Soutenance mémoire
Methodes d’identification à partir de mesure de champs
Le calcul des structures consiste principalement à déterminer les déplacements, les déformations et les contraintes connaissant la géométrie, les efforts extérieurs ou les déplacements imposés et un modèle de comportement et les paramètres associés. On parle de « problème direct ». Par contre, lorsque l’on cherche à identifier des paramètres constitutifs d’un modèle présupposé à partir de données de mesures (cinématiques, statiques), on parle alors de « problème inverse » [Avril et al., 2008a]. Dans notre cadre, ces mesures seront des mesures de champs, et plus précisément cinématiques. Selon [Grédiac, 2004], dans ce cas, l’identification de paramètres constitutifs avec l’utilisation de mesures de champs est une situation pour laquelle le lien entre les mesures et les simulations est très important en élasticité. Ces méthodes d’identification se classent en deux groupes principaux : les méthodes avec recalage itératif des paramètres, et les méthodes sans recalage [Avril et al., 2008a]. Dans l’article [Avril et al., 2008a] les auteurs issus du GDR 2519 présentent les différentes méthodes d’identification basées sur les mesures de champs répertoriées jusqu’alors.
Méthodes sans recalage
Certaines méthodes d’identification ne nécessitent pas forcément un recalage des paramètres constitutifs [Avril et al., 2008a]. Dans cette catégorie, on peut classer :
— la méthode de l’écart à l’équilibre (Equilibrium Gap Method – EGM) [Claire et al., 2004; Amiot et al., 2007; Crouzeix et al., 2009]
— la méthode des champs virtuels (Virtual Field Method – VFM) [Grédiac, 1989; Grédiac et al., 2002] Avril et al. [2008a] appliquent différentes méthodes d’identification à quatre types d’essai. Ils concluent au sujet des méthodes non itératives que du fait de l’absence d’itérations, ces méthodes mènent généralement à des procédures numériques rapides. Par contre elles nécessitent des champs de résolution spatiale élevées pour pouvoir fonctionner correctement.
Méthodes avec recalage
Dans la catégorie des méthodes nécessitant un recalage, [Avril et al., 2008a] proposent :
— la méthode de l’erreur en relation de comportement (Constitutive Equation Gap Method – CEGM) [Constantinescu, 1995]
— la méthode de l’écart à la réciprocité (Reciprocity Gap Method – RGM) [Ben Abda et al., 1999]. La méthode se base sur le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti. Elle nécessite des mesures sur les bords.
— le recalage de modèle éléments finis (Finite Element Model Updating). On distingue les méthodes formulées en déplacement (FEMU-U [Cottin et al., 1984]), en effort (FEMU-F [Cottin et al., 1984; Pagnacco et al., 2005]) et celles tirant partie des deux quantités simultanément (FEMU-U-F [Giton et al., 2006]) .
Le principe des méthodes de recalage consiste à injecter des paramètres initiaux dans un modèle (généralement éléments finis) et à calculer numériquement les déplacements, les déformations et/ou les contraintes. En minimisant, à l’aide d’un algorithme d’optimisation, une fonction coût qui compare ces résultats numériques avec les mesures expérimentales, on obtient à convergence les paramètres constitutifs du matériau. C’est dans l’expression de la fonction coût que ces méthodes se distinguent. Du fait de leur nature itérative, qui se traduit souvent par des calculs numériques répétitifs, l’opération peut coûter cher en temps et/ou en ressources informatiques. De plus ces méthodes peuvent devenir très sensibles au bruit de mesure lorsque les mesures se raréfient [Avril et al., 2008a]. Pour minimiser la fonction coût, différents algorithmes d’optimisation peuvent être utilisés : Symplex, Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt, des algorithmes génétiques ou Bayesiens,…
Avril et al. [2008a] comparent les différentes méthodes d’identification à partir de mesures de champs cinématiques en les appliquant sur différents essais mécaniques : (I) un essai de traction, (II) un essai Brazilian, (III) un essai de cisaillement et (IV) un essai biaxial. L’idée est de mettre en évidence leur fiabilité en ce qui concerne l’identification des paramètres constitutifs. Seuls des essais 2D sont traités, et le comportement est supposé élastique linéaire. Les auteurs notent, par exemple, que la valeur du coefficient de Poisson identifiée varie d’une manière importante suivant la méthode appliquée. Ceci démontre que même avec une grande quantité de données, les méthodes inverses sont encore sensibles aux incertitudes de mesure. Ceci concerne plus particulièrement les méthodes sans recalage que les méthodes avec recalage. Les méthodes sans recalage n’aboutissent pas toujours à une solution, surtout si elles s’appliquent à des données de faible résolution spatiale, ce qui n’arrive pas avec les méthodes itératives.
