Histoire des chiffres et des nombres de leur apparition à nos jours

Systèmes de numération en Mésopotamie

En Mésopotamie , entre 5 000 avant J.-C. et le début de notre ère,vit un ensemble de peuples (les Sumériens et les Akkadiens, Les Hittites, les Assyriens, les Chaldéens, les Perses, …) qui ont Babylone comme principal centre d’activité culturelle. Les principales sources portant sur les mathématiques en Mésopotamie datent de l’époque des Sumériens et des Akkadiens. Ces mathématiques sont appelées babyloniennes du fait du rôle « clé » de la ville de Babylone à cette époque. Les éléments nous permettant d’affirmer que ces peuples avaient des connaissances mathématiques, ou du moins arithmétiques, sont des jetons ainsi que des tablettes d’argile. Ces derniers ont été exhumés lors de fouilles archéologiques au XIX e siècle.

Système de numération en Egypte

La civilisation de l’Ancienne Egypte, formée sur deux royaumes de la Haute et de la Basse-Egypte, a duré environ trois millénaires (d’environ 3 000 avant J.-C. aux premières années de notre ère) et l’écriture hiéroglyphique des nombres est présente et ne changera pas durant toute cette période. A la différence du système mésopotamien, le système numérique employé par les Egyptiens est additif, de base dix et non positionnel. Le zéro n’existe toujours pas dans le sens où il n’est pas utile puisque la numération est additive. De plus, cette civilisation ayant goût pour l’art, a employé des figures différentes pour noter seulement les différents multiples (représentées dans le tableau ci-dessous).
Chaque signe aurait été consciencieusement choisi quant au nombre qu’il représente. Par exemple, certaines interprétations affirment que « le dernier chiffre représente un dieu assis levant les bras au ciel devant la voute étoilée car un million représente un nombre astronomique » . Cela montre bien que les Egyptiens prennent conscience des grands nombres, des grandes quantités possibles et qu’ils tentent de mieux appréhender cela. Dans leur écriture des nombres, par souci esthétique et non pour donner sens, ils rassemblent le plus souvent les signes par trois. Pour lire un nombre, il suffit donc simplement d’additionner la valeur de chaque signe. Par exemple, ils notent 7 et 9 comme ceci.

Systèmes de numération en Grèce

La civilisation ancienne qui a joué le rôle le plus éminent dans le développement des mathématiques occidentales est celle des Grecs. Comme l’époque de la Préhistoire, cette période antique grecque pose des problèmes de sources. Les textes grecs nous sont parvenus sous forme de copies de copies dont l’authenticité n’est pas garantie, de traductions arabes et de versions latines. Nous pouvons tout de même déterminer plusieurs numérations qui se sont succédées et chevauchées : numération acrophonique et alphabétique. La numération alphabétique est celle qui m’intéresse le plus dans le cadre de mon mémoire et de ma problématique mais il me semble important d’évoqueret de présenter l’évolution générale de la numération grecque, du IX e siècle à 400 avant notre ère (date à laquelle nous attribuons la naissance de la numération alphabétique grecque).
Au début, les Grecs se sont inspirés de la numération égyptienne pour leurs problèmes de calculs. Cette numération, dite attique, était alors décimale et additive. Il existait donc un symbole pour l’unité puis pour toutes les puissances de sa base, soit ici, 1, 10, 100, 1 000, …
Les premiers symboles de la numération grecque sontalors les suivants :

Système de numération en Italie

La numération romaine me semble être une des principales à étudier avec des élèves car aujourd’hui nous utilisons et observons encore ses chiffres dans certains cas comme l’écriture des siècles et des millénaires, l’ordre des souverains, les cadrans d’horloges ou encore la numérotation des volumes d’un livre et des grandes parties d’un développement (tel que je l’ai fait dans mon mémoire pour l’intitulé de mes trois grandes parties). De plus, certains manuels comportent des leçons sur ces nombres romains . Mais surtout, il est intéressant de voir à quel point nous pouvons nous tromper ou nous faire de fausses idées sur l’Histoire, et de mettre en avant le fait qu’il fauttoujours aborder celle-ci avec une certaine méfiance ou du moins un certain recul.
En effet, les chiffres romains tels que nous les connaissons aujourd’hui (I, V, X, L, C, D, M) ne sont pas exactement ceux qu’ont utilisés les Romains à partir de 500 avant J.-C. Les premiers symboles utilisés par les Romains sont les suivants.

