Soutenance mémoire
L’étude d’un écoulement en milieux poreux connait un grand essor d’applicabilité que ce soit dans le domaine de l’environnement ou de l’industrie. Cette étude a fait l’objet d’un outil très important dans des champs tels que l’hydrogéologie, les travaux publics, la production de pétrole, l’ingénierie de céramique, l’ingénierie de papier et l’ingénierie de tissu. En fait, ces études se sont reposées sur la théorie mathématique d’homogénéisation qui leur garantit le modelage théorique des deux modèles qui sont le comportement de la microéchelle et le comportement de la macro-échelle obtenus par la résolution des équations aux dérivées partielles dans des espaces de Sobolev. Dans le modelage théorique on a besoin de trouver un modèle pour le milieu poreux. En général le milieu poreux a une géométrie très complexe et il est impossible de donner sa structure exacte ou précise par exemple la taille du pore dans les termes d’équations du fluide. En utilisant l’homogénéisation nous pouvons faire des suppositions avec lesquelles les équations peuvent être résolues pour une géométrie plus simple. Ainsi dans le cadre de notre étude, nous nous concentrons sur le cas où le milieu poreux est périodique et dont le Volume Élémentaire Représentatif (VER) représente la périodicité du milieu, plus particulièrement nous parlons de l’homogénéisation des structures périodiques poreuses. Comme dans toutes les méthodes d’homogénéisation, nous avons procédé à la séparation d’échelle ( ε = I/L ) et aux dérivations à double échelles qui sont en fait les outils fondamentaux. Par ailleurs nous avons introduit la méthode de développement asymptotique qui consiste essentiellement en l’étude de l’influence des petits paramètres sur la solution de problèmes mathématiques.
HOMOGÉNÉISATION
A une échelle suffisamment petite, tous les matériaux sont hétérogènes ne serait ce qu’à l’échelle des atomes. A cet effet, tous les matériaux peuvent être considérés comme des milieux discontinus ; qu’ils soient à l’état naturels comme le sable, l’argile, les roches, les os, ou manufacturées comme les ciments, les bétons, la céramique, les polymères. Dans plusieurs domaines et démarches tels que la science des matériaux, la science physique ou autres, des grandeurs sont prises de sorte qu’elles décrivent le comportement d’ensemble de la structure. A cet effet, des microphénomènes agissant à des échelles inférieures n’interviennent pas directement dans la description des macros comportements, ils sont ignorés mais sous jacent. Ainsi, ces démarches présentent déjà une homogénéisation car il y a déduction du comportement d’ensemble du matériau bien que celle-ci ne soit pas énoncée. Aussi, pour beaucoup de cas particuliers, il est impossible de faire une description pour une échelle très petite mais une description homogénéisée interprète mieux la description de la structure, d’où la nécessité de l’homogénéisation. Plusieurs exemples montrent cette nécessité: pour les grandeurs physiques telles que l’intensité du courant ou la pression de gaz, la description se fait à des échelles plus grandes qui sont l’intensité du courant et pression du gaz au lieu des échelles des électrons ou des molécules. Ainsi, ce processus par lequel un matériau hétérogène à l’échelle microscopique est rendu homogène s’appelle le processus d’homogénéisation.
Différentes méthodes d’homogénéisation
Homogénéisation idéale
L’idéal dans une homogénéisation, c’est de pouvoir, à partir de la connaissance à l’échelle des hétérogénéités :
– des équations de conservation, de bilan et/ou d’état
– des rhéologies
– de la valeur des paramètres
– de la géométrie donner, à l’échelle moins riche macroscopique :
– des équations de conservation, de bilan et/ou d’état
– les rhéologies
– les coefficients effectifs macroscopiques
– les grandeurs physiques
– les conditions aux limites .
Inversement, une telle homogénéisation devrait permettre de déterminer les champs locaux (microscopiques) des grandeurs physiques à partir de la connaissance des valeurs macroscopiques de celles-ci.
Différentes techniques d’homogénéisation
Les méthodes d’homogénéisation sont des techniques mathématiques permettant de relier les propriétés des constituants du milieu hétérogène aux propriétés du milieu macroscopique. L’idée consiste en effet à définir un milieu continu macroscopiquement équivalent au milieu hétérogène, dont la description est rendue possible grâce à différentes techniques telle les méthodes autocohérentes ou les techniques d’homogénéisation proprement dites, dont le passage à la description macroscopique ne fait aucune hypothèse à l’échelle des hétérogénéités. Actuellement, d’autres techniques récemment développées sont possibles pour faire une homogénéisation, telles sont, la méthode de la modélisation statistique (MS) développée par [21], la méthode de la prise de moyenne optimisée par [3], et enfin la méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques (HSP) [5] [2], pou laquelle nous effectuerons dans ce mémoire une étude plus détaillée.
