et loi de Darcy généralisée
Chapitre V Simulation numérique
V-1) Résolution des équations
V-1-1) Résolution des équations à l’échelle microscopique
V-1-2) Résolution des équations à l’échelle macroscopique
V-2) Analyse des résultats
CONCLUSIONS
ANNEXES A
A. Linéarisation
ANNEXES B
B. Rappels mathématiques
BIBLIOGRAPHIE
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