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GEOMETRIES FRACTALES
Le mot fractale est inventé par Benoit Mandelbrot dans les années 70, les différentes recherches concernant les antennes qui utilisent les formes géométries fractales prennent de l’envergure dans le monde des recherches scientifiques. Les géométries fractales ouvrent des nouvelles portes dans les domaines des recherches.
Définition fractale
Une figure fractale est une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou aléatoires impliquant une homothétie interne. Le terme fractale vient de la racine du mot latin fractus qui signifié brisée ou irrégulier.
Un objet fractale doit combiner les caractéristiques suivants :
✦ Ses parties ont la même forme ou structure que le tout, que ce soit à une échelle différente ou légèrement déformée.
✦ Sa forme est, soit extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, quelle que soit l’échelle d’examen.
Dimension fractale
La dimension fractale D ou dimension de similarité, est le nombre qui quantifie le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique ou d’un objet naturel. La dimension fractale est aussi une mesure de la façon dont la forme fractale occupe l’espace.
En augmentant à l’infini l’irrégularité de cette ligne, son irrégularité serait telle que la ligne semblerait avoir une surface alors que, par définition, une ligne n’a pas de surface. Ce ne serait donc plus vraiment une ligne, à une dimension, ni tout à fait une surface, à deux dimensions. En effet, les fractales ont des dimensions fractionnées et ils existent des méthodes pour estimer celle de certains objets naturels comme les côtes. Les Fractales présentent donc des dimensions qui ne seraient pas seulement des entiers naturels ; nous citons par exemple le cas des poussières qui représentent des ensembles discontinus des points ayant une dimension entre 0 et 1. Les courbes ou les surfaces planes ont une dimension entre 1 et 2. Les objets qui ont un volume (cristaux, éponges…) ont une dimension entre 2 et 3.
Caractéristiques des fractales
Un objet fractale possédé au moins une des caractéristiques suivants :
● sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d’un objet fractale. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d’irrigation est un déploiement de lignes (« en 1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en 2D ») est repliée en une sorte de volume (« en 3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non entière.
● il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
● il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en terme géométrique traditionnel;
● il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c’est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties.
Dimension topologique
Dans le monde de la mathématique, il y a plusieurs façons de définir la dimension topologique. Mais pour la plupart, nous respectons la dimension topologique comme dimension habituelle. On peut dire que deux objets sont de même dimension topologique si c’est possible de transformer l’un vers l’autre à l’aide d’un homéomorphisme .
Dimension de Hausdorff-Besicovitch
En mathématique, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d’un espace métrique (X, d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l’infini, introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Samoilovitch Besicovitch. Elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch.
Lacunarité d’un objet fractale
La lacunarité d’un objet fractale est le nombre qui quantifie la distribution de la taille des trous dans un objet fractale .
Autosimilarité
Si on examine une courbe fractale à n’importe quelle échelle, on constatera les mêmes détails. Ceci est une propriété importante de toute structure fractale désignée par le terme autosimilarité, homothétie interne ou encore invariance d’échelle. Les majorités des fractales respectent cette propriété. Suite à des observations, les mathématiciens seront amenés à créer d’autres objets qui se répètent à l’infini. Ces figures ainsi construites auront parfois des propriétés assez étranges qui perturberont plusieurs certitudes bien établies.
Construction des figures fractales
▶ Les L-SYSTEMS
Comme l’affirme Mandelbrot, les fractales constituent la géométrie de la nature. Il n’est donc pas surprenant que le biologiste Aristid Linden Mayer ait eu recours à un processus fractal pour décrire la croissance des végétaux. En effet, en 1968, il publia un article dans lequel il formalise la description de la croissance d’une plante. C’est ce qu’on appelle les L-system. Ceux-ci se prêtent très bien à une implémentation informatique. Un L-system est essentiellement une chaîne de caractère, régie par un ensemble de règles de production, qui évolue en fonction du temps. Les caractères représentent une interprétation graphique. Par exemple, on pourrait avoir que « F » signifie « trace un segment de longueur l », « + » signifie « change la direction de ? degrés » et « – » signifie « change la direction de −? degrés ». En partant d’un axiome (chaine de caractère de départ), on remplace chaque caractère par une chaine qui lui est associée selon la règle de production. On recommence à chaque unité de temps. Pour un temps t, on a une chaine de caractère qui peut donc être interprétée graphiquement. La fractale est obtenue au temps infini. Formellement, on ´écrit un L-system par son nom, son axiome et ensuite ses règles de production. Remarquons qu’en plus de se mouler parfaitement au modèle des végétaux, les L-systems permettent de représenter d’autres fractales connues.
