Homogénéisation des propriétés poroélastiques de la pâte de ciment 

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Hypothèse de continuité et Volume Élémentaire Représentatif

Une description continue d’un milieu microscopiquement hétérogène suppose que l’on se place à une échelle macroscopique pour l’observation des phénomènes et la quantication des grandeurs physiques.
Soient lh la longueur caractéristique des hétérogénéités d’un matériau poreux hétérog ène, et ld la longueur caractéristique d’un volume élémentaire d .
L’étude macroscopique continue d’un matériau poreux hétérogène s’appuie sur la connaissance d’un ensemble de lois locales, dénies pour un volume élémentaire d . De par les théories microscopiques et notamment les méthodes d’homogénéisation, il est possible de trouver un matériau équivalent homogène ctif dont les caractéristiques sont les moyennes de celles du matériau hétérogène réel (Dormieux et al., 2006). Partant de cette méthode, il apparaît que la relation 1 lh ld est nécessaire à l’écriture des lois locales et donc à l’analyse macroscopique d’un matériau microscopiquement hétérogène par une approche continue. Tout volume élémentaire vériant cette relation sera qualié de Volume Élémentaire Représentatif (noté VER).
La taille du VER dépend de la taille des hétérogénéités et de l’échelle d’observation. Dans le cas d’un matériau à matrice cimentaire par exemple, la taille caractéristique des hétérogénéités est comprise entre 10?10 m et 10?3 m, c’est-à-dire entre l’échelle d’observation de la phase solide des CSH (un des principaux minéraux constituant la pâte de ciment) et celle du mortier et du béton (Fabbri, 2006).
La continuité des transformations aectant le squelette, d’une part, et le uide, d’autre part, est supposée vériée. Les transformations liées à chaque VER du milieu poreux seront alors vues comme une succession d’états d’équilibre (postulat de l’état local), ce qui revient à considérer les réactions chimiques à l’échelle du VER comme instantanées.

Description eulérienne du mouvement du squelette

Le mode de description eulérien ne privilégie pas les particules, contrairement à la description lagrangienne, mais plutôt l’espace géométrique, au sein duquel on regarde déler les particules. L’instant, bien que quelconque, est cette fois xé. Le passage d’un mode de description à l’autre s’eectue simplement à l’aide de la transformation F (cf Eq. (1.1)) relative à l’instant t ou de son inverse F?1 (cf Eq. (1.10)). Il convient de noter que lesqualicatifs lagrangiens et eulériens n’ont pas la même dénition selon qu’ils s’appliquent à une grandeur mesurable ou à un champ. Une grandeur physique dite lagrangienne se dénie par rapport à une conguration de référence, alors qu’une grandeur eulérienne ne dépend pas d’une conguration de référence. Enn, un champ se résumant à une fonction mathématique est qualié de lagrangien (respectivement eulérien) s’il est une fonction de X (resp. x).
La description eulérienne du mouvement du squelette consiste à dénir en tout point géométrique repéré par le vecteur position x de la conguration actuelle et à tout instant t la vitesse vs de la particule de squelette située en ce point. Cette description est indépendante de toute conguration de référence, donc l’ensemble des variables descriptives du squelette ne dépendent que de x et t. Introduisons la transformation inverse F?1(x; t) dénie par : F?1 : t R+ ?! 0 (x; t) 7?! X (1.10).

Dérivées particulaires et matérielles

L’écriture des lois de conservation fait appel aux notions de dérivée particulaire et dérivée matérielle. La dérivée particulaire correspond à la dérivée par rapport au temps d’une grandeur donnée en suivant une particule (de solide ou de uide) dans son mouvement.
Dans le cas où la variation d’une grandeur donnée est étudiée sur le milieu poreux dans son ensemble, le taux de variation de cette grandeur attachée à toute la matière contenue dans un volume t correspondra à sa dérivée matérielle, et sera notée D: Dt .
La description du milieu poreux telle que la coexistence, en tout point de l’espace et à tout instant t, d’une particule solide et d’une particule uide, nous mène à la dénition de deux dérivées particulaires : l’une en suivant une particule de squelette, notée ds dt , et l’autre en suivant une particule de uide, notée df dt . Les deux particules solide et uide sont respectivement animées des vitesses vs(x; t) et vf (x; t) dénies en tout point géométrique de la conguration actuelle (repéré par le vecteur position x) et à tout instant t.

