Soutenance mémoire
Paramètres géométriques des discontinuités
La modélisation de la distribution spatiale et de l’emplacement des familles de fractures dans un massif rocheux fracturé est fondée principalement sur la connaissance des paramètres géométriques des discontinuités. Chacun de ces derniers est associé à une variable aléatoire dont les lois de distribution sont déduites des données acquises sur le terrain. Dans ce qui suit nous définissons sommairement chacun de ces paramètres. Cette définition est un préalable nécessaire à l’établissement de notre classification numérique présentée au chapitre 5.
a) Orientation : Les orientations des discontinuités déterminent la forme de blocs individuels existant dans un massif rocheux et par suite elles sont responsables de leur anisotropie qui gouverne leur comportement hydraulique et mécanique. Une première hypothèse simplificatrice sur la géométrie des discontinuités consiste à supposer que ces surfaces sont des plans. La représentation d’un plan dans l’espace peut se faire de diverses manières à partir du vecteur pendage ou de la normale orientée (Fig. 4). Le pendage est l’angle que fait la ligne de plus grande pente avec l’horizontale. La direction, ou azimut, est l’angle que fait l’horizontale du plan de la discontinuité avec le Nord magnétique. La distribution de l’orientation et du pendage est souvent représentée par une loi hémisphérique, normale ou log-normale.
b) Extension : La taille des fractures conditionne, avec leur orientation et leur espacement, leur probabilité d’intersection. Par conséquent, elle joue un rôle essentiel dans la connectivité des blocs. Une fracture est souvent assimilée à une forme géométrique simple dont une dimension particulière définit son extension (exemple : diamètre d’un disque dans l’espace, longueur d’un segment dans un plan). Cette dimension n’est pas accessible directement ; il faut la déduire de la continuité des traces observées sur l’affleurement. Les diamètres peuvent suivre une loi exponentielle décroissante ou log-normale.
c) Espacement : C’est la distance moyenne qui sépare deux intersections successives d’une ligne droite, appelée également ligne d’échantillonnage, avec les traces de fractures d’un affleurement. Cette grandeur dépend de la ligne de levé et de l’extension des discontinuités. En effet, pour un nombre constant de traces sur une surface, les traces longues ont plus de chances d’être intersectées par la ligne de levé et paraissent plus rapprochées.
d) Densité : Cette grandeur est en relation directe avec l’espacement. Les modèles géométriques des discontinuités décrivent leur position dans l’espace en précisant la localisation d’un point représentatif, par exemple, le centre d’un disque ou d’un segment qui est souvent ajusté par une loi uniforme. Le nombre de centres considérés dans un volume ou sur une surface définit, respectivement, la densité volumique et la densité surfacique des fractures. Quant à la densité linéique, elle est définie comme étant l’inverse de l’espacement ou le nombre d’intersections entre les discontinuités et la ligne d’échantillonnage.
e) Ouverture : Ce paramètre affecte largement la perméabilité des discontinuités et par suite leur comportement hydraulique. Il est défini comme étant la distance entre les deux épontes d’une discontinuité mesurée perpendiculairement à son plan moyen et il suit généralement une loi exponentielle décroissante ou log-normale. La détermination de l’ouverture est limitée souvent aux relevés examinés directement sur un affleurement ou sur des carottes de sondages.
Résistance des roches
Comme nous l’avons indiqué au début de ce paragraphe, la phase élastique de la courbe contrainte-déformation est suivie par une phase irréversible de différente nature. Nous définissons la résistance de la roche comme étant la fin de cette phase élastique et nous proposons de la décrire par un critère portant sur les contraintes principales. Nous appelons ce critère : critère de résistance de la roche. Un critère très courant et souvent utilisé dans le domaine de la mécanique des sols et des roches est celui de Mohr-Coulomb. Ce critère est représenté dans le plan des contraintes tangentielles et normales (τ,σ) par deux droites symétriques par rapport à l’axe des contraintes normales (Fig. 7). Ces deux droites sont appelées courbes intrinsèques. Pour une roche, nous caractérisons ce critère par deux paramètres qui sont la cohésion C et l’angle de frottement interne Φ.
Morphologie d’une discontinuité
Plusieurs paramètres caractérisent la morphologie d’une discontinuité. Nous présentons leur définition de la façon suivante :
• Profil : il est défini comme étant la trace de l’intersection de la surface tridimensionnelle d’une fracture et d’un plan perpendiculaire à sa surface moyenne.
• Aspérité : c’est la partie superficielle constituant la limite avec le matériau de remplissage.
• Epontes : une fracture se situe entre deux surfaces de contact appelées épontes qui résultent de la fissuration d’une matrice rocheuse initiale (massif granitique) ou de l’effet de sédimentation (massif de calcaire).
• Rugosité : elle définit tout écart entre un plan de référence et la surface d’une fracture.
• Remplissage : suivant leur type, on distingue les fractures colmatées et celles remplies par un matériau de remplissage qui se caractérise par sa nature et son épaisseur.
• Emboîtement : il est défini par la condition d’assemblage des deux épontes.
Du point de vue géométrique, la surface d’une fracture est souvent idéalisée par un modèle mathématique relativement simple. Il se présente sous diverses formes telles qu’une chaîne de segments ou de fonctions non linéaires formant les aspérités de la discontinuité (Fig. 11). La morphologie d’une discontinuité est en rapport direct avec le comportement mécanique et hydromécanique d’un massif rocheux fracturé. Cette grandeur influe principalement sur les propriétés mécaniques en cisaillement de la manière suivante :
• Suivant la géométrie de la fracture, les résultats d’un essai de cisaillement établi dans deux sens opposés peuvent être identiques ou non (cf. §.3.2.2.1). A titre d’exemple, les parties a, b et c de la figure 11 montrent trois configurations géométriques où les résultats ne sont pas affectés par la direction de cisaillement. Par contre les résultats de cisaillement des composantes d et e sont fortement sensibles à la direction de l’essai et par suite les courbes de cisaillement et de dilatance sont différentes.
• L’analyse de la différence entre la résistance au pic et la résistance résiduelle au cisaillement d’une fracture est un autre aspect qui prouve la contribution directe et franche de la morphologie des aspérités dans le comportement mécanique (cf. §.3.2.2.1). En effet, cette différence dérive de la modification de la géométrie des aspérités qui est due principalement à leur rupture. Afin de préciser la morphologie d’une fracture nous distinguons deux aspects principaux. L’aspect local (ou micro) donne des informations détaillées sur la surface des aspérités qui, bien entendu, joue un rôle primordial dans le comportement mécanique et hydromécanique du joint. En ce qui concerne les modèles de comportement mécanique introduits dans les codes de calcul numérique, nous signalons que la plupart d’entre eux sont basés sur des paramètres dérivant de l’aspectglobal (ou macro) de la morphologie. Cet aspect dépend de la rugosité de la discontinuité. Des approches quantitatives aussi bien que qualitatives ont été l’objet de différentes recherches dans ce sujet, nous citons les travaux de Barton et al. [1974], Barton et Choubey [1977], Bandis et al. [1981], Gentier [1986], Gentier et Riss [1990], Riss et al. [1996,1998,1999], Zhao [1997], Marache et al. [2001] et Marache [2002]. Différentes analyses quantitatives de la rugosité des fractures sont recensées dans la littérature, elles sont groupées en quatre catégories principales : 1- une analyse statistique (Myers [1962]) donnant des informations locales de la rugosité à partir des hauteurs d’aspérités. 2- une approche plus globale se présentant par l’analyse géostatistique (Matheron [1970]) et spectrale (Passoja et Amborski [1978], Kecili Laouafa [1998], Marache [2002]) qui fournit une description spatiale de la rugosité. 3-une analyse fractale (Mandelbort [1975], Turk et al. [1987], Lee et al. [1990]]) dont l’intérêt dérive de la possibilité d’une description globale de la morphologie des épontes par un coefficient de rugosité unique. 4- un paramétrage empirique qui sera exposé ci dessous. La caractérisation empirique de la morphologie développée par Barton et Choubey [1977] est largement utilisée. Elle se base sur la détermination du coefficient de rugosité du joint JRC (Joint Roughness Coefficient) qui varie entre 0 (fracture plane) et 20 (joint très rugueux). Ce coefficient peut être obtenu en comparant la morphologie de la fracture à dix profils types de base de 10cm de longueur (Fig. 12). Vu la subjectivité dans la détermination du JRC, les auteurs ont défini un autre moyen pour l’estimer ; il consiste à effectuer un test de basculement (Tilt Test) ou un test de poussée (push test) au laboratoire ou in situ. La détermination du JRC résultera alors des résultats de cet essai et de la valeur du JCS (Joint wall Compressive Strength). Ce dernier représente la résistance de la paroi des aspérités à la compression qui estidentique à la résistance en compression simple de la matrice rocheuse σc si les joints ne sont pas altérés. Une méthode simplifiée consiste à estimer ce coefficient avec le scléromètre du type L nommé également marteau de Schmidt.
