Soutenance mémoire
Groupes algébriques sur un corps quelconque
Dans toute la suite, par souci de clarté et pour distinguer les résultats propres à la topologie du corps de base, on désignera par la lettre minuscule k un corps quelconque. On la distinguera de la lettre majuscule K qui désignera toujours un corps local non archimédien. La lettre grecque κ désignera toujours, quant à elle, un corps fini. Pour toute la suite, on choisit une clôture séparable de k, notée ks, et une clôture algébrique de k contenant ks, notée k ; on note kp la clôture parfaite de k contenue dans k.
Groupes algébriques affines
On appelle k-groupe algébrique affine un k-schéma en groupes affines de type fini (au sens de [DG70, II.1.1]). Dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire, on supposera toujours qu’un k-groupe algébrique affine est lisse (ce qui coïncide avec la définition usuelle de [Bor91] par exemple, et on préférera la terminologie des schémas en groupes lorsqu’on travaillera sans hypothèse de lissité). On abrégera souvent le terme, par abus, en k-groupe. Un k-sous-groupe désignera un k-sous schéma en groupes fermé lisse (sauf mention explicite du contraire). On définit également la notion d’action d’un schéma en groupes affine sur un schéma affine en imposant la commutativité des diagrammes usuels. La composante neutre d’un k groupe, notée G◦ , désigne la composante connexe de l’élément neutre du k-groupe G. C’est un k-sous-groupe distingué. Si G désigne un groupe algébrique linéaire, on le fait agir sur lui même par conjugaison. On considère un sous-groupe H de G. On note NG(H) le normalisateur de H dans G et ZG(H) le centralisateur de H dans G. En particulier, on rappelle que l’on peut effectivement définir de tels schémas en groupes affines et de type fini (car ils sont représentables, voir [DG70, II.1.3] par exemple) mais qu’ils ne sont pas nécessairement lisses. Le groupe algébrique (non nécessairement lisse) ZG = ZG(G) (resp. C(G) = Z◦ G est appelé le centre (resp. centre connexe) de G. Lorsque H1 et H2 sont deux k-sous-groupes d’un k-groupe algébrique G, avec H1 connexe, on peut définir (voir [Bor91, 2.3]) le k-sous-groupe [H1, H2] de G engendré par les commutateurs de la forme [h1, h2] = h1h2h−1 1 h−1 2 avec h1 ∈ H1 et h2 ∈ H2. On définit alors le groupe dérivé d’un groupe connexe G par D(G) = [G, G]. On dit que G est résoluble si la suite dérivée descendante définie par G0 = G et Gi+1 = D(Gi) stationne en le groupe trivial.
Soient G, H des k-schémas en groupes affines de type fini et (Gi)i∈I une famille de k-groupes algébriques. Soit µ : H → G un k-homomorphisme de schémas en groupes plat et surjectif. On dit que le k-morphisme µ est une isogénie si son noyau est un groupe fini ; que c’est une isogénie centrale si ker µ ⊂ ZG. On dit que G est le produit direct (resp. presque direct, directement engendré) des Gi s’il existe un k-morphisme π : Q i∈I Gi → G qui est un isomorphisme de groupes (resp. une isogénie, un isomorphisme de variétés). En pratique, dans une telle écriture, les Gi désignent des sous-groupes de G et le morphisme π est induit par la multiplication.
On note g = Lie(G) l’algèbre de Lie de G et Ad : G → GL(g) la représentation adjointe. Sur la clôture algébrique k, on peut définir une décomposition de Jordan [Bor91, 4.5] d’un groupe algébrique Gk = Gs · Gu où Gs et Gu sont des sous ensembles de Gk constitués par l’ensemble des éléments respectivement semi simples et unipotents. On dit que G est unipotent si Gk = Gu. Dans ce cas, on peut descendre le k-schéma Gk = Gu en un l-schéma pour une extension l/k finie purement inséparable. Si l/k est une extension finie de corps (ou seulement finie plate d’anneaux noethériens ici), si G est un k-schéma en groupes, on note Gl le changement de base de k à l de G. Si H est un l-schéma en groupes, on définit [BLR90, 7.6] la restriction de Weil de l à k de H, notée Rl/k(H) comme l’unique foncteur en groupes représentable solution du problème universel : Rl/k(H)(A) = H(A ⊗k l)
pour toute k-algèbre A. Le foncteur Rl/k allant de la catégorie des l-schémas en groupes vers la catégorie des k-schémas en groupes est exact à gauche en tant qu’adjoint à droite du foncteur changement de base. On renvoie le lecteur à [CGP15, A.5] pour une étude plus approfondie des restrictions de Weil d’extensions de corps purement inséparables. Soient G un k-schéma en groupes affine de type fini et H un k-sous-groupe distingué de G. On peut définir [CGP15, A.1.11] un k-schéma en groupes affine de type fini G/H et un k-morphisme quotient G → G/H. Soit l/k une extension de corps. On définit le l-radical résoluble (resp. unipotent) de G comme le plus grand l-sous-groupe connexe fermé distingué et résoluble (resp. unipotent) de Gl . On le note Rl(G) (resp. Ru,l(G)).