Dans ce cadre, la plupart des travaux concernant les matériaux composites ont été menés à partir d’essais 2D. Généralement, l’objectif est soit d’identifier les paramètres constitutifs du matériau (par exemple [Molimard et al., 2005; Lecompte, 2007; Leclerc et al., 2009]) soit de déterminer la diminution de la rigidité du matériau composite dans des zones endommagées (par exemple [Sjögren et al., 2001; Sztefek and Olsson, 2008; Kim et al., 2009]). Les travaux de cette thèse s’intéressent à l’identification de paramètres homogènes. Toutefois, on notera que des méthodes alternatives ont été développées pour identifier des champs de propriétés [Claire et al., 2002; Crouzeix et al., 2009; Florentin and Lubineau, 2010]. Par la suite, nous détaillons la technique retenue dans ce travail : la FEMU.
Le recalage de modèle éléments finis
Principe, application et limites
La méthode de recalage de modèle éléments finis (Finite Element Model Updating, FEMU) est une méthode qui a été proposée dès le début des années 70 [Kavanagh and Clough, 1971]. De toutes les méthodes d’identification, le recalage de modèle éléments finis est l’approche la plus intuitive. L’idée est de comparer un champ cinématique mesuré lors d’un essai réel avec celui simulé par la méthode des éléments finis, puis de recaler de manière itérative les paramètres du modèle de comportement recherchés. L’évolution de la valeur des paramètres est guidée par un algorithme d’optimisation qui cherche à diminuer l’écart entre les déplacements ou déformations mesurés et calculés. Une des principales difficultés est de choisir une technique d’optimisation qui garantisse de trouver le minimum global [Lecompte, 2007]. Une autre difficulté tient au fait que le modèle éléments finis doit s’assurer d’utiliser les conditions aux limites, une géométrie et les efforts appliquées les plus proches de l’essai réel.
Le FEMU peut se baser sur une comparaison soit des déplacements, soit des déformations [Avril et al., 2008a]. Si l’approche s’appuie sur la comparaison des déplacements, il peut être difficile de bien modéliser les conditions aux limites [Avril et al., 2008a]. Cette défaillance peut avoir une influence non négligeable sur le calcul et la valeur des paramètres identifiés. L’autre technique consiste à comparer les déformations [Lecompte, 2007; Molimard et al., 2005]. Ceci permet, au moins en partie, de s’affranchir d’une modélisation poussée des conditions aux limites. Toutefois, la déformation est malheureusement la dérivée du déplacement. Comme évoqué dans le chapitre précédent, la déformation locale mesurée est souvent entachée d’une importante incertitude (disons de l’ordre 0,01% [Robert et al., 2007] pour la CIN. Ceci dépend évidement de la résolution spatiale de la mesure de déformation). Dans les logiciels de CIN, pour filtrer avant de dériver, une fonction de lissage est appliquée au champ de déplacement [Cor, 2014]. Ce traitement conduit, entre autres, à des valeurs de déformation « moyennées » et donc pas toujours représentatives.
Applications et limites La FEMU est une méthode générique qui est capable de traiter des problèmes linéaires [Molimard et al., 2005; Lecompte, 2007] et non-linéaires [Lecompte, 2007; Meuwissen, 1998; Robert et al., 2011]. La FEMU peut être utilisée sur un large champ d’applications. Non seulement avec des mesures de mesures cinématiques mais aussi avec des mesures comme des champs de températures [Avril et al., 2008a]. La FEMU a cependant des points faibles :
— Un calcul éléments finis en soi peut déjà coûter cher (en temps) : calculer en boucle peut donc conduire à des calculs de très longue durée.
— La mise en œuvre dans le cas de comportements non-linéaires conduit à de nombreuses difficultés qui s’ajoutent [Lecompte, 2007], notamment une autre boucle EF pour obtenir le résultat d’un pas de calcul de la boucle d’optimisation.
Comme évoqué précédemment, la plupart des applications de la FEMU concernent des cas 2D [Meuwissen, 1998; Molimard et al., 2005; Lecompte, 2007; Pottier et al., 2011]. Pour les composites, dans le cas de plaques minces, Sztefek and Olsson [2008] montrent qu’il est possible d’étendre la technique à des champs de déplacements 3D. Ils montrent que l’on peut déterminer la rigidité d’un stratifié dans la zone endommagée par un impact. Les champs de déplacement 3D sur les deux faces (dûs à l’effet de flambage) sont mesurées avec deux bancs de stéréo-corrélation en mettant la plaque sous chargement de compression. Ces mesures de déplacement sont ensuite appliquées comme des conditions aux limites dans le modèle EF.
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Table des matières
INTRODUCTION
1 Corrélation d’images numériques
1 Différentes techniques de mesure de champ cinématique
1.1 Techniques interférométriques
1.2 Techniques non interférométriques
1.3 Bilan
2 La corrélation d’images numériques (CIN)
2.1 Un peu d’histoire
2.2 Un formalisme unifié : la CIN globale
2.3 Une formulation par éléments finis : la CIN-EF
2.4 L’influence du bruit d’image
2.5 Les incertitudes de mesure
3 Illustration de la CIN dans un cas unidimensionnel
3.1 Implantation
3.2 Illustration dans un cas 1D
3.3 Un mouchetis à deux échelles
4 Conclusion
2 Identification de paramètres constitutifs à partir de corrélation d’images
1 Methodes d’identification à partir de mesure de champs
1.1 Méthodes sans recalage
1.2 Méthodes avec recalage
2 Le recalage de modèle éléments finis
2.1 Principe, application et limites
2.2 FEMU classique
2.3 FEMU-R : une approche régularisée
2.4 MIC : Mechanical Image Correlation
2.5 IMIC : Integrated Mechanical Image Correlation
2.6 I-MIC modifié : Integrated Mechanical Image Correlation
2.7 Conclusion sur les méthodes
3 Les incertitudes d’identification
3.1 Le bruit d’image
3.2 La fonction coût – amplification d’erreur par dérivation
3.3 La discrétisation de la mesure de champ cinématique – erreur de projection
3.4 Le maillage
3.5 Les conditions aux limites
3.6 La forme de la structure
4 Bilan
3 Corrélation d’images et identification multi-échelles
1 Images synthétiques mécaniques multi-échelles
1.1 Synthèse d’images mécaniques multi-échelles
1.2 Analyse séparée d’images de multi-résolution
2 Mesure de champs multi-échelles
2.1 Le recalage par fonction analytique de 4 modes
2.2 Le recalage par homographie
2.3 Initialisation du recalage d’images
3 Identification multi-échelles
3.1 Recalage par éléments finis à partir de la mesure de champ multi-échelles
3.2 Analyse a priori de la robustesse de l’identification
4 Conclusion
4 Application à un essai de traction sur plaque trouée
1 Le matériau étudié
2 Essai de traction sur plaque trouée
2.1 Choix de la zone d’intérêt du champ proche
2.2 Analyse de sensibilité
2.3 Simulation de l’essai
3 La mesure de champ
3.1 Le rapport signal/bruit
3.2 Analyse des erreurs de mesure
3.3 Sensibilité par rapport au bruit de l’image
4 Identification à partir de mesure de champ
4.1 Mise en œuvre de la méthode
4.2 Mono-échelle – Utilisation du champ lointain
4.3 Multi-échelles – Utilisation des champs proche et lointain
4.4 Analyse des cartes de résidu
CONCLUSION