Thermodynamique des milieux continus ouverts

La thermodynamique est fondée sur une analyse énergétique d’un système lors de son évolution an de caractériser celle-ci. La thermostatique s’intéresse à l’évolution lente et réversible de systèmes homogènes entre diérents états d’équilibre. D’après le principe de l’état local, l’état actuel d’un système matériel en un point et à un instant donnés est entièrement déni par les valeurs des variables d’état locales à cet instant. À l’exclusion des phénomènes ultra-rapides, toute évolution peut alors être considérée comme une succession d’états d’équilibre. D’après ce principe, la thermodynamique se place dans la continuité de la thermostatique étendue à tout système, discret ou continu, que l’évolution soit réversible ou non et quelle que soit l’échelle temporelle. La méthode de l’état local identie une variable par phénomène à analyser (Lemaitre, 1992). Dans le cas de la poromécanique appliquée à un milieu poreux siège de réactions chimiques, les variables d’état observables peuvent être la température, les déformations, la porosité ou encore la masse uide.
Le premier et le second principe de la thermodynamique, exprimant la conservation de l’énergie du système et énonçant que la production interne spontanée d’entropie doit être positive ou nulle, sont les deux lois fondamentales de la thermodynamique.
Dans cette section, nous commencerons par rappeler les lois fondamentales de la thermostatique relative à un uide homogène avant de développer le cadre thermodynamique des milieux poreux continus ouverts. La description continue de la matière sera eective à condition d’adapter l’échelle à laquelle on considère le milieu poreux comme continu pour les applications théoriques développées. D’autre part, du fait des mouvements diérentiels qu’ont les uides saturants par rapport au squelette, le contenu en masse uide d’un espace poreux relatif à une même partie de squelette, que l’on suit dans son mouvement, ne sera pas le même avant et après déformation. De ce fait, il est légitime de conférer aux milieux poreux le caractère ouvert.

Conditions aux limites

Le domaine d’étude modélisé est noté et couvre le volume occupé par le VER. La frontière du domaine est notée ?. Pour chaque constituant du VER, les conditions aux limites qui s’exercent sur ? portent soit sur les variables d’état (déplacements, pression de uide, concentration en CO2 et avancement de réaction), soit sur le ux de ces variables.
Dans le premier cas, il s’agit de conditions aux limites de type Dirichlet, et dans le second, de conditions aux limites de Neumann.
Pour chaque constituant, la frontière ?x, soumise à des conditions de Dirichlet, et la frontière ?Qx, soumise à des conditions aux limites de Neumann, forment une partition ? telle que : ? = ?x [ ?Qx; ?x \ ?Qx = ; (3.28).

Architecture du code

Lors de la résolution monolithique d’un problème entièrement couplé, toutes les inconnues sont résolues au même instant.
La gure 4.1 présente l’architecture globale du programme Bil, valable pour tout mod èle, que ce soit pour un modèle en volumes nis ou en éléments nis.
Pour développer un nouveau modèle, l’utilisateur doit créer un chier source pour le modèle ainsi qu’un chier d’entrée. Pour la plupart des modèles, le chier source est nommé mNB.c, où NB fait référence au numéro du modèle choisi par le modélisateur, accompagné du chier d’entrée nommé mNB. Le chier d’entrée doit être rangé dans un dossier du même nom placé dans le dossier base de Bil. Quant au chier du modèle, celui-ci doit être rangé dans les sources src de Bil puis dans le dossier approprié où sont stockés les autres modèles.
Le modèle développé par l’utilisateur voit chacune de ses fonctions appelées au travers des diérentes étapes du programme général.