Le rôle de la civilisation arabe

Le peuple arabe joue un rôle fondamental dans l’Histoire des mathématiques et plus particulièrement dans l’Histoire des chiffres. Amy Dahan-Dalmedico et Jeanne Peiffer y consacrent d’ailleurs une grande partie de leur ouvrage intitulé Une histoire de mathématiques, routes et dédales .
Les Arabes s’inspirent des systèmes de numération alentours et reprennent alors, dès le IXe siècle, les chiffres utilisés en Inde et le système de numération décimale de position avec l’usage du zéro. C’est grâce à un célèbre mathématicien nommé Al-Khwarizmi que cette numération va être popularisée car il l’utilise dans ses traités d’algèbre. Il réutilise alors les symboles indiens notamment dans son ouvrage Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul indien . Le peuple arabe se met alors à écrire les chiffres d’après ce système c’est-à-dire de gauche à droite alors même que leurpropre système d’écriture consiste à écrire de droite à gauche.

La diffusion et le développement de la numération décimale en Europe occidentale

Du VIe au Xe siècle, l’Europe voit s’ouvrir une ère de récession économique et de désordre politique : c’est l’époque des grandes invasions, immenses mouvements migratoires qui ne favorisent aucune cohérence et stabilisation culturelle propices à l’activité intellectuelle. C’est aussi à cette époque là qu’ont lieu les croisades et la diffusion de la numération indienne, dite arabe, en Espagne.
Mais à partir du Xe siècle, deux grandes personnalités jouent un rôle important dans cette diffusion et ce développement de la numération indo-arabe en Europe occidentale.
Gerbert d’Aurillac(940-993), moine français, tour à tour précepteur et conseiller de l’empereur Otton III, futur pape Sylvestre II (en 999). Gerbert voyage en Espagne entre 967 et 969 et y fréquente les écoles arabes. C’est alors là qu’il aurait appris le système de numération indo-arabe. Avant cela, en France, on comptait encore de manière digitale et avec un système de jetons et lanumération en place était encore romaine. Après son voyage en Espagne, Gerbert aurait fabriqué un abaque dans lequel il aurait remplacé dans chaque colonne le nombre dejetons par un seul apice portant au dos le nombre de jetons substitués. Par exemple, avant il était nécessaire d’avoir sept jetons pour exprimer le chiffre sept. Tandis qu’avec le système de Gerbert un jeton seulement suffit pour exprimer cela car il porte l’écriture du chiffre « 7 » (issu de la numération indo-arabe et non plus « VII » de la numération romaine). C’est ainsi qu’il aurait commencé à introduire les chiffres arabes en Europe.
Léonard de Pise ou Fibonacci(vers 1170-1250). Amy Dahan-Dalmedico le qualifie de « plus grand mathématicien de tout le Moyen-âge chrétien » . Né à Pise en Italie, le jeune Léonard part avec son père à Bejaïa, en Afrique du nord, actuelle Algérie. C’est alors là-bas qu’il apprend l’arithmétique et la langue arabe, dans la boutique d’un épicier. Il y acquiert ainsi le goût des mathématiques. A son retour en Italie en 1202, il rapporte les chiffres dits arabes puis compose un célèbre ouvrage intitulé Liber abaci qui plus tard initie les savants italiens du XIII e siècle à la science mathématique arabe et grecque puis permet, encore plus tard, des progrès en algèbre lors de la Renaissance, en Italie. Cet ouvrage s’ouvre sur les neuf symboles indiens de numération décimale positionnelle ainsi que sur le signe zéro. Il y traite de nombreux sujets tels des problèmes financiers et commerciaux, des résolutions d’équations du second degré, … Mais pour chacun d’eux, cette nouvelle numération est particulièrement mal reçue en Europe car le public ne comprend plus les calculs effectués par les commerçants. Mais le contact avec la culture arabe est trop forte en Europe et par conséquent, influe sur la diffusion de cette numération contre laquelle les peuples européens ne peuvent lutter. D’abord à l’aide d’abaques tels que celui de Gerbert puis peu à peu sous forme d’algorithme comme le stipule Fibonacci, l’Europe toute entière utilise une numération décimale de position. Cette dernière est toujours la même aujourd’hui et c’est notammentavec le développement de l’imprimerie au XVe siècle que la forme des chiffres se fixe pour avoir celle que nous enseignons de nos jours dès l’école maternelle :

