HOMOMORPHISMES ET ISOMORPHISMES

THEORIE FLOUE

CONSTRUCTION DE GROUPES NORMALES

Construction d’une relation d’equivalence: Soient (G, .) un groupe et H un sous-groupe de G .Alors on definit sur G la relation binaire < par :

∀x, y ∈ G : (x<y) ⇔ (xy − 1 ∈ H)

R  est une relation d’equivalence

Les sous–groupes normales: Soient (G, .) un groupe et H un sous-groupe de G . On dit que H est un sous-groupe normale de G si :

∀ x ∈ G : xH = Hx  

Théorèmes

Théorème .1. Soit H un sous-groupe distingué dans G. Alors (G/H,.) est un groupe , tel que :       ∀x, y ∈ G/H : x.y = xy                       

Théorème.2. Soit f un morphisme de groupes de G dans G0. alors  G/Ker(f) ‘ Im(f)

Théorème .3. (2eme théorème d’isomorphisme) Soient A , B deux sous-groupes du (G,.) tel que : B / G. Alors : A/A ∩ B ‘ AB/B

Théorème .4. (3eme théorème d’isomorphisme) Soient H et S deux sous-groupes distinguées dans G tel que : S ⊆ H ⊆ G. Alors :  (G/S)/(H/S) ‘ (G/H)

Préliminaire

 Dans ce chapitre, nous présentons seulement les outils nécessaire au développement du reste d’autres parties et qui peut etre utile pour le developpement ultérieur de la théorie de Galois floue et des sous-algèbres de groupes floues. Une algèbre complète de L est un treil lis complet tel que pour tous A⊆L et pour tout b∈L :

W {a ∧ b | a∈A }=(W{a | ∈}) V b
                                     et
V {a ∨ b | a∈A }=(V{a | ∈A}) W b
Sauf indication contraire, L désigne toujours une algèbre complète de Heyting composée d’au moins deux éléments. Nous supposons parfois que L est une chaine ou une chaine dense. Dans ce cas, L est toujours supposé étre complet. La éunion, la jointure et l’ordre partiel de L sont∨, ∧ et ≤ respectivement. Nous écrivons aussi 1 et 0 pour l’élément maximal et minimal de L respectivement. L est dit étre régulier si : ∀ a,b∈L tel que (a6=0 et b6=0) ⇒ a∧b6=0

L-Sous-ensembles

Un L-sous-ensemble de X est une application de X dans L.
-L’ensemble de tous les L-sous-ensembles s’appelle l’ensemble L-puissance de X et on l`a note par LX.
-Si L=[0, 1] alors, un L-sous-ensemble de X s’appelle sous-ensembles floue et LX=[0, 1] X s’appelle puissance floue.

Table des matières

1 INTRODUCTION
2 CONSTRUCTION DE GROUPES NORMALES
3 L-SOUS-ENSEMBLE
4 L-SOUS-GROUPES
5 L-SOUS-GROUPES NORMALES
6 HOMOMORPHISMES ET ISOMORPHISMES

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