Maillage et lecture des données

Après compilation, l’exécution du calcul débute en entrant dans Bil.c et dans la fonction main (en arguments : int argc,char **argv et en sortie : int). Les options de méthode de résolution sont alors lues par la subroutine Options.c. Si l’utilisateur n’a pas spécié de méthode de résolution dans le makele, la méthode par défaut retenue est la méthode CROUT.
L’étape suivante consiste à lire le maillage et les données à l’aide du chier mNB placé dans base. Si le chier de données n’existe pas, une aide permet de le créer en lignes de commande au cours du lancement du calcul. Cette aide demande pour chacun des mot-clés listés ci-dessus les variables et conditions à écrire.
La lecture des données se fait par la fonction externe DataSet_Create (en entrée : char *lename,Options_t *opt et en sortie la structure DataSet_t*). Cette fonction appelle de nombreuses sous-fonctions pour lire chaque mot-clé (par exemple : Geometry_Create, Materials_Create, Mesh_Create, etc..). Les données sont enregistrées dans jdd. Le calcul peut alors commencer dans la fonction calcul(DataSet_t *jdd) dans Module1.c.

Calcul des termes explicites

Les termes explicites sont calculés en fonction de la solution convergée au pas de temps précédent T_n ou en fonction des valeurs initiales lors du premier passage dans explicite. La valeur de ces variables restera constante pour toutes les itérations du pas de temps en cours. En pratique et en général, les variables calculées dans cette fonction représentent les coecients des ux de transport (hydrique, chimique, thermique, ou autre).
La fonction explicite permet de calculer les termes explicites par une boucle sur les éléments et sur leurs n÷uds. De même que pour la fonction d’initialisation, lorsque la dimension de l’élément en cours égale celle du problème, le programme parcourt la fonction exNB du modèle souhaité. Les variables explicites sont stockées pour chaque point d’intégration de chaque élément dans le pointeur leur étant alloué.

Calcul du résidu

La méthode de résolution du problème ici retenue en éléments nis est la résolution de l’équation [A] [u] = [b] dans laquelle [A] représente les matrices de rigidité, [u] le vecteur des inconnues à résoudre, et [b] le résidu.
Le résidu est calculé par la fonction residu à chaque itération. De nouveau, une boucle sur les éléments et leurs n÷uds est eectuée et lorsque la dimension de l’élément est identique à celle du problème, le calcul se poursuit dans la fonction rsNB du modèle.
Dans cette fonction, pour chaque point d’intégration est calculé le résidu. À l’issue de ces boucles sur éléments et n÷uds sont obtenus les vecteurs de résidus élémentaires. Le calcul retourne dans la fonction residu où sont assemblés les vecteurs de résidus élémentaires en un seul vecteur. Les chargements imposés, xés dans LOAD du chier de données, sont alors intégrés au problème. Dans la boucle sur les éléments et leurs n÷uds, la fonction chNB du modèle est parcourue pour chaque point d’intégration pour calculer les résidus liés aux chargements. Après assemblage, on obtient le vecteur global des résidus du problème.

Calcul des matrices de rigidité et de couplage

Le calcul se poursuit par la formation des matrices de rigidité et de couplage grâce à la fonction matrice qui fait appel à la fonction mxNB du modèle. Cette fonction permet d’écrire les matrices de rigidité et de couplage pour former les matrices élémentaires dérivant directement de la formulation variationnelle du problème. L’écriture de ces matrices est assistée par des fonctions pré-dénies dans Bil telles que mxrig ou mxcond par exemple (cf section 4.3). Après obtention des matrices élémentaires pour chaque point d’intégration, ces dernières sont assemblées dans la fonction matrice en matrices globales.
Il est à noter que dans la plupart des modèles préexistants de Bil, le tenseur des contraintes a 9 composantes. La matrice de rigidité relative à l’équation d’équilibre mécanique contient ainsi 81 termes. La considération de 9 composantes pour le tenseur des contraintes reète la possible non utilisation de la symétrie du tenseur, ouvrant alors le champ à l’utilisation de milieux de Cosserat par exemple pour l’étude des eets de la microstructure dans les mécanismes de localisation.

Test de convergence

An d’établir la convergence ou non de la solution, l’erreur calculée précédemment est comparée à la tolérance dénie par l’utilisateur.
Si l’erreur est inférieure à cette tolérance, la solution est considérée comme convenable et convergée.
Si l’erreur est supérieure à la tolérance, le système n’a pas convergé et une nouvelle itération pour le pas de temps en cours doit être faite. Si le nombre d’itérations est supérieur ou égal au maximum d’itérations xé dans le chier de données, le calcul est interrompu et le système n’a dénitivement pas convergé 1. Dans le cas où une autre itération est possible, le calcul reprend à partir de l’évaluation des termes implicites et du calcul des lois constitutives. Les inconnues u_1 considérées sont celles résultant de la résolution du système non convergé de l’itération précédente. Les variables explicites et valeurs des inconnues au pas de temps précédent u_n ne varient pas au cours de toutes les itérations d’un pas de temps.

