Généralités sur les représentations automorphes

Généralités sur les représentations automorphes

Dans cette partie, G désignera un schéma en groupes de type fini semi-simple sur Z.

Les représentations automorphes et la paramétrisation de Satake

Rappelons les notations de [18] ou [19] concernant les ensembles de représentations automorphes que l’on considérera.

Définition 1.12. On définit Π(G) l’ensemble des classes d’isomorphisme de représentations unitaires irréductibles π de G(A) telles que πp est non ramifiée pour tout p premier.

On note Πdisc(G) le sous-ensemble de Π(G) des représentations automorphes discrètes π de G.

On note enfin Πcusp(G) le sous-ensemble de Πdisc(G) des représentations automorphes cuspidales de G.

Suivant Borel [10] ou Springer [74] par exemple, rappelons qu’on associe à G un groupe complexe Gb, appelé dual de Langlands de G. C’est un C-groupe semi-simple dont la donnée radicielle est duale à celle de G(C). Notons bg l’algèbre de Lie complexe de Gb, et Gb(C)ss et bg(C)ss les classes de Gb(C)-conjugaison d’éléments semi-simples respectivement de Gb(C) et bg(C). On note enfin X (Gb) l’ensemble des familles (cv)v∈P ∪{∞}, où c∞ ∈ bgss et cp ∈ Gb(C)ss pour tout p ∈ P.

Alors suivant Langlands [45], on a le résultat suivant :

Théorème 1.13. On dispose d’une application canonique :

c : II (G) → X (G)
π → (cv(π)) .

C’est une application à fibres finies. De plus, pour tout premier p et pour tout π ∈ Π(G), cp(π) détermine entièrement πp.

L’élément c∞(π) ∈ bgss est construit suivant Harish-Chandra [39], et est appelé le caractère infinitésimal de π. Lorsque G = PGLn, auquel cas Gb = SLn(C), les valeurs propres du caractère infinitésimal de π ∈ Π(G) sont bien définies, et on les appelle les poids de π. On notera Πalg(PGLn) le sous-ensemble de Πcusp(PGLn) des représentations algébriques, c’està-dire des représentations dont les poids sont des demi-entiers, de différences deux à deux entières. On notera enfin Π⊥ alg(PGLn) le sous-ensemble de Πalg(PGLn) des représentations autoduales, c’est-à-dire des représentations isomorphes à leur contragrédiente. Les éléments cp(π) ∈ Gb(C)ss sont quant à eux construits à l’aide de l’isomorphisme de Satake [64], revisité par Langlands [45], et sont appelés les paramètres de Satake de π.

La conjecture d’Arthur–Langlands

À la manière de [18] ou [19], on appellera ici “conjecture d’Arthur–Langlands” la conjecture présentée dans [18, Ch. VI, Conjecture 4.6] dont l’énoncé repose sur les travaux de Langlands [45] et d’Arthur [3]. Afin de l’énoncer simplement, commençons par définir la notion de paramètre de Langlands :

Définition 1.14. Soit G un schéma en groupes de type fini semi-simple sur Z, et r : G→SLn une C-représentation. La représentation r induit une application X (Gb) → X (SLn), (cv) 7→ (r(cv)). On définit alors l’élément ψ(π, r) = r (c(π)) ∈ X (SLn)

De cette conjecture et de ce théorème, on fait notamment deux constatations. D’une part, la conjecture d’Arthur–Langlands permet de voir les paramètres de Satake des représentations π ∈ ` m Πcusp(PGLm) comme les éléments fondamentaux pour la compréhension des ensembles Πdisc(G), pour G un schéma en groupe de type fini semi-simple sur Z quelconque. D’autre part, le théorème ci-dessus nous dit que l’étude des éléments de Πdisc(SOn) nous donne des informations sur ces mêmes paramètres de Satake. C’est déjà cette constatation qui avait servi aux travaux de Chenevier–Renard [19] afin de déterminer les paramètres standards des représentations automorphes algébriques des groupes SO7, SO8 ou SO9.

Ces constatations ont été les principales motivations de ma thèse, qui est composée des articles suivants :
– Traces des opérateurs de Hecke sur les espaces de formes automorphes de SO7, SO8 ou SO9 en niveau 1 et poids arbitraire, [48], arXiv :1604.01914.
– Calcul des opérateurs de Hecke sur les classes d’isomorphisme de réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 et 25, [49], arXiv :1607.03613.

Résultats obtenus

Traces des opérateurs de Hecke sur les espaces de formes automorphes de SO7, SO8 ou SO9 en niveau 1 et poids arbitraire

Dans cet article, nous développons une méthode algorithmique pour déterminer des informations sur les paramètres de Satake des représentations automorphes des groupes linéaires découvertes par Chenevier–Renard dans [19].