Evolution d’un apprentissage dans l’enseignement des mathématiques à l’école primaire : les nombres et la numération

De la chute du Premier Empire à nos jours, les contenus d’enseignement à l’école primaire ont beaucoup évolué. Cela est notamment lecas dans la discipline des mathématiques, en ce qui concerne l’apprentissage decompter.

L’enseignement des nombres et de la numération au XIX e siècle

J’ai fait le choix de centrer mes recherches sur l’enseignement des nombres et de la numération à partir de la chute du Premier Empire car durant le règne de Napoléon Bonaparte, celui-ci a donné un rôle important aux mathématiques dans l’éducation intellectuelle. C’est à partir de cet événement que les contenus de cette discipline se sont vus évoluer. Un véritable renouvellement a eu lieu au XIXe siècle amenant alors dans les dernières années de ce sièclede nouvelles lois, encore aujourd’hui incontournables, sur l’école : les Lois Ferry.

Les raisons de ces renouvellements

Les « transformations radicales » durant cette période concernent les contenus mais aussi les démarches d’apprentissage, les élèves concernés et les objectifs.
Cela est notamment du à la formation des maîtres alors mise en place dans les années 1830 avec la création du réseau des écoles normales d’instituteurs et des conférences pédagogiques pour les maîtres en activité. Ainsi la compétence 10 intitulée « se former et innover », du référentiel du métier de professeur des écoles que nous utilisons aujourd’hui, est possible qu’à partir de cette période car c’est la première fois que cela est mis en place pour les enseignants.
De plus, la production d’imprimés est en pleine essor à cette période. Les manuels scolaires se diffusent alors beaucoup plus et il enest de même pour la presse pédagogique.
Enfin, de nouveaux instruments sont utilisés par les élèves pour apprendre à compter notamment l’ardoise ou encore le boulier. Ce nouveau matériel scolaire induit alors des nouvelles démarches d’enseignement pour les maîtres concernant la place de la pratique dans les apprentissages ou encore la gestion de leur classe durant ceux-ci. Mais cet apprentissage mathématique à l’école primaire reste encore inabordable pour beaucoup de la population française.