Validation du code numérique Bil

Le code numérique Bil, d’un point de vue uniquement solveur, a été validé par son développeur. Toute version téléchargée directement depuis le site : correspond à une version stable, exceptée si elle est explicitement notiée diéremment.
De nombreux modèles existent dans la base de Bil téléchargeable. Pour certains d’entre eux, ils ont fait l’objet de publications scientiques, que ce soit pour une implémentation par la méthode des éléments nis ou par la méthode des volumes nis. Citons par exemple les travaux de (Dridi, 2005), (Nikoosokhan et al., 2012), (Shen, 2013) et (Morandeau, 2014).
Cette présentation non exhaustive du code de calcul Bil n’est qu’un point de départ vers l’implémentation d’un nouveau modèle dans ce code. L’objet de la thèse n’étant pas de mettre au point un manuel du principe et d’utilisation de Bil, nous avons choisi de montrer les diverses options possibles sans pour autant détailler le mode d’utilisation de toutes les fonctions pouvant exister dans Bil.

Implémentation du modèle chimio-poromécanique 2D en éléments nis dans le code numérique Bil

La méthode de Galerkin que l’on suit ici consiste à choisir les mêmes fonctions d’interpolation dans l’espace pour tous les degrés de libertés. Ainsi, les matrices d’interpolation Nu, Np, Nc, N introduites au chapitre 3, à la section 3.3.1, sont indiérenciées et notées N, quel que soit le degré de liberté considéré.
Dans le cas de l’étude d’une géométrie en deux dimensions, deux types de problèmes peuvent être étudiés : une analyse en déformations planes ou en axisymétrie.
De notre problème émergent 5 degrés de liberté, à savoir :
en déformations planes : les degrés de liberté sont le déplacement horizontal, ux(x; t), le déplacement vertical, uy(x; t), la pression du uide, pl(x; t), la concentration en CO2 , cCO2(x; t) et l’avancement de réaction, (x; t). x est le vecteur de coordonnées en 2D : x = fx; yg.
en axisymétrie : les degrés de liberté sont le déplacement radial, ur(x; t), le dé- placement axial, uz(x; t), la pression du uide, pl(x; t), la concentration en CO2 , cCO2(x; t) et l’avancement de réaction, (x; t). x est le vecteur de coordonnées en 2D : x = fr; zg.
Pour plus de clarté, la suite sera développée dans le cadre des déformations planes, mais la discrétisation reste la même dans le cas de l’axisymétrie en considérant le vecteur approprié de coordonnées (x devient r et y devient z).
Le calcul des fonctions de forme pour un élément quelconque peut être assez compliqué. C’est pourquoi on se ramène souvent à un élément dit de référence, à partir duquel on peut générer tous les éléments d’une même famille par une transformation géométrique.
Les fonctions de forme sont alors calculées sur cet élément de référence, et le transfert des grandeurs sur l’élément réel est eectué grâce à la connaissance de la transformation géométrique. Les points de l’élément de référence sont décrits en termes de coordonnées.

Présentation de l’étude expérimentale menée par (Fabbri et al., 2009)

L’objectif des essais présentés dans (Fabbri et al., 2009) est d’étudier l’altération mé- canique ayant pu être rencontrée sur des échantillons de pâte de ciment exposés à du CO2 supercritique, sous des conditions proches de celles in-situ dans le contexte du stockage géologique du CO2.
Le ciment utilisé est un ciment Portland ordinaire de classe G, caractérisé par un rapport eau/ciment égal à 0,44. Les échantillons sont cylindriques, de diamètre 30 mm et de hauteur 65 mm. Après prise du ciment, la moitié des échantillons est séchée à 85 °C et l’autre moitié est stockée dans de l’eau pure. Nous nous intéresserons plus particulièrement à cette dernière série d’échantillons.
Suite à la préparation des échantillons, débute l’essai de carbonatation. Les échantillons sont exposés, dans un autoclave, à du dioxyde de carbone supercritique humide, sous une température de 90°C et une pression de 28 MPa. La phase de carbonatation va durer 13, 35, 51 et 62 jours selon les échantillons. Les échantillons sont ensuite lentement dépressurisés jusqu’à la pression atmosphérique, puis séchés à 85°C et stockés au sec. La profondeur de carbonatation est analysée et est reliée à la racine carrée du temps d’exposition au CO2 par une loi linéaire.
Divers essais mécaniques sont menés sur les échantillon dans le but de mesurer les modules de compressibilité volumique et de cisaillement, les modules de Young et coecients  e Poisson drainés et non drainés. La porosité et la perméabilité avant et après carbonatation sont estimées. Enn, les échantillons sont soumis à un chargement déviatorique jusqu’à la rupture, sous conditions saturée et drainée.

