Soutenance mémoire
Les surfaces gauches sont utilisées actuellement dans divers domaines d’activité tels que la définition de moules ou de matrices d’emboutissage. Vu la complexité de la géométrie des surfaces utilisées pour ce type d’applications, ces surfaces exigent un niveau de qualité élevé et des défauts de formes réduits. Ceci rend leur usinage long, coûteux et est peu optimisé à ce jour. Bien que plusieurs représentations mathématiques des surfaces existent, la représentation paramétrique est utilisée la plupart du temps, pour sa commodité et sa généralité. Pour cela, plusieurs modèles mathématiques ont été développés depuis le siècle dernier, à savoir les surfaces de Bézier, les B-splines et les surfaces NURBS. Ces modèles permettent de décrire des surfaces, tel que la sphère, que la représentation algébrique ne permet pas.
Les avancées technologiques réalisées durant le siècle dernier, dans le domaine de la Conception et Fabrication Assistées par Ordinateur (CFAO) permettent aujourd’hui de modéliser et d’usiner de telles surfaces à l’aide de Machine-Outil à Commande Numérique (MOCN). Ces machines permettent d’enlever la matière à l’aide d’un outil qui peut parcourir la surface en se déplaçant selon trois axes de translation, ce qui lui permet d’accéder de façon unique à n’importe quel point de la surface. Cette opération définie l’usinage en 3-axes. En plus des translations, certaines machines offrent la possibilité d’un déplacement relatif de l’outil par rapport à la surface selon 2 axes de rotations, ce qui permet à l’outil d’accéder à n’importe point de la surface par une infinité de façons. Cette opération définie l’usinage en 5-axes. Parmi les avantage de l’usinage 5-axes on peut mentionner une visibilité accrue de la surface pièce par l’outil. La visibilité d’une pièce est définie par la capacité de l’outil à accéder à cette pièce dans une configuration pièce-machine donnée. La configuration pièce machine inclut les positions relatives de la pièce, du bâti de la machine, du montage d’usinage, de l’outil et du porte-outil. L’étude de la visibilité a pour but d’éviter l’interférence globale; c’est à dire l’interférence entre les divers éléments de la configuration d’usinage hors de la proximité immédiate du point de contact outil pièce. Par opposition, l’interférence locale correspond à l’interférence entre l’outil et la pièce à proximité du point de contact outil-pièce.
Généralités sur l’usinage en bout des surfaces gauches
L’usinage en bout
L’usinage entre dans la gamme de fabrication des pièces mécaniques. Il consiste à réaliser des pièces par enlèvement de matière en respectant l’état de surface, les tolérances de formes et la géométrie spécifiée par le dessin de définition. À chaque phase de la gamme de fabrication, le bureau des méthodes choisit la machine, le type d’usinage à réaliser, l’outil ainsi que le support de pièce permettant l’obtention de tous les éléments de cotation de la surface considérée. Il existe principalement deux types d’opérations d’usinage : le tournage et le fraisage. Le tournage consiste à usiner une surface avec un mouvement de coupe obtenu par rotation de la pièce serrée entre les mors d’un mandrin et un mouvement d’avance obtenu par le déplacement de l’outil coupant. Cette opération est utilisée pour usiner des surfaces de révolution. Le fraisage résulte quant à lui d’un mouvement de rotation de l’outil de coupe d’une part, et de l’avance de la pièce à usiner d’autre part. Le fraisage présente plusieurs avantages tels qu’un rendement élevé, un bon fini de surface, une haute précision et une grande souplesse au niveau de la génération de différentes formes. Trois types de fraisages peuvent être distingués : le fraisage en bout, le fraisage en roulant et le fraisage combiné. Le fraisage en bout (figure 1.1) est le plus répandu en industrie, car il permet de réaliser des surfaces complexes obtenues par un travail d’enveloppe généré par la rotation conjuguée au déplacement de l’outil. Dans ce procédé d’usinage, l’outil est tangent à la surface à usiner au point de contact. La partie de l’outil jouant un rôle important dans ce type de fraisage est le bout de l’outil. En effet, selon la forme de l’outil , la trace laissée sur la surface et la quantité de matière enlevée diffèrent. L’aspect visuel d’une surface usinée en fraisage en bout est caractérisé par une série de surfaces sécantes correspondant aux traces laissées par les dents de la fraise sur la pièce.