Modélisation statistique
C’est une méthode développée dans les années 1990 par Kröner [21] pour les matériaux à structures aléatoires lorsqu’on dispose d’informations statistiques sur la phase, comme fonction de corrélation. Cette méthode est utilisée pour modéliser les matériaux composites élastiques.
Les hypothèses introduites dans cette méthode sont :
– La séparation des échelles. Une hypothèse non claire mais présente surtout dans le passage micro-macro. Le milieu étant infini.
– Le matériau a une structure aléatoire.
– La moyenne d’ensemble égale la moyenne de volume. Le milieu étant infini, les tenseurs de contrainte et de déformation ont une propriété de stationnarité.
Méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques (HSP)
La méthode d’homogénéisation des structures périodiques utilise la technique des développements à échelles multiples, développée dans les années 1980 par Bensoussan [5], Sanchez-Palencia [2] et Allaire [3,4]. Cette méthode consiste à mettre en évidence un problème, où les phénomènes agissant dans les microstructures sont omniprésents et en aucun cas faire une restriction. Pour cela, on peut aborder le processus d’homogénéisation par la recherche du problème dit homogénéisé correspondant à un comportement ‘‘moyen’’, par exemple à l’aide des techniques de développement asymptotique. Aussi, cette méthode permet de proposer un modèle macroscopique équivalent au problème initial qui s’avère présenter de forte hétérogénéité au niveau microscopique. Cette technique d’homogénéisation, munie de la méthode des développements asymptotiques permet d’obtenir une équation où les grandeurs physiques n’oscillent plus. Ainsi le problème obtenu sera appelé problème homogénéisé et ses coefficients seront dits coefficients homogénéisés ou effectifs du domaine d’étude considéré.
Dans la méthode d’homogénéisation des structures périodiques, aucune hypothèse à l’échelle macroscopique n’est faite, ce qui est tout à fait contraire à la méthode statistique. Cette méthode apparaît comme une théorie où les comportements macroscopiques sont obtenus de façons démonstratives et heuristiques des comportements microscopiques. Si la périodicité ne constitue qu’un cadre de travail, la séparation des échelles la manipulation des termes des équations avec leurs poids, le passage à la moyenne et la construction d’un volume élémentaire représentatif sont fondamentales.
Développement asymptotique des fonctions localement périodiques
Certains phénomènes physiques requièrent la prise en compte d’un ou de plusieurs petits paramètres lors de leur description mathématique. Les méthodes asymptotiques consistent essentiellement en l’étude de l’influence des petits paramètres sur la solution de problèmes mathématiques. L’influence de ces petits paramètres peut être très grande sur les solutions. Négliger leurs effets entraîne une mauvaise description du phénomène physique et coûte ainsi une grande perte en précision au niveau des simulations numériques du moins dans certaines régions où les petits paramètres produisent « une perturbation singulière ». L’étude asymptotique d’un problème contenant un petit paramètre ε consiste à décrire les propriétés de la solution lorsque ε tend vers 0 .
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Table des matières
Introduction
Chapitre I : Homogénéisation
1 Motivation
2 Différentes méthodes d’homogénéisation
2.1 Homogénéisation idéale
2.2 Différentes techniques d’homogénéisation
2.2.1 Modélisation statistique
2.2.2 Méthode de prise de moyenne
2.2.3 Méthode d’Homogénéisation des Structures Périodiques (HSP)
2.2.3.1 Développement asymptotique des fonctions localement périodiques
2.2.3.2 Application au milieu poreux
3 Rappel sur quelques définitions et théorèmes
3.1 Définition
3.1.1 Inégalité de Cauchy Schwartz
3.1.2 Théorème de représentation de Riesz
3.1.3 Définition/ théorème de Riesz
3.2 Définition : Formule de Green
3.3 Espace de Sobolev
3.3.1 Topologie sur D
3.3.2 Dérivée au sens de D
3.3.3 Espace Hk
Chapitre II : Dynamique des fluides en milieux poreux
1 Définition d’un milieu poreux
2 Présentation du problème
3 Nombres adimensionnels
3.1 Nombre de Reynolds Re
3.2 Nombre de Reynolds transitoire Rt
3.3 Nombre adimensionnel Q
3.4 Nombre de Strouhal S
4 Écoulement permanent de fluide incompressible
4.1 Évaluation du nombre Re
4.2 Évaluation du nombre Q
4.3 Normalisation
4.3.1 Résolution du problème local
4.3.2 Formulation variationnelle
Chapitre III : Comportement macroscopique d’un milieu poreux-Loi de Darcy
1 Comportement macroscopique- Loi de Darcy
1.1 Loi de Darcy
1.2 Propriété du tenseur de perméabilité K
1.3 Complément à la loi de comportement macroscopique
1.4 Le point de vue énergétique
Conclusion