Le difficile accès à l’enseignement des mathématiques à l’école primaire

« Au XIXe siècle, les contenus enseignés en mathématiques à l’école primaire ont été essentiellement déterminés par les finalités socioprofessionnelles auxquelles étaient « destinés » les enfants du peuple » : cette citation de Renaud d’Enfert me semble expliquer clairement les problèmes posés quant à l’accès aux enseignements mathématiques pour certains enfants français.
En effet, cela est le cas depuis l’Ancien Régime, l’apprentissage des mathématiques est le dernier élément des « programmes » d’instruction à cette époque. Ainsi, tous les enfants n’accédaient pas à ces apprentissages car beaucoup d’entre eux quittaient l’école avant pour aller travailler avec et pour leur famille. Il s’agissait à l’époque d’apprendre d’abord à lire puis à écrire et enfin à compter. C’était une progression des disciplines : de la maîtrise de la langue française vers les mathématiques. Celles-ci sont donc rarement abordées par les élèves pour deux raisons :
– elles sont en fin de scolarité et à cette période la plupart des enfants restaient le moins longtemps possible à l’école et étaient donc scolarisés sur un temps court. Ils devaient travailler rapidement pour gagner de l’argent pour leur famille.
– l’école est non gratuite et l’apprentissage des mathématiques en fin de cursus scolaire coûte cher.
Ce système renforce alors les inégalités d’apprentissages. Les enfants issus de familles aisées sortent de l’école en sachant lire, écrire et compter tandis que les enfants issus de milieux moins favorisés sortent de l’école sans avoir appris à compter. La grande enquête commandée par François Guizot en 1833 alors ministre de l’Instruction publique met en évidence ces inégalités. Seules les écoles mutuelles permettaient à l’époque un apprentissage simultané de la lecture, de l’écriture et du calcul. Mais elles se faisaient rares et étaient le plus souvent en milieu urbain, or le taux le plus élevé de personnes ne sachant pas compter provient de milieux ruraux.
Guizot prend alors des dispositions pour palier à cela en favorisant les apprentissages de la lecture, écriture et calcul en simultané. Mais leur application n’est pas immédiate. Il s’agissait d’une répartition des apprentissages selon trois divisions des élèves à l’école élémentaire, selon leur âge. Les premières transformations dans l’enseignement des maîtres sont remarquables à partir des années 1850. C’est alors un « enseignement conjoint du lire écrire compter dès le commencement de la scolarité » . En réalité, l’enseignement des mathématiques n’est dispensé qu’à partir du cours moyen. Mais ceci est tout de même un grand changement dans l’histoire de l’enseignement des mathématiques. C’est la première fois que l’on enseigne simultanément le français etles mathématiques. Ainsi, la discipline des mathématiques prend de plus en plus d’importance dans les instructions officielles.
Les enfants rentrant tôt dans la vie active sortent alors de plus en plus souvent en sachant compter mais les nombres et la numération restent généralement pour eux les seules connaissances qu’ils ont des mathématiques (pas de connaissances en géométrie ou sur le système métrique par exemple). De plus, les problèmes auxquels ces élèves étaient confrontés concernaient toujours les domaines dans lesquels ces enfants allaient travailler en sortant de l’école : agriculture, couture, commerce, industrie ou encore de la vie quotidienne. Et ces énoncés de problèmes comportaient souvent des objectifs de morale ou d’éducation.
Un problème persiste encore après la mise en place de ces mesures, celui de la rétribution scolaire qui est de plus en plus chère au fil des divisions, soit en fonction de l’âge des enfants. Mais cela prend fin dès 1881 avec les Lois Ferry.

L’enseignement des mathématiques dans l’entre-deux-guerres et jusque dans les années 1960

Dans la période de l’entre-deux-guerres, la réforme de 1902 est fortement remise en question. Un sentiment fort de nationalisme est présent dans la politique du pays et la volonté de retour aux sources latines est importante face àla culture germanique. On reproche alors à cette réforme d’être trop proche des idées allemandes. Dès 1923, une nouvelle réforme est mise en place concernant l’enseignement secondaire. Cette réforme affirme « l’égalité scientifique ». Pour cela, elle veut que l’accès et les contenus d’apprentissages des mathématiques et des sciences soient les mêmes pourtous les élèves jusqu’à la fin du lycée.
Le taux horaires de ces matières est alors diminué.
Parallèlement à cela, la place des mathématiques dans l’enseignement primaire est tout autre. La discipline est consolidée dans les apprentissages de l’école élémentaire, notamment dans les instructions officielles de 1923 puis de 1927. Elles régissent les apprentissages durant de nombreuses années, de leur mise en place jusqu’en 1970 environ, malgré une politique scolaire de Vichy lors de la Seconde Guerre mondiale. J’évoquerai peu cette période car mes recherches m’ont amenée à me rendre compte que durant cette période, les instructions officielles de 1923 puis de 1938 se sont affirmées notamment concernant les mathématiques. Pas de grands changements me semblent nécessaires d’être évoqués.
De la fin de la Première Guerre mondiale aux années 1970, se développent alors dans l’apprentissage des nombres et de la numération notamment, des méthodes dites « actives ».
Celles-ci sont ancrées dans les pédagogies des maîtres dès leur mise en place jusque dans les années 1970. L’enseignement concentrique institué dès les Lois Ferry est alors abandonné auprofit d’un enseignement progressif c’est-à-dire que « la graduation des programmes apportera à chaque âge ce qui lui convient » . Il s’agit, de plus, d’associer les contenus d’apprentissages des mathématiques aux disciplines du dessin et du travail manuel. Cette méthode est recommandée dès 1923 pour l’enseignement primaire même si certains maîtres la pratiquaient déjà dans leur pédagogie depuis le début du siècle. Elle permet de mettre en œuvre ce que la réforme de 1902 stipulait déjà : une approche intuitive et concrète des savoirs étudiés ainsi que des phases de démarches expérimentales. Cet apprentissage progressif permet d’empêcher les nombreuses répétitions au cours d’une scolarité d’un élève comme il était le cas avec la précédente méthode concentrique.
Ainsi, jusque dans les années 1970, il sera proposé aux enseignants plusieurs types d’expériences à mettre en œuvre lors des apprentissages, de la numération par exemple. Cela pour répondre aux instructions officielles de 1923 : « l’opération manuelle précède l’opération arithmétique ».