Le fraisage en bout peut être réalisé sur des machines-outils à commande numérique (MOCN) 3- axes ou 5-axes. Pour les machines 3-axes, l’outil se déplace suivant trois axes orthogonaux X, Y et Z, le positionnement de l’outil pour accéder à un point de la surface est unique. Ce positionnement peut être défini par un seul point appelé point centre-outil [64]. L’usinage avec des MOCN 5-axes offre plus de liberté de positionnement de l’outil sur la surface . Il existe une infinité de solutions pour amener l’outil tangent à la surface au point de contact.
Les surfaces gauches
Il existe plusieurs définitions pour les surfaces gauches; nous choisissons celle qui consiste à définir une surface gauche comme toute surface non-développable. Pour définir les surfaces développables, il faut d’abord définir les surfaces réglées : Par chaque point d’une surface réglée passe une droite, appelée génératrice, contenue dans la surface. Soit C1 et C2 deux courbes paramétriques, f une fonction de [0,1] dans [0,1], l’équation 1.1 donne la représentation paramétrique d’une surface réglée quelconque.
∀(u, v) ∈ [0,1]² , S(u, v) = (1−v)C1(u) +vC2(u+ f(u)) (1.1)
Une surface réglée telle que son plan tangent reste le même le long d’une génératrice est dite développable. En pratique une surface développable peut être aplatie sans modifier la distance géodésique [13] entre aucune paire de points. Dans ce sens les surfaces gauches sont les surfaces qu’on ne peut pas aplatir sans modifier la distance entre au moins deux points.
Stratégies d’usinage
La planification de trajectoires d’usinage est un problème très vaste et délicat à modéliser. En effet, l’objectif est de trouver une trajectoire qui minimise le temps d’usinage sous contraintes de qualité; il est cependant difficile de décrire n’importe quelle trajectoire avec un nombre raisonnable de variables. De plus, la hauteur de crête doit être évaluée sur un grand nombre de points, ce qui rend l’évaluation des contraintes dans le cas général très coûteuse. En pratique, des stratégies pour générer des trajectoires d’outil sont utilisées. Ces stratégies sont des heuristiques qui permettent de réduire considérablement l’espace de recherche et le nombre de paramètres décrivant la trajectoire, ce qui facilite la planification. Bien que les solutions trouvées par ces stratégies soient sous-optimales, elles demeurent nettement meilleures qu’une solution triviale, car les stratégies d’usinages contiennent souvent de la connaissance métier. Parmi les stratégies d’usinage les plus connues, on peut citer :
— Surface guide
Cette stratégie définit la trajectoire de l’outil à partir d’une surface intermédiaire appelée surface guide. L’outil se déplace tout en restant en contact avec la surface à usiner et la surface guide (figure 1.8). La position de l’outil est déterminée avec un calcul numérique itératif [10, 11] assez lourd en termes de temps de calcul. Les auteurs de [40] préconisent une surface guide assez facile à construire et surtout compatible avec la surface à usiner.
— Plans parallèles
Cette stratégie est la plus utilisée et maîtrisée en industrie, de par sa simplicité d’implémentation et son efficacité. Elle consiste à usiner la surface selon des plans parallèles (figure 1.9); la distance entre deux plans successifs est définie à partir de la contrainte de hauteur de crête. La stratégie plans parallèles en 3 axes s’appuie sur:
— la direction d’usinage, qui détermine l’orientation des plans;
— le pas transversal, issu de la trajectoire précédente en satisfaisant la contrainte de hauteur de crête en tout point;
— le pas longitudinal; Pour une erreur de corde fixe, plus la surface est courbée plus le pas est petit, ce qui augmente le nombre de points d’interpolation de la trajectoire outil;
— la géométrie de l’outil, qui détermine, pour une orientation donnée, le rayon effectif de l’outil et par la suite le pas transversal.
Lorsqu’on usine en plans parallèles selon une direction donnée, il est possible d’usiner tous les plans dans le même sens, ce qui définit une stratégie de type one way. On peut aussi, alterner le sens d’un plan à l’autre, ce qui définit une stratégie de type zigzag. En fonction du directeur de commande numérique (DCN) utilisé, les trajectoires peuvent être exprimées sous forme de segments de droite, d’arcs de cercle, de courbes B-spline ou de NURBS. Pour optimiser la stratégie plans parallèles, il est possible de choisir le premier plan parallèle à la frontière de plus grande longueur, ou le plan avec la passe de largeur maximale. Ensuite, on peut aussi découper la surface en zones fortement inclinées, qui seront usinées selon des plans normaux à l’axe de l’outil, et des zones faiblement inclinées, usinées selon des plans contenant l’axe de l’outil [52]. Ce découpage donne un résultat largement sous optimal mais néanmoins souvent meilleur que l’usinage de toute la surface en une seule zone.