▶ Le système de fonction itérative ou IFS (Iterated Function System) A la suite du célèbre livre de Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, Hutchinson a proposé une technique simple de construction de fractale qui fut améliorée par Barnsley. Il s’agit de la technique des IFS. Considérons un ensemble de transformation qui a la propriété d’être des contractions. Partant de n’importe quelle image, on lui applique chacune des transformations et on fait l’union des figures obtenues. A partir de cette nouvelle image, on reprend le processus et ce indéfiniment. La figure de convergence est une fractale nommée attracteur et elle est unique pour un système de fonction donné. Cette méthode présente les avantages d’être simple donc facile à programmer, de contenir toute l’information d’un dessin complexe dans quelques équations et de regrouper plusieurs fractales dans une approche unifiée.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE I : GEOMETRIES FRACTALES
1. Définition fractale
2. Dimension fractale
3. Caractéristiques des fractales
a) Dimension topologique
b) Dimension de Hausdorff-Besicovitch
4. Lacunarité d’un objet fractale
5. Autosimilarité
6. Construction des figures fractales
7. Présentation des fractales par leur dimension
a) Courbes fractales
b) Surfaces fractales
c) Volumes fractales
8. Application des formes fractales
9. Exemples de fractale
a) Forme de fractale de Mandelbrot
b) Ensemble de Julia
10. Les fractales dans la nature
a) Fractale dans les végétaux
b) Fractales dans le corps humain
CHAPITRE II : GENERALITES SUR LES ANTENNES
1. Définition
2. CARACTERISTIQUES ANTENNES
a) Caractéristiques électrique
b) Caractéristique de rayonnement
3. Différents types d’antenne
a) Antennes filaires
b) Planar Inverted F Antenna
c) Antennes patch
d) Antennes directives
e) Antennes à ouverture
CHAPITRE III : PIEZOELECTRIQUE
1. Magnétoélectrique
a) Effet magnétoélectrique intrinsèque
b) Effet magnétoélectrique extrinsèque
c) Couple magnéto-mécanique
d) Couple électromécanique
2. Définition de la piézoélectricité
3. Matériaux piézoélectrique
4. Phénomènes de polarisation
a) Polarisation électronique
b) Polarisation ionique (ou atomique)
c) Polarisation dipolaire (ou d’orientation)
d) Polarisation interfaciale
5. Cycle d’Hystérésis
6. Propriété piézoélectrique pour une conversion électromécanique
7. Equations de la piézoélectricité
8. Caractéristiques électriques et mécaniques des matériaux piézoélectriques
9. PZT
CHAPITRE IV : METHODE DU GUIDE RECTANGULAIRE
1. Introduction de la méthode
2. Principe de la méthode du raccordement modal
3. Problème direct
4. Calculs des coefficients de transmission et de réflexion
5. Problème inverse
CHAPITRE V : MODELISATION MULTIPHYSIQUE ET RESULTATS DE SIMULATION
1. Modélisation de l’effet magnétoélectrique
a) Equations d’équilibre
b) Loi de comportement
c) Formulation du couplage magnétoélectrique par une approche thermodynamique
2. Logiciel Comsol Multiphysics
a) Présentation du logiciel comsol
b) Construction d’un modèle dans Comsol
c) Procédure pour la modélisation
3. Méthode des éléments finis sous comsol
a) Maillage
b) Condition aux limites
c) Solveur
d) Critère de convergence
4. Résultats des simulations
a) Résultats des simulations sous comsol
b) Résultats du problème inverse calculé sous Matlab
5. Discussion des résultats
a) Discussion des résultats sous comsol
b) Discussion du problème inverse
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXE
