Soutenance mémoire
Hélium, superfluides et condensats de Bose-Einstein
Le 18 août 1868, l’astronome Jules Janssen observe une raie d’absorption à 587.49 nm dans le spectre du soleil ne correspondant à aucun des éléments chimiques connus sur Terre à l’époque. Il en déduit la présence sur le soleil d’un élément nouveau. En octobre de la même année, Norman Lockyer et Edward Frankland confirment l’observation et le nomment hélium. Suite à sa découverte sur Terre en 1895, de nombreuses études ont été consacrées à ce nouvel élément et notamment à son isotope le plus courant l’hélium-4 4He. Parmi elles, on peut noter les expériences du néerlandais Heike Kamerlingh Onnes en 1908 qui en refroidissant le gaz parvient pour la première fois à obtenir de l’hélium liquide. Il observe alors avec son équipe un phénomène étrange : la capacité calorifique du liquide varie de façon discontinue autour de la température Tλ = 2.2K. En étudiant le diagramme de phase , il découvre que celui-ci est différent d’un diagramme classique (en encart) : l’hélium reste liquide à pression atmosphérique quand la température T tend vers 0K. La transition lambda sépare deux phases de l’hélium 4: l’hélium I (T > Tλ) et l’hélium II (T < Tλ).
En 1938, Allen, Misener (Allen and Misener, 1938) et Kapitza (Kapitza, 1938) découvrent une nouvelle caractéristique de l’hélium-II : sa viscosité est très faible. Par analogie avec la supraconductivité (découverte en 1911 par Kamerlingh Onnes), on nomme cette propriété la superfluidité. La première explication de ce phénomène est due à London en 1938 (London, 1938). Il propose un lien entre la superfluidité et le mécanisme de la condensation de BoseEinstein. Il s’agit d’un état de la matière proposé par Satyendra Nath Bose (Bose, 1924) dans le cas des photons, puis étendu par Albert Einstein à un gaz dilué (Einstein, 1924). En étudiant les statistiques liées à la vitesse des particules quantiques, ils ont découvert que ces dernières ne suivent pas les mêmes lois que les particules classiques (la statistique de Maxwell-Boltzmann).
Le gaz de bosons est désormais nommé gaz de Bose, et on parle de condensats de Bose-Einstein pour décrire la fraction du gaz dans l’état de plus basse énergie. Ce phénomène est à l’époque complètement théorique car les températures nécessaires sont expérimentalement inaccessibles. Suite au développement des techniques de refroidissement par évaporation, puis par laser, les recherches expérimentales débutées dans les années 1970 ont fini par aboutir en 1995. Cette année là, Eric Cornell et Carl Wieman de l’université du Colorado à Boulder réalisent le premier condensat à partir d’un gaz de rubidium refroidit à 170nK (Anderson et al., 1995). Peu après, Wolfgang Ketterle obtient au MIT un condensat d’atomes de sodium (Davis et al., 1995). Pour ces réalisations, ils partagent le prix Nobel de physique en 2001.
Dus à leur faible rayon (de l’ordre de l’angström), les vortex quantiques dans l’hélium sont difficiles à observer expérimentalement: les premières images ont été obtenues par Bewley en 2006 à l’aide de particules d’hydrogène (Bewley et al., 2006). Grâce à un rayon plus important (de l’ordre du micromètre), les vortex dans les condensats de Bose-Einstein sont plus facilement observables. En 2001, il a été montré expérimentalement que les vortex quantiques existent également dans les condensats de Bose-Einstein par Madison (Madison et al., 2001) en utilisant un laser pour mélanger le fluide. Abo-Schaeer (Abo-Shaeer et al., 2001) a pu vérifier la même année que les vortex s’organisent en un réseau triangulaire prédit par Abrikosov dans le cas des supraconducteurs (Abrikosov, 1957).
Réduction de dimensions
Le potentiel Vtrap permet de contrôler la forme du condensat. Considérons le cas où ωx = ωy = ω⊥. En adaptant les rapports entre les fréquences ω⊥ et ωz, il est possible de donner au système une forme de cigare (ω⊥ ≫ ωz) ou de crêpe (ω⊥ ≪ ωz). Ces géométries permettent, sous certaines conditions sur les paramètres du condensat, de considérer le système comme uniou bidimensionnel.
Identification des vortex
Le travail présenté dans ce chapitre a fait l’objet d’un article soumis à la revue Computer Physics Communications : Victor Kalt, Georges Sadaka, Ionut Danaila, Frédéric Hecht, Identification of vortices in quantum fluids: finite element algorithms and programs.
Obtenir des informations sur les vortex est important pour mieux comprendre les propriétés du système. Cela permet, par exemple, d’étudier la formation de réseaux d’Abrikosov dans les condensats en rotation, ou la densité de ligne de vortex, paramètre important dans la turbulence superfluide.
Plusieurs méthodes ont été proposées pour extraire la position des vortex de simulations numériques. Villois et al. (2016) ont proposé de rechercher les zéros de la fonction d’onde à l’aide d’une méthode de Newton-Raphson. Une interpolation de Fourier est utilisée pour évaluer la fonction d’onde entre les points du maillage. Liu et al. (2020) ont présenté une méthode basée sur des graphes pour une visualisation en temps réel de la turbulence quantique. Une méthode d’optimisation locale nécessitant une interpolation reste cependant nécessaire pour identifier précisément la position du vortex. Ces algorithmes sont très précis mais présentent deux inconvénients: le temps de calcul ou le nombre de processeurs nécessaires sont importants. Une simulation de turbulence quantique de résolution 256 présentée par Villois et al. (2016) nécessite ainsi 6 heures de calcul sur 64 coeurs. De plus, l’utilisation de l’interpolation de Fourier est principalement adaptée aux simulations obtenues par une méthode spectrale, et donc avec un maillage régulier. Ce problème de régularité pourrait être résolu en utilisant une approche similaire à celle de Caliari and Zuccher (2017): une transformée de Fourier rapide adaptée à un maillage non-équidistant a été utilisée pour résoudre l’équation de Gross-Pitaevskii par une méthode de splitting sur un maillage irrégulier. Cependant, dans les cas où un grand degré de précision n’est pas nécessaire, une méthode plus simple serait utile.
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Table des matières
1. Introduction
1.1. Hélium, superfluides et condensats de Bose-Einstein
1.2. Objectifs et problématiques de la thèse
1.2.1. Problématiques étudiées
1.2.2. Objectifs de la thèse
1.3. Organisation du mémoire
2. Modélisation des superfluides par l’équation de Gross-Pitaevskii
2.1. Équation de Gross-Pitaevskii pour un gaz de Bose dilué
2.2. Énergie et équation de Gross-Pitaevskii avec rotation
2.3. Potentiel et régime de Thomas-Fermi
2.4. Analogie hydrodynamique
2.5. Vortex et anneau de vorticité
2.6. Réduction de dimensions
2.7. Adimensionnement
3. Identification des vortex
3.1. Principe de l’identification
3.2. Identification des vortex dans une simulation numérique 2D
3.3. Bibliothèque d’optimisation IPOPT
3.4. Identification des vortex dans une simulation numérique 3D
3.5. Identification des vortex dans les images expérimentales
3.6. Validation des algorithmes et résultats
3.6.1. Réseau d’Abrikosov 2D dense
3.6.2. Condensat de Bose-Einstein 3D
3.6.3. Vortex en noeud (vortex knot)
3.6.4. Ondes de Kelvin
3.6.5. Turbulence quantique en 3D
3.6.6. Réseau d’Abrikosov dans une image expérimentale
4. Résolution numérique de l’équation de Bogoliubov-De Gennes
4.1. Modèle de Bogoliubov-de Gennes
4.1.1. Modèle de Bogoliubov-de Gennes
4.1.2. États stationnaires de Gross-Pitaevskii
4.1.3. Condensats à deux composantes
4.1.4. Adimensionnement
4.2. Méthode de Newton pour la recherche des états stationnaires
4.2.1. Etat stationnaire à une composante
4.2.2. État stationnaire à deux composantes
4.3. Résolution de l’équation de Bogoliubov-de Gennes
4.4. Méthodes numériques
4.5. Validation du code et résultats numériques
4.5.1. État fondamental en 1D
4.5.2. Soliton en 1D
4.5.3. État fondamental en 2D
4.5.4. Vortex en 2D
4.5.5. Vortex central à partir de la limite linéaire
4.5.6. Soliton à partir de la limite linéaire
4.5.7. État fondamental en 3D
4.5.8. Soliton noir en 3D
4.6. Résultats numériques pour deux composantes
4.6.1. État noir – anti-noir en 1D
4.6.2. État vortex – vortex anti-noir en 2D
4.6.3. État anneau de vortex – anneau de vortex anti-noir en 2D
4.6.4. Bande de soliton noir-claire à partir de la limite linéaire
5. Couplage des équations de Navier-Stokes et Gross-Pitaevskii
6. Conclusion