Table des matières

1 Thermodynamique des Milieux Poreux Réactifs 
1.1 Description cinématique
1.1.1 Description d’un milieu poreux saturé
1.1.2 Hypothèse de continuité et Volume Élémentaire Représentatif
1.1.3 Description lagrangienne du mouvement du squelette
1.1.4 Description eulérienne du mouvement du squelette
1.1.5 Porosité, densité massique et molaire
1.1.6 Description du mouvement du uide
1.2 Lois de conservation
1.2.1 Dérivées particulaires et matérielles
1.2.2 Conservation de la masse
1.2.3 Conservation de la quantité de mouvement et tenseur des contraintes
1.2.4 Hypothèse des petites transformations
1.3 Thermodynamique des milieux continus ouverts
1.3.1 Thermostatique de uides homogènes
1.3.2 Thermodynamique du milieu poreux
1.4 Le comportement chimio-poroélastique
1.4.1 Poroélasticité
1.4.2 Chimio-poro-élasticité
2 Modèle HCM 1D et Méthode des Volumes Finis 
2.1 Modèle HCM et carbonatation de la pâte de ciment
2.1.1 Réactions de carbonatation considérées
2.1.2 La pâte de ciment : un milieu poroélastique saturé
2.1.3 Modèle chimio-poromécanique
2.2 Résolution numérique
2.2.1 Homogénéisation des propriétés poroélastiques de la pâte de ciment
2.2.2 Principaux paramètres et résolution numérique
2.3 Résultats et discussion
2.3.1 Position du problème
2.3.2 Résultats
2.4 Conclusion
3 Modèle HCM 2D et Méthode des Éléments Finis 
3.1 Formulation forte du problème
3.1.1 Synthèse des équations du problème global
3.1.2 Endommagement isotrope
3.1.3 Conditions aux limites
3.1.4 Conditions initiales
3.2 Formulation variationnelle du problème
3.2.1 Principe des travaux virtuels pour le champ de déplacements
3.2.2 Principe des travaux virtuels pour le champ de pressions
3.2.3 Principe des travaux virtuels pour le champ des concentrations
3.2.4 Principe des travaux virtuels pour le champ des avancements de réaction
3.2.5 Synthèse pour le problème global
3.3 Discrétisations spatiale et temporelle
3.3.1 Discrétisation spatiale
3.3.2 Discrétisation temporelle
4 Code Bil 
4.1 Principe général
4.2 Architecture du code
4.2.1 Fichier d’entrée
4.2.2 Structure d’un modèle
4.2.3 Bil.c
4.2.4 Algorithme du calcul
4.3 Fonctions spéciques
4.4 Validation du code numérique Bil
5 Validation du modèle HCM et simulations 
5.1 Implémentation du modèle HCM dans le code Bil
5.2 Validation des processus découplés du modèle HCM
5.2.1 Processus de déformations
5.2.2 Transport d’une espèce chimique par diusion
5.2.3 Processus de consolidation
5.3 Simulation de la carbonatation d’un échantillon
5.3.1 Présentation de l’étude expérimentale menée par (Fabbri et al., 2009)
5.3.2 Modélisation de la carbonatation
5.3.3 Modélisation des essais mécaniques
5.4 Retour d’expérience des simulations
5.4.1 Pas de temps et pas d’espace
5.4.2 Choix des éléments
5.4.3 Oscillations liées aux termes de transport
5.4.4 Oscillations liées aux réactions chimiques et raideur du front réactif
Conclusion générale 
Bibliographie 

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