Soutenance mémoire
L’objet de cette thèse est l’étude d’invariants classiques et avancés pour les nœuds transverses dans les variétés de contact de dimension 3. Dans une variété de dimension 3, une structure de contact ξ est un champ de plans qui est localement donné par l’équation
dz − ydx = 0.
Si ce champ de plans est coorienté, on peut alors le décrire comme le noyau d’une 1-forme différentielle, appelée forme de contact. Dans une variété de contact (V, ξ), on s’intéresse à des types de nœuds particuliers. Un nœud L de V est legendrien (respectivement transverse) s’il est en tout point tangent (respectivement transverse) aux plans de ξ. Deux nœuds legendriens (respectivement transverses) L1 et L2 sont équivalents s’ils sont reliés une isotopie legendrienne (respectivement transverse), c’est-à-dire une isotopie entre L1 et L2 et qui envoie L1 sur un nœud legendrien (respectivement transverse) en tout temps. Par une application du théorème de Darboux et de l’astuce de Moser, une isotopie legendrienne (ou transverse) peut toujours être étendue en une isotopie de contact de la variété ambiante. Dans la suite, une isotopie de nœuds (quelconques) est également appelée isotopie lisse.
Les invariants de nœuds legendriens et transverses se classent en deux catégories : les invariants classiques, comme le nombre de Thurston-Bennequin (pour les nœuds legendriens) ou l’autoenlacement (pour les nœuds transverses) et les invariants avancés comme l’homologie de contact suturée ou l’homologie de contact plongée suturée. Il est intéressant de comprendre les différences entre les nœuds legendriens et les nœuds classiques. Tout d’abord grâce au théorème de Darboux, on sait que tout nœud peut être rendu legendrien par une isotopie C0 petite.
Géométrie de contact
Théorie des nœuds
Soit V une variété de dimension 3. Un nœud est un plongement φ de S1 dans V . Un diagramme d’un nœud est une projection sur un plan qui est une immersion et sur laquelle tous les points multiples sont doubles, transverses et isolés. On peut alors facilement représenter sur le diagramme d’un nœud quel brin passe dessus ou dessous lors d’un croisement. Par abus de langage, on appelle indistinctement nœud un plongement de S1 , son image ou son diagramme. Le nœud trivial est alors le nœud dont un diagramme ne possède aucun croisement.
On définit maintenant une classe d’équivalence sur les nœuds. Deux nœuds K1 et K2 de V seront dits équivalents s’il existe une isotopie ambiante lisse les reliant, c’està-dire une isotopie (ft)t∈I sur V de classe C∞ telle que f0 est l’identité, f1(K1)= K2 et ft est un difféomorphisme pour tout t. Si de plus, les nœuds sont orientés, on demande que f1 respecte l’orientation. Un abus de langage courant consiste à omettre les termes ambiant et lisse quand on parle d’isotopie de nœuds. Maintenant que l’on a une notion d’équivalence, on peut s’intéresser à la classification des nœuds à isotopie (lisse) près. Établir une telle classification passe par la recherche d’invariants. Un invariant est la donnée d’une valeur (réelle, polynomiale, …) pour chaque nœud, telle que cette valeur reste constante sur chaque classe d’isotopie lisse .
Pour trouver de tels invariants, il est intéressant de comprendre comment les isotopies lisses agissent sur les diagrammes de nœuds. Sur un diagramme de nœuds, il y a trois opérations élémentaires, appelées mouvements de Reidemeister .
Ces mouvements sont des modifications locales de diagrammes. Ils nous permettent de coder l’action des isotopies lisses sur les diagrammes.
Théorème 1.1. [Rei27][AB26] Deux nœuds sont équivalents si et seulement si leurs diagrammes sont reliés par une suite finis de mouvements de Reidemeister et d’isotopies planaires.
Il est maintenant plus facile de créer des invariants qui se calculent sur les diagrammes de nœuds. En effet, pour vérifier qu’un tel invariant est bien constant sur les classes d’isotopie lisse de nœuds, il suffit de vérifier qu’il reste invariant par les mouvements de Reidemeister et par les isotopies planaires. Des exemples de tels invariants sont nombreux : tricolorabilité, polynôme d’Alexander, polynôme de Jones…
Géométrie de contact
Structures de contact
Définition 1.2. Soit V une variété de dimension 3. Une structure de contact ξ sur V est un champ C∞ de plans tangents défini localement comme le noyau d’une 1 forme différentielle α telle que
α ∧ dα ≠ 0 (1.1)
en tout point de V . On dit alors que (V, ξ) est une variété de contact, que α est une forme de contact et que les plans définis par ξ sont appelés plans de contact.
