Identification et modélisation de systèmes non linéaires générant des sous et ultra-harmoniques

L’imagerie ultrasonore est couramment utilisée en diagnostic médical et ceci depuis les années 1970. C’est parce que cette technique est non invasive et pas coûteuse, qu’elle est largement utilisée pour une grande variété d’examens médicaux. Son principe consiste à émettre une onde ultrasonore vers l’organe, ou le milieu à imager, et à recevoir l’écho renvoyé par le milieu [Wild et Neal, 1951, Szabo, 2004]. C’est à partir de l’écho reçu que l’image échographique est construite.

Initialement, en imagerie ultrasonore conventionnelle mode B, l’émission et la réception se font à la même fréquence f0. Ainsi, l’image est reconstruite à partir du signal reçu à f0. Ensuite, plusieurs améliorations ont été apportées à l’imagerie ultrasonore, afin d’augmenter la qualité de l’image, et notamment le contraste. Dans ce cadre, l’introduction des produits de contraste ultrasonore a lancé la production d’une nouvelle génération d’échographes avec un meilleur contraste. Les produits de contraste ultrasonore, constitués de microbulles gazeuses encapsulées dans des coques phospholipidiques, sont caractérisés par un comportement non linéaire suite à l’interaction avec une onde ultrasonore. La première manifestation de cette non linéarité est la génération d’harmoniques, c’ast à dire des fréquences aux multiples entiers (2f0, 3f0, . . .) de la fréquence d’excitation sinusoïdale. Ainsi, la présence d’harmoniques dans les échos renvoyés par les microbulles et leur absence dans l’écho du tissu environnant, a permis de mieux différencier ces deux régions dans l’image. L’imagerie du second harmonique était née [Schrope et Newhouse, 1993]. Elle consiste donc à émettre une impulsion à la fréquence f0 et à construire l’image à la seconde harmonique 2f0.

Pour construire l’image, la composante 2f0 peut être obtenue par l’application d’un filtre linéaire passe bande centré autour de 2f0. Or, pour un meilleur contraste, d’autres techniques de filtrage sont préférées. La modélisation non linéaire en utilisant les filtres non linéaires optimaux peut être choisie. Des études ont montré que l’utilisation du filtre optimal non linéaire de Volterra, a permis de construire des images dont le contraste est plus élevé que celui obtenu en utilisant le filtrage linéaire passe bande.

Imagerie ultrasonore de contraste 

L’imagerie ultrasonore est une modalité d’imagerie non invasive utilisée pour le diagnostic médical. Elle consiste à transmettre une onde ultrasonore dans le milieu à imager et à recevoir l’écho renvoyé par le milieu [Wild et Neal, 1951]. Pour améliorer la qualité des images échographiques, une étape de post-traitement du signal reçu est introduite avant la construction de l’image [Szabo, 2004, Contreras Ortiz et al., 2012].

Au cours des dernières décennies, des améliorations ont été apportées à l’imagerie ultrasonore. En particulier, l’utilisation des produits de contraste ultrasonore a constitué une révolution dans l’imagerie ultrasonore [Frinking et al., 2000], en introduisant l’imagerie de perfusion du myocarde, du foie, et de tumeurs, par exemple. Les produits de contraste utilisés sont constitués de microbulles de gaz injectées dans le réseau vasculaire par voie intraveineuse. La nature de l’interaction entre les microbulles et les ultrasons peut être très variée selon les conditions d’utilisation des microbulles (taille, gaz,. . . ) et de l’excitation ultrasonore (fréquence, pression,. . . ). Les proporiétés spécifiques de l’onde renvoyée ont permis d’introduire de nouvelles techniques d’imagerie ultrasonore dites de contraste. Les nouvelles techniques associées contribuent à la production d’images échographiques à fort contraste, concourant à l’amélioration du diagnostic médical des pathologies vasculaires.

Les produits de contraste ultrasonore

En 1968, Gramiak et Shah ont observé un rehaussement de l’écho renvoyé par le sang suite à l’injection de solutions comme le vert d’indocyamine, le sérum physiologique, ou le sérum alcalin dans le réseau vasculaire [Gramiak et Shah, 1968]. Ce rehaussement qui augmente le contraste de l’image est dû à la présence dans la solution injectée de bulles de gaz très échogènes en raison de leur densité et compressibilité très différentes de celles du sang. Un autre facteur contribuant au rehaussement de l’écho recueilli est dû à la nature résonante des bulles de gaz soumis à un faisceau ultrasonore.Toutefois, l’utilisation de ces premiers produits de contraste a été limitée par leur durée de vie très courte (moins d’une seconde) et leur taille élevée empêchant leur passage à travers les capillaires pulmonaires. Pour contourner ce problème, durant deux décennies, des efforts ont été portés sur le développement d’agents de contraste plus stables et plus petits. Des microbulles composées de gaz lourd, ont alors été développées, pour diminuer leur vitesse de dissolution dans le sang et augmenter la durée de l’examen (quelques minutes). De plus la bulle de gaz es entourée par une enveloppe composée de protéines, de phospholipides, de surfactants ou de polymères, afin de la protéger. Notez enfin que les microbulles ont des diamètres allant de 0, 5 à 20 µm.

Interaction microbulle-ultrasons

Suite à une excitation ultrasonore, la réponse de la microbulle gazeuse est assujettie à deux phénomènes. Tout d’abord, sa grande impédance acoustique au regard de celle des tissus, provoque la réflexion de l’onde sur la surface de la microbulle. L’autre phénomène est la résonance. En effet, sous l’effet d’une impulsion ultrasonore, lorsque la taille de la microbulle est plus petite que la longueur d’onde de l’onde ultrasonore, il se produit le phénomène de pulsation de volume. La microbulle se comprime dans le demi cycle positif de l’onde ultrasonore, et se dilate dans le demi cycle négatif. La microbulle se comporte alors comme un oscillateur harmonique amorti. Elle devient un système résonnant capable d’emmagasiner un maximum de l’énergie à la fréquence de résonance. Cette fréquence de résonance est reliée à la taille de la microbulle [Medwin, 1977].

La réponse de la microbulle dépend aussi de l’amplitude de la pression acoustique incidente. Pour de faibles amplitudes, la phase de compression de la microbulle est la même que celle durant la phase de dilatation. La microbulle oscille alors linéairement en fonction de la pression acoustique. Pour des amplitudes plus élevées, la compression est généralement retardée par rapport à la dilatation. L’oscillation de la microbulle est maintenant asymétrique et résulte en une réponse non linéaire [de Jong et al., 1994]. L’écho renvoyé par la microbulle contient alors, en plus de la fréquence d’excitation, des composantes à des fréquences multiples entiers de la fréquence d’excitation, (les harmoniques). Si l’amplitude de l’onde ultrasonore augmente encore, il se produit la rupture des microbulles accompagnée par une augmentation de l’écho renvoyé pour un temps court.

Modélisation du comportement d’une microbulle

Des nombreuses études ont été menées pour développer des modèles analytiques décrivant le comportement d’une microbulle soumise à une excitation ultrasonore. Le travail fondateur est mené en 1917 par Lord Rayleigh qui a développé un modèle pour décrire le comportement oscillatoire d’une cavité sphérique dans un liquide incompressible, non visqueux [Rayleigh, 1917]. En 1949 Plesset modélisa la dynamique d’une bulle de vapeur soumise à une pression acoustique en prenant en considération la tension de surface au niveau de l’interface liquide/vapeur. Ensuite, Noltingk et Neppiras ont adapté l’équation du mouvement pour une bulle de gaz [Noltingk et Neppiras, 1950].

Techniques d’imagerie de contraste ultrasonore 

Le comportement non linéaire des microbulles est caractérisé par la présence de nouvelles fréquences dans l’écho renvoyé par les microbulles lorsque des dernières sont excitées par des signaux ultrasonores sinusoïdaux. Les valeurs des fréquences générées sont fonctions de la fréquence de l’excitation ultrasonore, de la pression acoustique et des paramètres des microbulles. Selon les fréquences générées par les microbulles, plusieurs techniques d’imagerie ont été développées. Ces techniques peuvent être regroupées en deux catégories, selon le nombre d’impulsions utilisées à l’émission. On distingue les techniques mono-impulsionnelle et multi-impulsionnelle. Dans cette section, nous allons détailler les techniques mono-impulsionnelle qui seront utilisées dans cette thèse.

Imagerie fondamentale

Avant de considérer la non linéarité des microbulles en imagerie conventionnelle mode B, rappelons que ces dernières, lorsqu’elles sont soumises à une émission à f0 renvoient un écho à f0. De ce fait, la forte capacité des microbulles à diffuser les ultrasons à la fréquence d’excitation a permis une amélioration de l’échogénicité des tissus perfusés. Cependant, cette technique présente des limitations liées à la présence des tissus fortement échogènes (ex. myocarde), ce qui réduit la détection des microbulles. De plus, la détection des microbulles est aussi limitée dans l’imagerie de petits vaisseaux où la concentration des microbulles est faible [de Jong et al., 2000].

Imagerie du second harmonique

L’imagerie du second harmonique est l’une des premières techniques développées pour l’imagerie de contraste [Schrope et Newhouse, 1993]. Elle repose sur le principe que les tissus ont un comportement a priori linéaire en présence des ultrasons. Ils réflechissent l’onde ultrasonore à la même fréquence que l’excitation. Par contre, les microbulles qui vibrent d’une manière non linéaire réfléchissent l’onde ultrasonore à des multiples entiers de la fréquence d’excitation. L’écho renvoyé par les microbulles contient alors, en plus de la fréquence d’excitation (fréquence fondamentale), les harmoniques (2f0, 3f0, . . .). Cette propriété est utilisée pour mieux différencier les vaisseaux perfusés du tissu environnant. L’imagerie du second harmonique (ou harmonique standard) consiste à émettre une onde ultrasonore à la fréquence f0 et à recevoir l’écho à la seconde harmonique 2f0 en utilisant des filtres passe-bandes centrés autour de 2f0 . L’imagerie du second harmonique a permis d’apporter une augmentation du contraste des images par comparaison avec l’imagerie mode B.

Table des matières

Introduction
I État de l’art sur l’imagerie sous et ultra-harmonique, et identification et modélisation de systèmes non linéaires
1 Imagerie ultrasonore de contraste
1.1 Les produits de contraste ultrasonore
1.1.1 Interaction microbulle-ultrasons
1.1.2 Modélisation du comportement d’une microbulle
1.2 Techniques d’imagerie de contraste ultrasonore
1.2.1 Imagerie fondamentale
1.2.2 Imagerie du second harmonique
1.2.3 Imagerie superharmonique
1.2.4 Imagerie sous-harmonique
1.2.5 Imagerie ultra-harmonique
2 Identification et modélisation de systèmes non linéaires
2.1 Introduction
2.2 Modèle de Volterra
2.2.1 Modélisation
2.2.2 Méthodes d’identification du modèle Volterra
2.3 Le modèle de Hammerstein et les autres modèles schéma-bloc
2.3.1 Introduction
2.3.2 Modèle de Hammerstein généralisé
2.3.3 Méthodes d’identification du modèle de Hammerstein
2.4 Identification harmonique de systèmes non linéaires avec le modèle de Volterra et de Hammerstein généralisé
2.5 Modélisation non linéaire en imagerie ultrasonore de contraste
2.6 Modèle de simulation
3 Identification et modélisation de systèmes non linéaires générant des sous et ultra-harmoniques
3.1 Génération de sous et ultra-harmoniques par les systèmes non linéaires
3.2 Problématique de la modélisation de sous et ultra-harmoniques
3.2.1 Modélisation de sous et ultra-harmoniques par un modèle MISO Volterra
3.2.2 Application en imagerie ultrasonore sous-harmonique
II Contributions à l’identification, la modélisation et l’extraction de sous et ultra harmoniques
4 Modélisation de sous et ultra-harmoniques avec un modèle MISO Volterra
4.1 Cadre général du modèle MISO Volterra
4.2 Application en imagerie ultrasonore sous-harmonique
4.3 Conclusions
5 Modélisation de sous et ultra-harmoniques avec un modèle SISO NMA à entrée modifiée (SMISO NMA)
5.1 Première solution : SMISO 1
5.2 Deuxième solution : SMISO 2
5.3 Démonstration analytique de la méthode
5.4 Détermination du contenu fréquentiel à la sortie du modèle de Volterra excité avec des multi-signaux sinusoïdaux
5.5 Détermination du contenu fréquentiel à la sortie du modèle SMISO 2 Volterra
5.6 Application en imagerie ultrasonore sous harmonique
5.7 Conclusions
6 Extraction de sous et ultra-harmoniques
6.1 Principe des méthodes
6.1.1 Modélisation et extraction par modification de la fréquence de l’entrée
6.1.2 Modélisation et extraction par modification de la fréquence de sortie
6.2 Applications des méthodes
6.2.1 Application basée sur le modèle de Hammerstein généralisé
6.2.2 Application basée sur le modèle de Volterra
6.2.3 Comparaison entre les deux méthodes
6.2.4 Comparaison de deux méthodes avec un filtre RIF
6.3 Conclusions
Conclusion

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