Types et buts des systèmes de classification
Les classifications des massifs rocheux fracturés continuent à évoluer depuis plus d’un siècle. Leur utilisation a un intérêt considérable lors de l’étude de faisabilité et de dimensionnement préliminaire d’un projet, surtout quand les informations mécaniques, hydrologiques et l’état de contrainte in-situ du massif rocheux ne sont pas disponibles. Les systèmes de classification prennent en considération plusieurs facteurs affectant la stabilité des massifs rocheux. Ces facteurs sont reliés notamment à la résistance de la matrice rocheuse, la présence de l’eau et la description des discontinuités (nombre de familles, espacement, rugosité, altération des épontes, matériau de remplissage…). Nous nous intéressons, dans ce qui suit, aux systèmes de classifications quantitatives,nommés également classifications géomécaniques. La classification géomécanique consiste à quantifier un massif rocheux par une note empirique décrivant sa qualité par une série de termes allant d’un très bon rocher à un rocher très médiocre. Les buts principaux de ces classifications se résument comme suit :
• Estimer indirectement les propriétés mécaniques à grande échelle d’un massif fracturé, en particulier son module de déformation, sa résistance à la compression simple, sa cohésion et son angle de frottement interne.
• Estimer le temps durant lequel le massif rocheux peut tenir sans soutènement (stand-up time). C’est un indice très essentiel dans la détermination de la portée d’excavation.
• Donner des recommandations de soutènement des ouvrages.
D’après Singh et Goel [1999], la popularité des classifications quantitatives dérive de plusieurs facteurs :
• Elles représentent un langage commun entre les géologues, les ingénieurs, les concepteurs et les entrepreneurs.
• Moyennant ces classifications, l’observation, l’expérience et le jugement des ingénieurs sont mieux corrélés.
• Les ingénieurs préfèrent les nombres aux descriptions.
Plusieurs systèmes de classification ont été développés. En se basant sur un grand nombre de références, Palmström [1995] a rassemblé un recueil de ces systèmes les plus utilisés (tableau 1). D’après les remarques qui existent dans ce tableau nous concluons que chaque système est mieux adapté à l’objectif pour lequel il a été conçu (tunnel, mines, fondations…) : aucune classification n’est universelle.
Principe de la théorie de l’élasticité ellipsoïdale
Nous rappelons que l’élasticité anisotrope tridimensionnelle est définie par 21 coefficients indépendants relatifs à S ou à C. Ce nombre est réduit à 10 dans le cas bidimensionnel. Le comportement mécanique des massifs fracturés est souvent anisotrope. Pourtant, en parcourant la littérature, il est souvent admis et acceptable d’adopter un modèle de comportement orthotrope induit par la présence des familles de fractures (CFMRMMR [2000], Min et Jing [2003]) et qui soit défini par 9 paramètres. Suite à cette hypothèse, la théorie de l’élasticité ellipsoïdale présente plusieurs avantages que nous exposerons au cours de ce paragraphe.
• Suivant le modèle ellipsoïdal adopté, il est possible de simplifier le tenseur d’élasticité et réduire ses paramètres indépendants à un nombre inférieur à 9 sans beaucoup perdre sur la précision des calculs.
• Cette théorie nous permet, moyennant certaines hypothèses et approximations, de compléter le tenseur d’élasticité et de trouver les termes qui sont incalculables par une simulation bidimensionnelle (c44, c55 ou s44, s55). Autrement dit, il est possible de trouver un modèle de comportement tridimensionnel à partir des résultats d’un calcul bidimensionnel. Ceci est d’une importance fondamentale car il permet de mener des calculs tridimensionnels dans le cas où le plan de calcul (plan de maillage) ne coïncide pas avec le plan d’homogénéisation.
• Cette théorie permet l’extension de certaines solutions analytiques classiques pour fondations ou de remblai sur sols isotropes (Gray [1936]), à des cas de sols anisotropes (Pouya & Reiffsteck [2003]). En effet, une méthode de transformation proposée par Pouya [2000] permet, moyennant un changement de variables sur les coordonnées et les déplacements dans un problème d’élasticité linéaire anisotrope, de transformer ce problème en un autre problème d’élasticité linéaire dans lequel le matériau a un comportement isotrope et la géométrie est modifiée suivant une certaine échelle. Les solutions du problème transformé peuvent se déduire de celles du problème de départ. Cette méthode permet d’obtenir des solutions analytiques constituant des outils très commodes d’estimation des contraintes et déplacements sous des fondations ou de remblais sur ces sols (Pouya et Reiffsteck [2003]). L’application de cette théorie va nous servir dans le chapitre 5 comme un outil d’ajustement de nos résultats de classification numérique. Afin d’introduire cette théorie, il est indispensable de présenter la notion de la surface indicatrice. Cette dernière est définie par l’ensemble des points x=rn où n est un vecteur unitaire balayant toutes les directions de l’espace et où le rayon r représente la valeur d’un paramètre élastique dépendant de la direction n dans le matériau. Le paramètre élastique r doit être une fonction scalaire positive ne dépendant que d’un tenseur (tenseur de complaisance ou de souplesse) et de la direction n. Le module d’Young est un bon exemple des paramètres « monodirectionnels » car sa définition ne fait intervenir qu’une seule direction n, tandis que la définition du module de cisaillement, par exemple, fait intervenir deux directions. A partir d’un tenseur et d’un vecteur n il est possible de définir une infinité de fonctions scalaires, par exemple sous la forme (n⊗n):D:(n⊗n) où D est un polynôme en . Mais seul un petit nombre de ces paramètres ont une interprétation expérimentale simple et peuvent être identifiés à l’aide d’essais simples. En se basant sur l’idée que l’isotropie matérielle correspond géométriquement à l’image d’une sphère dans l’espace, il est possible de chercher à schématiser la variation des paramètres élastiques dans l’espace par un modèle ellipsoïdal (Fig. 4). Pour un isotrope, toutes les surfaces indicatrices sont des sphères. Saint Venant[1863-a et 1863-b] a introduit plusieurs familles de comportements orthotropes pour lesquels certaines surfaces indicatrices deviennent des ellipsoïdes. Les modèles présentés par Saint Venant récupèrent une grande variété de matériaux endommagés tels que les roches, les sols et les bétons. Pouya [2006] a établi une extension de cette théorie dans laquelle le comportement des familles n’est pas forcement orthotrope. C’est sur la base de cette étude que nous essayons d’appliquer la théorie de l’élasticité ellipsoïdale aux massifs rocheux fracturés.
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 Les massifs rocheux : structure et comportement mécanique
1. Structure géométrique des massifs rocheux
1.1 Aspect géologique
1.2 Paramètres géométriques des discontinuités
1.3 Modèles géométriques des discontinuités
2. La matrice rocheuse
2.1 Classification géologique des roches
2.2 Comportement mécanique des roches
2.2.1 Elasticité des roches
2.2.2 Résistance des roches
2.2.3 Modèle élastoplastique parfait
3. Les discontinuités
3.1 Morphologie d’une discontinuité
3.2 Comportement mécanique d’une discontinuité
3.2.1 Discontinuité soumise à une contrainte normale
3.2.1.1 Essai empirique et observations
3.2.1.2 Modèles de déformation normale
3.2.2 Discontinuité soumise à une contrainte de cisaillement
3.2.2.1 Essai empirique et critères de rupture
3.2.2.2 Effet du matériau de remplissage sur les propriétés mécanique d’une discontinuité
3.2.2.3 modèles de déformation tangentielle
3.3 Détermination pratique des paramètres caractérisant la déformabilité d’une fracture
4. Conclusion
Chapitre 2 Méthodes de classification des massifs rocheux
1. Les classifications géomécaniques
1.1 Types et buts des systèmes de classifications
1.2 Le Rock Mass Rating (RMR)
1.3 Le Q-system
1.4 Le Geological Strength Index (GSI)
1.5 Commentaires sur les systèmes de classification
2. Identification des paramètres de déformabilité et de résistance des massifs rocheux
2.1 Approches empiriques
2.1.1 Estimation des paramètres mécaniques en fonction du RMR et du Q-system
2.1.2 Estimation des paramètres mécaniques en fonction du GSI
2.2 Approches analytiques
3. Conclusion