Pour mieux visualiser cette condition de contact, il suffit de comprendre qu’elle implique que les sous-variétés intégrables (i.e. tangentes aux plans de contact en tout point) sont de dimension au plus 1. Ce qui implique que α ∧ dα est une forme volume sur V . On peut choisir de prendre des structures de contact orientées. Cela signifie que les plans sont orientés : chaque plan sépare l’espace en deux parties, on peut donc en choisir une partie positive et l’autre négative. Dans le cas des structures de contact, on demande que α∧dα soit une forme volume strictement positive sur V c’est-à-dire α ∧ dα > 0.
Remarque 1.3. : La forme de contact décrivant une structure de contact n’est pas unique. Il suffit par exemple de la multiplier par n’importe quelle fonction jamais nulle pour obtenir une autre forme de contact décrivant la même structure de contact. En effet si α est une forme de contact décrivant ξ et f une fonction jamais nulle, alors
f · α ∧ d(f · α) = f²· α ∧ dα ≠ 0 .
et donc f · α est une forme de contact décrivant également ξ. Un champ de vecteurs dont le flot préserve la structure de contact est appelé champ de contact. On peut aussi regarder les champs de vecteurs conservant la forme de contact.
Définition 1.4. Le champ de Reeb associé à α est Rα un champ de vecteurs sur V tel que
α(Rα) = 1 et dα(Rα, ·) = 0.
Le champ de Reeb est un champ de contact car son flot préserve la forme de contact. Le flot du champ de Reeb est appelé flot de Reeb et ses orbites sont appelées orbites de Reeb.
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Table des matières
Introduction
1 Géométrie de contact
1.1 Théorie des nœuds
1.2 Géométrie de contact
1.2.1 Structures de contact
1.2.2 Exemple fondamental
1.2.3 Classification des structures de contact
1.3 Surface dans une variété de contact
1.4 Nœuds legendriens et transverses
1.4.1 Nœuds dans une variété de contact
1.4.2 Réalisation de nœuds legendriens
1.4.3 Voisinage legendrien standard
1.4.4 Invariants classiques
1.4.5 Stabilisations legendriennes et transverses
1.4.6 Rocades legendriennes
1.4.7 Relations entre nœuds legendriens et nœuds transverses
1.5 Livres ouverts
1.5.1 Définitions
1.5.2 Classifications
1.5.3 Construction de livres ouverts
1.5.4 Inclusion de nœuds
1.6 Surfaces branchées et domaines fibrés
2 Relation entre les conjectures de finitude
2.1 Finitude des nœuds transverses
3 Triangulations et Domaines fibrés
3.1 Triangulations de contact
3.1.1 Définitions
3.2 Triangulations de contact sur les variétés à bord
3.2.1 Un cas particulier de variété à bord
3.2.2 Triangulation lisse sur ∂V˜
3.2.3 Rendre les 1-simplexes legendriens
3.2.4 Convexité des 2-simplexes
3.2.5 Extension à V˜
3.3 Minimalité de la triangulation de contact
3.4 Maniabilité de la triangulation de contact
3.5 Extension des triangulations de contact
3.5.1 Triangulation de contact sur V
3.5.2 Généralisation aux variétés à bord
3.5.3 Propriétés des triangulations de contact
3.6 Prismes et domaines fibrés
3.6.1 Prismes fibrés
3.6.2 Une première normalisation
3.6.3 Holonomie
3.6.4 Une propriété fondamentale sur les prismes fibrés
3.6.5 Construction des domaines fibrés
3.7 Ajustement des structures de contact
3.7.1 Poids des structures
3.7.2 Lemme d’élagage
3.7.3 Domaine fibré sur V˜
3.7.4 Retour sur V
3.8 Méthode alternative
4 Transformations et stabilisation
4.1 Définitions
4.1.1 Modification de Lutz
4.1.2 Vrille
4.1.3 Composante de Reeb
4.2 Calcul d’invariants après modification de Lutz
4.3 Division des domaines fibrés en tores
4.4 Cas modèle
4.5 Retour à la conjecture de finitude
4.6 Disjonction des modifications de Lutz
4.6.1 Étude locale de l’embranchement
4.6.2 Diminution du coefficient
4.6.3 Disjonction locale
4.6.4 Problèmes pour la disjonction globale
5 Invariants avancés
5.1 Homologie de contact
5.1.1 Structures presque complexes et courbes holomorphes
5.1.2 Homologie de contact totale
5.1.3 Homologie de contact cylindrique
5.1.4 Homologie de contact linéarisée
5.2 Croissance de l’homologie de contact
5.2.1 Taux de croissance
5.2.2 Croissance de systèmes inductifs
5.2.3 Croissance d’homologies
5.3 Homologie de contact suturée
5.3.1 Invariant avancé pour les nœuds transverses
5.4 Un calcul d’invariant avancé
5.4.1 Coefficients de twist de Dehn fractionnaire
5.4.2 Utilisation de livres ouverts
Conclusion