Définition. Soit G un k-groupe algébrique connexe. On dit que G est semi-simple (resp. réductif, pseudo-réductif) si son k-radical résoluble (resp. k-radical unipotent, k-radical unipotent) est trivial.
Systèmes de racines et groupes radiciels d’un groupe réductif
Les définitions de [Bou81, VI] sont supposées connues, en particulier, on utilisera librement les notions de système de racines réduit ou non réduit, de base d’un système de racines, de rang d’un système de racines, de racine positive et de demi-système de racines positif, de groupe de Weyl, de plus haute racine, de système de racines irréductible.
Système de racines relatif à k
On considère un k-groupe algébrique connexe G et un tore k-déployé maximal S de G. On définit pour tout caractère a ∈ X∗ (S), le sous-espace ga = {X ∈ g, ∀s ∈ S, Ad(s)(X) = a(s)X}
Par définition, on appelle racine un caractère a ∈ X∗ (S) pour lequel ga 6= {0}. On notera Φ(G, S) l’ensemble de ces racines. Lorsque G est réductif, Φ(G, S) constitue un système de racines [Bor91, 21.1], noté plus simplement Φ lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté. Ce système de racines ne dépend pas du choix de S par conjugaison k-rationnelle des tores k-déployés maximaux [Bor91, 20.9 (ii)]. On l’appelle le système de racines relatif à k et ses éléments seront appelés des racines relatives.
En général, ce système de racines n’est pas réduit. On note (a) = R+a ∩ Φ le rayon radiciel d’une racine a ∈ Φ. On rappelle qu’on a la disjonction : soit (a) = {a}, soit (a)= {a, 2a}, soit (a) = { 1 2 a, a} [Bou81, VI.1.3 proposition 8].
Définition. On dit que a ∈ Φ est multipliable si 2a ∈ Φ, et que a est non multipliable sinon. On dit que a ∈ Φ est divisible si 1 2 a ∈ Φ, et que a est non divisible sinon. En général, on désignera par les lettres latines a, b, c les racines relatives de G par rapport à k. Pour toute partie Ψ de Φ, on notera Ψnd l’ensemble des racines non divisibles de Ψ et Ψnm l’ensemble des racines non multipliables de Ψ.
Étant données deux racines distinctes a et b, on note (a, b) = {ra + sb ∈ Φ, r, s ∈ N ∗}. On dira qu’une partie Ψ de Φ est close si pour tout a, b ∈ Ψ, on a l’inclusion (a, b) ⊂ Ψ ; et que Ψ est positivement close si Ψ est close et s’il existe un demi-espace contenant Ψ.
Système de racines absolu
Lorsque le corps de base k n’est pas séparablement clos, un tore k-déployé maximal peut ne pas être un tore maximal. Néanmoins, lorsque le k-groupe algébrique lisse G est connexe, un théorème de Grothendieck [SGA3, XIV 1.1] (dû à Rosenlicht lorsque k est parfait) nous assure que G admet un tore maximal T défini sur k (i.e. Tk est un tore maximal de Gk ). Comme tout k-tore se déploie sur une extension (finie) séparable de k, on peut obtenir davantage de caractères par extension des scalaires jusqu’à la clôture séparable.
On suppose à nouveau que G est réductif. On note ek la plus petite extension de k déployant T (déterminée au choix près d’une clôture algébrique k de k). On rappelle [BrT84, 4.1.2] que ek est en fait la plus petite extension qui déploie G en tant que groupe réductif au sens de la définition 1.1.7. On note Φe = Φ(Gek , Tek ) le système de racines réduit du groupe réductif déployé Gek par rapport à un tore maximal ek déployé Tek [Bor91, 14.8]. On l’appelle système de racines absolu. En général, on désignera par les lettres grecques α, β, γ les éléments de Φe ; on les appelle des racines absolues. On peut justifier cette terminologie par le fait qu’on a « fait le plein» de racines en passant à ek car cette extension déploie le groupe réductif G ; autrement dit, on a les isomorphismes canoniques de systèmes de racines Φ = Φ( e Gks , Tks ) = Φ(Gk , Tk ).
|
Table des matières
Introduction
I Groupes pseudo-réductifs en caractéristique positive
II Théorie de Bruhat-Tits
III Groupes profinis et sous-groupes de congruence
IV Principaux résultats de la thèse
V Guide de lecture
1 Préliminaires
1.1 Groupes algébriques sur un corps quelconque
1.1.1 Groupes algébriques affines
1.1.2 Systèmes de racines et groupes radiciels d’un groupe réductif
1.1.3 Déploiement, quasi-déploiement, (an)isotropie et ploiement
1.1.4 Donnée de groupes radicielle
1.1.5 Action-∗ sur un diagramme de Dynkin
1.1.6 Paramétrage des sous-groupes de rang 1 via les systèmes de
Chevalley-Steinberg
1.1.7 Simplicité
1.1.8 Relations de commutation dans un groupe quasi-déployé
1.2 Immeubles
1.2.1 Systèmes de Coxeter et systèmes de Tits
1.2.2 Immeubles et propriétés métriques
1.3 Éléments de théorie de Bruhat-Tits
1.3.1 Corps local
1.3.2 Valuations d’une donnée de groupes radicielle
1.3.3 Ensembles de valeurs
1.3.4 L’immeuble de Bruhat-Tits attaché aux points rationnels
1.3.5 Modèles entiers
1.3.6 Système de Tits affine et bornologie
1.4 Groupes profinis
1.4.1 Définitions et exemples naturels
1.4.2 Questions de présentation
1.4.3 Sous-groupes profinis d’un corps local
2 Sous-groupes compacts maximaux
2.1 Introduction
2.1.1 Existence de sous-groupes compacts maximaux
2.1.2 Groupes algébriques sur des corps imparfaits
2.1.3 L’apport de la topologie du corps de base
2.2 Quelques extensions de groupes topologiques
2.2.1 Groupes topologiques noethériens
2.2.2 Une suite exacte déduite de morphismes de K-schémas
2.2.3 Existence d’un sous-groupe pro-p ouvert
2.3 Sous-groupes compact et ouverts
2.4 Groupes quasi-réductifs
2.4.1 Le cas d’un groupe commutatif quasi-réductif
2.4.2 Le cas d’un groupe pseudo-réductif
2.4.3 Cas général
2.5 Démonstration de l’équivalence du théorème
3 Sous-groupes pro-p maximaux
3.1 Introduction
3.1.1 Conjugaison et description des sous-groupes pro-p maximaux
3.1.2 Utilisation des immeubles et des modèles entiers
3.2 Démonstration du théorème de conjugaison
3.3 Modèles entiers
3.3.1 Noyau du morphisme de réduction
3.3.2 Sous l’hypothèse de simple connexité
3.3.3 Donnée de groupes radicielle valuée dans le cas d’un groupe simplement connexe quasi-déployé
3.4 Description utilisant l’action sur l’immeuble
3.5 Sous-groupes d’Iwahori
4 Générateurs d’un pro-p Sylow
4.1 Introduction
4.1.1 Nombre minimal de générateurs
4.1.2 Pro-p-Sylows et leurs sous-groupes de Frattini
4.1.3 Structure de ce chapitre
4.2 Sous-groupes de rang 1
4.2.1 Le cas réduit
4.2.2 Le cas non réduit
4.3 Théorie de Bruhat-Tits : cas quasi-déployé
4.3.1 Description d’une alcôve fondamentale par ses cloisons
4.3.2 Nombre d’alcôves dans un résidu de cloison
4.3.3 Action sur une boule combinatoire unité
4.4 Calculs en rang supérieur
4.4.1 Relations de commutation des groupes radiciels d’un groupe quasidéployé
4.4.2 Génération d’éléments unipotents grâce aux relations de commutation entre sous-groupes valués des groupes radiciels
4.5 Ensemble minimal de générateurs
4.5.1 Le sous-groupe de Frattini
4.5.2 Nombre minimal de générateurs
Conclusion
Télécharger le rapport complet