— Isoparamétriques
Cette stratégie consiste à usiner la surface selon des courbes isoparamétriques . Une courbe isoparamétrique d’une surface S(u, v) est la courbe de la surface telle que le paramètre u (ou v) est constant. Il s’agit donc de trouver une séquence du paramètre u ou v dans [0,1] telle que toute la surface soit usinée en respectant la contrainte de hauteur de crête. La stratégie isoparamétrique est plus rapide en terme de temps de calcul, car elle ne nécessite pas de calcul d’intersections entre surfaces contrairement aux stratégies surface guide et plans parallèles. Cependant, le résultat dépend du choix du paramètre à fixer (u ou v). Le problème majeur de la stratégie isoparamétrique tient au fait que des trajectoires redondantes risquent d’apparaître, ce qui affecte la qualité de l’usinage. De plus, la mise en œuvre de cette stratégie est compliquée pour les surfaces composées de plusieurs carreaux paramétriques. Une amélioration de la stratégie isoparamétrique est proposée par [29], en utilisant des iso-courbes adaptatives.
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Table des matières
Introduction
1 Généralités et prérequis
1.1 Généralités sur l’usinage en bout des surfaces gauches
1.1.1 L’usinage en bout
1.1.2 Les surfaces gauches
1.2 Types d’outils
1.3 Stratégies d’usinage
1.4 Éléments de statistique
1.4.1 Moyenne et médiane
1.4.2 Variance et écart-type
1.4.3 Covariance et corrélation
1.4.4 Analyse en composantes principales
1.5 Optimisation de boite noire et sans dérivées
1.6 Calcul des temps et longueur d’usinage
1.6.1 Longueur de trajectoire
1.6.2 Temps d’usinage
2 Approximation des surfaces gauches
2.1 Introduction et motivation
2.2 Étude des surfaces planes
2.2.1 Problématique de choix d’outil
2.2.2 Développement analytique
2.2.2.1 Outil torique selon la direction de plus grande pente
2.2.2.2 Outil sphérique selon la direction principale
2.2.2.3 Valeurs critiques des paramètres facteur de forme et pente
2.2.3 Validation numérique
2.2.3.1 Considérations préliminaires
2.2.3.2 Validation de l’approximation analytique du temps d’usinage
2.2.3.3 Validation des paramètres critiques
2.3 Approximation des surfaces gauches
2.3.1 Considérations préliminaires
2.3.2 Utilisation de la matrice de covariance pour définir la direction principale
2.3.3 Utilisation des valeurs propres pour définir un facteur de forme approximatif d’une surface gauche
2.3.4 Pente approximée d’une surface gauche
2.4 Application au choix de l’outil
2.4.1 Description de la procédure du choix d’outil
2.4.2 Application à des cas tests
2.4.2.1 Cas test 1
2.4.2.2 Cas test 2
2.5 Discussion
2.5.1 Sur l’étude analytique des surfaces planes
2.5.2 Sur l’approximation des surfaces gauches par l’ACP
2.5.3 Sur la méthodologie d’aide au choix d’outil
2.5.3.1 De l’efficacité de la méthode proposée
2.5.3.2 Sur la mise en œuvre de la méthode
2.5.3.3 De l’influence des paramètres auxiliaires
2.6 Conclusion
3 Partitionnement de surfaces gauches pour l’usinage
3.1 Motivation et intérêt
3.2 État de l’art
3.3 Discrétisation et création du data-set
3.3.1 Maillage et sample-points
3.3.2 Feature-vector et data-set
3.4 Algorithmes de clustering
3.4.1 L’algorithme K-means
3.4.2 L’algorithme RPCL
3.4.3 La classification hiérarchique ascendante
3.5 Métriques classiques
3.5.1 Distance euclidienne
3.5.2 Distance de Mahalanobis
3.5.3 Distance basée sur les écarts-types
3.5.4 Distance de Ward
3.6 Métrique basée sur l’ACP
3.6.1 Considérations préliminaires
3.6.2 Définition de la métrique
3.6.3 Quelques remarques
3.7 Détails d’implémentation
3.7.1 Partition initiale
3.7.2 Calcul incrémental de la matrice de covariance
3.7.3 Critères d’arrêt
3.7.4 Recherche de composantes connexes
3.8 Comparaison des résultats
3.8.1 Protocole de tests
3.8.2 Analyse des résultats
3.9 Discussion
3.9.1 Avantages et limites
3.9.2 Comparaison avec d’autres travaux
3.10 Conclusions et perspectives
Conclusion