L’enseignement des nombres et de la numération après l’avènement des « mathématiques modernes »

La réforme de l’enseignement des mathématiques à l’école primaire dite « des mathématiques modernes » a lieu à la fin des années1960. Les programmes alors en vigueur étaient ceux de 1945. Une commission ministérielle dont le président était André Lichnerowicz publie des travaux sur l’enseignement des mathématiques à l’école primaire dèsle mois de mars 1967.

Contexte de la réforme

Cette réforme est mise en place lors d’une période de changements de l’institution scolaire en France. En effet un mouvement de démocratisation de l’accès à l’enseignement secondaire a lieu depuis la fin des années 1950 et cela apporte de profonde modification des fonctions de l’école primaire. L’enseignement secondaire devient alors la continuité naturelle de l’enseignement primaire.
De plus, les instructions officielles de 1945 sont alors critiquées concernant la discipline des mathématiques. Un élément fondamental de celles-ci est remis en question : l’aspect « concret » des apprentissages amène à pratiquer des problèmes ne portant que sur la vie quotidienne ou professionnelle. Or, avec l’accent mis sur la continuité entre l’école primaire et le collège du secondaire, le parcours de la plupart des élèves dans leur scolarité est modifié. Les énoncés « concrets » jusque maintenant utilisés en classe ne sont plus nécessaires et selon, la commission Lichnerowicz, ralentiraient les apprentissages des élèves.
Les programmes de 1945 sont alors jugés dépassés et l’on exige la modernisation de leurs contenus mais aussi des méthodes pédagogiques stipulées. D’après Renaud d’Enfert, « les réformateurs militent pour un enseignement des mathématiques modernes, mais aussi pour un enseignement moderne des mathématiques » . Cela est du notamment à la montée en puissance des « nouvelles technologies » telles que les ordinateurs demandant des connaissances nouvelles. Les réformateurs souhaiteraient une participation plus active des élèves dans les apprentissages mathématiques en leur demandant de concevoir, inventer par petits groupes de travail les différentes notions à apprendre. Ils remettent alors clairement en cause la méthode présente jusqu’alors dans tous lesmanuels de l’école primaire : la méthode inductive. On se rend bien compte de cela dans l’analyse que j’ai pu faire des manuels de cette époque. Un de ces réformateurs, Gilbert Walusinsky , dit à l’époque « changer les contenus de l’enseignement est une nécessité mais tout autant changer les méthodes. Les enfants doivent eux-mêmes participer à leur formation et non recevoir passivement et docilement un certain nombre de connaissances ».
Ces réformateurs souhaiteraient que ces changements portent sur les contenus d’apprentissages des mathématiques dans tous les degrés de la scolarité.