Chapitre 3 Homogénéisation numérique des milieux fracturés en élastoplasticité
1. La théorie d’homogénéisation appliquée aux milieux fracturés
2. Interprétation des résultats du calcul numérique d’homogénéisation en élasticité
2.1 Loi de Hooke
2.2 L’élasticité plane appliquée aux massifs fracturés
2.3 Homogénéisation en problèmes plans
2.4 Modélisation numérique
2.4.1 Forme discrétisée des contraintes et des déformations homogénéisées
2.4.2 Méthodes de chargement indépendant des coordonnées des nœuds
2.4.2.1 Différence entre les diverses méthodes de chargement
2.4.2.1 Calcul numérique du tenseur de souplesse
2.4.3 Méthode de chargement en fonction des coordonnés des nœuds
2.5 Ajustement anisotrope ellipsoïdal
2.5.1 Principe de la théorie de l’élasticité ellipsoïdale
2.5.2 Ajustement ellipsoïdal des résultats numériques
3. Interprétation des résultats du calcul numérique d’homogénéisation en plasticité
3.1 Choix du mode de chargement
3.2 Calcul de la résistance homogénéisée
4. Conclusion
Chapitre 4 Méthode de modélisation Numérique
1. Modélisation du comportement mécanique des massifs rocheux fracturés
1.1 Modèles de calcul de stabilité
1.2 Modèles de calcul en déformation
1.3 Modèle de comportement mécanique
1.3.1 Modèle de comportement mécanique de la roche
1.3.2 Modèle de comportement mécanique de la discontinuité
1.4 Formulation mathématique de l’élément fini joint
2. Méthodologie de travail
2.1 Génération des familles de fractures
2.1.1 Génération des disques dans l’espace
2.1.2 Recherche des traces des fractures dans un plan
2.2 Calcul de la taille du VER
2.2.1 Critères de recherche du VER mécanique
2.2.2 VER géométrique : Méthode de calcul de l’espacement moyen
2.3 Application des filtres géométriques, maillage et création des éléments joints
2.4 Essais de chargements numériques et calcul du tenseur de souplesse
2.4.1 Choix du type de chargement
2.4.2 Calcul du tenseur de souplesse homogénéisé
3. Outil de calcul numérique : programmation et validation
3.1 Développement numérique
3.1.1 Phase de pré-traitement
3.1.2 Phase de post-traitement
3.1.3 Développement spécial
3.2 Validation du code de calcul en Eléments Finis (Anthyc)
3.2.1 Validation en élasticité linéaire
3.2.1.1 Massif avec une famille de fracture d’extension infinie
3.2.1.2 Massif avec deux familles orthogonales d’extension infinie
3.2.1.3 Massif avec deux familles de fractures inclinées d’extension infinie
3.2.1.4 Massif avec des fractures d’extension finie
3.2.2 Validation en élastoplasticité
3.2.2.1 Massif sans fracture : résistance de la matrice rocheuse
3.2.2.2 Massif avec une fracture inclinée d’extension infinie : résistance du joint
3.2.2.3 Massif avec une famille de fracture d’extension finie: résistance du massif rocheux
3.2.3 Conclusion
4. Etude d’un cas de massif granitique
4.1 Présentation du massif étudié
4.2 Méthode numérique et résultats obtenus
4.2.1 Recherche du VER géométrique
4.2.2 Recherche du VER mécanique et calcul des propriétés élastiques
4.2.3 Recherche de la résistance du massif
5. Conclusion
Chapitre 5 Classification Numérique d’une variété de Massifs Rocheux
1. Choix des massifs étudiés
2. Calcul et ajustement de la taille des VER
2.1 Génération des familles de fractures
2.2 Recherche de la taille des VER
2.3 Ajustement analytique de la taille des VER
3. Illustrations du maillage et des déformées
4. Résultats de classification numérique
4.1 Mode de présentation des résultats
4.2 Vérification des résultats
4.3 Discussions des résultats
4.3.1 Remarques générales
4.3.2 Résultat relatif à une famille de fractures
4.3.3 Résultat relatif à deux familles de fractures
5. Ajustement analytique des résultats numériques
5.1 Raisonnement d’ajustement
5.2 Ajustement des résultats de la classification numérique
5.2.1 Cas d’une famille de fractures (Ajustement du module d’Young E2)
5.2.2 Cas d’une famille de fractures (Ajustement du module de cisaillement G12)
5.2.3 Cas de deux familles de fractures (Ajustement du module d’Young E2)
5.2.4 Cas de deux familles de fractures (Ajustement du module de cisaillement G12)
6. Exemple d’illustration d’un massif sédimentaire
6.1 Estimation des paramètres géométriques et mécaniques des constituants du massif étudié
6.2 Calcul des propriétés homogénéisées à partir des tableaux de classification numérique
7. Conclusion
Conclusions et perspectives
Références bibliographiques
Annexe 1 : Classifications géomécaniques
Annexe 2 : Théorie d’homogénéisation en milieu fracturé
Annexe 3 : Configuration géométrique des familles de fractures étudiées
Annexe 4 : Classification numérique
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