Les projets et nouveaux programmes mis en place en 1970

Les réflexions de l’Association des professeurs demathématiques de l’enseignement public (A.P.M.E.P.) et de l’Institut pédagogique national (I.P.N.) mènent à une modernisation des programmes prise en charge par la Commission ministérielle dirigée par Lichnerowicz.
Cette commission se réunit pour la première fois en février 1967. Elle est composée de 18 membres tous professeurs du secondaire ou du supérieur. C’est notamment pour cette raison que l’enseignement primaire n’est pas considéré comme prioritaire dans les travaux. Ce n’est qu’à partir de 1969, que la commission Lichnerowicz traite d’une rénovation des programmes de l’école primaire à mettre en place progressivement après que les maîtres aient eu une formation sur le sujet. C’est d’ailleurs cette même année que de nouveaux membres intègrent la commission appartenant à l’enseignementprimaire. Il est alors choisit de mettre en place un nouveau programme dès la rentrée scolaire de 1969 dans les écoles primaires qui doit être progressivement appliqué jusqu’à l’être entièrement à la rentrée de 1973. Ces programmes sont alors commentés afin d’expliciter aux maîtres les différentes notions abordées.

Les conséquences de la réforme

Cette réforme apporte de nombreux changements qui rompent avec les héritages de la Troisième République alors ancrés depuis de nombreuses années dans l’enseignement primaire. De tels changements sont forcément plus ou moins acceptés par les enseignants car pour eux ce sont les contenus mais aussi les méthodes pédagogiques à modifier. D’après l’analyse que j’ai faite de différents manuels de l’époque, on constate que les manuels changent aussi.
Il est difficile d’évoquer aujourd’hui comment ces « mathématiques modernes » ont été appréhendés par les enseignants. Nous imaginons que pour certains les changements semblaient trop importants et le passage s’est fait difficilement. De plus, un manque de formation est souvent évoqué par ceux-ci. On le remarque d’ailleurs dans certains manuels datant de l’époque du changement (1969-1970) où les éditeurs rajoutent dans les impressions une petite note ainsi que des exercices conformes aux « mathématiques modernes » telles que celle-ci-dessous, tirée du manuel Calcul, cours élémentaire première année , paru aux éditions Delagrave, en 1969.

Table des matières

INTRODUCTION
I. Histoire des chiffres et des nombres de leur apparition à nos jours
1. Les notions de « chiffre » et de « nombre »
a) Le chiffre
b) Le nombre
c) Différencier « chiffre » et « nombre »
2. Evolution des chiffres et des nombres au cours des civilisations anciennes
a) Premières apparitions de chiffres et de numérotations
b) Systèmes de numération en Mésopotamie
c) Système de numération en Egypte
d) Systèmes de numération en Grèce
e) Système de numération en Italie
3. Naissance et transmission de la numération décimale de position
a) Naissance de nos neuf chiffres en Inde
b) Le rôle de la civilisation arabe
c) La diffusion et le développement de la numération décimale en Europe occidentale
II. Evolution d’un apprentissage dans l’enseignement des mathématiques à l’école primaire : les nombres et la numération 
1. L’enseignement des nombres et de la numération au XIX e siècle
a) Les raisons de ces renouvellements
b) Le difficile accès à l’enseignement des mathématiques à l’école primaire
c) L’apport nouveau des Lois Ferry (1881-1882)
dans la discipline des mathématiques
2. L’enseignement des nombres et de la numération jusque dans les années 1960
a) L’influence des Lois Ferry du début du XXe siècle à 1914
b) L’enseignement des mathématiques dans l’entre-deux-guerres et jusque dans les années 1960
3. L’enseignement des nombres et de la numération
après l’avènement des « mathématiques modernes»
a) Contexte de la réforme
b) Les projets et nouveaux programmes mis en place en 1970
c) Les conséquences de la réforme
III. Exploitation pédagogique possible sur l’histoire des mathématiques à l’école 
1. Les mathématiques et l’histoire dans les programmes officiels de 2008 et les enjeux à l’école élémentaire
a) Les programmes de mathématiques aux cycles II et III
b) Les programmes d’histoire aux cycles II et III
c) Quels sont alors les intérêts d’une histoire des mathématiques pour des élèves de cycles II et III
2. Séances d’histoire des mathématiques au C.P. etau C.M.1
a) Une séance d’histoire des nombres
avec des élèves de cours préparatoire
b) Une séance d’histoire des nombres avec des élèves de C.M.1
CONCLUSION 
BIBLIOGRAPHIE 
SITOGRAPHIE

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