Notre point de départ est l’étude des espaces de formes automorphes pour SOn, définis comme suit. Si l’on se donne (W, ρ) une représentation de dimension finie de SOn(R) sur C, alors l’espace des formes automorphes de poids W pour SOn est l’espace vectoriel de dimension finie :

MW (SOn) = {f : Ln → W | (∀L ∈ Ln)(∀γ ∈ SOn(R)) f(γ · L) = ρ(γ) · f(L)}.

Dans la suite, nous expliquerons plus en détail comment des éléments bien choisis de MW (SOn) permettent de construire des éléments de Πdisc(SOn). En particulier, nous expliquerons le lien entre les opérateurs de Hecke agissant sur une forme automorphe et les paramètres de Satake de la représentation engendrée.

Dans les théorèmes précédents, nous préférons faire apparaître le vecteur (2a + 5, 2b + 3, 2c + 1) (resp. (2a + 6, . . .),(2a + 7, . . .)) plutôt que (a, b, c), qui est pourtant d’apparence plus simple. C’était un choix déjà fait par Chenevier–Renard dans [19] (et dans les tables résultant de leurs travaux). La raison de ce choix est que ce vecteur donne les valeurs propres (dans la représentation standard) du caractère infinitésimal de Vλ, et donc des représentations automorphes engendrées par les éléments de MVλ (SOn). Si π ∈ Πdisc(SOn) est engendrée par un élément de MVλ (SOn) propre pour tous les TA, c’est ce caractère infinitésimal qui est pertinent pour tenter de deviner l’élément de XAL(SLn) défini par c(π), suivant la conjecture d’Arthur-Langlands.

Le rapport de stage ou le pfe est un document d’analyse, de synthèse et d’évaluation de votre apprentissage, c’est pour cela chatpfe.com propose le téléchargement des modèles complet de projet de fin d’étude, rapport de stage, mémoire, pfe, thèse, pour connaître la méthodologie à avoir et savoir comment construire les parties d’un projet de fin d’étude.

Table des matières

1 Introduction
1.1 Généralités sur les réseaux
1.1.1 Les réseaux et les systèmes de racines
1.1.2 Les A-voisins
1.2 Généralités sur les représentations automorphes
1.2.1 Les représentations automorphes et la paramétrisation de Satake
1.2.2 La conjecture d’Arthur–Langlands
1.3 Résultats obtenus
1.3.1 Traces des opérateurs de Hecke sur les espaces de formes automorphes de SO7, SO8 ou SO9 en niveau 1 et poids arbitraire
1.3.2 Calcul des opérateurs de Hecke sur les classes d’isomorphisme de réseaux pairs de déterminant 2 en dimension 23 et 25
2 Traces d’opérateurs de Hecke
2.1 Introduction
2.2 Résultats préliminaires
2.2.1 Les réseaux de Rn
2.2.2 Les formes automorphes et les opérateurs de Hecke
2.3 La formule de la trace d’un opérateur de Hecke
2.3.1 La méthode utilisée
2.3.2 Les poids dominants et la formule des caractères de Weyl
2.4 Algorithmes de calculs et résultats pour p impair
2.4.1 Présentation des algorithmes de calculs
2.4.2 La création du groupe de Weyl
2.4.3 La détermination des orbites de CL(Z/qZ) par l’action du groupe de Weyl W et par W+ pour q une puissance de p premier impair
2.4.4 La détermination d’une transformation de SOn(R) transformant L en un q-voisin donné
2.5 L’étude de TA pour A un 2-groupe
2.5.1 Détermination des orbites de A-voisins pour les actions des groupes W et W+
2.5.2 La création de A-voisins dans des cas particuliers
2.6 Traces d’opérateurs de Hecke obtenus
2.6.1 Tables des résultats obtenus
2.6.2 Premières constatations autour de quelques exemples
2.7 La paramétrisation de Langlands–Satake
2.7.1 Les formules de Gross et la paramétrisation de Satake
2.7.2 Les formes automorphes et la paramétrisation de Langlands
2.7.3 La conjecture d’Arthur–Langlands
2.7.4 Résultats obtenus
2.8 Tables de Résultats
3 Opérateurs de Hecke sur les classes de réseaux.
3.1 Introduction
3.2 Résultats préliminaires et notations
3.2.1 Les réseaux de Rn
3.2.2 Les opérateurs de Hecke et les A-voisins
3.2.3 La paramétrisation de Langlands–Satake
3.3 Calcul de la matrice de T2 sur Z[Xn] pour n = 23 ou 25
3.3.1 L’étude des systèmes de racines d’éléments de Xn
3.3.2 Détermination de la classe d’isomorphisme d’un 2-voisin d’un élément de Ln
3.3.3 Présentation de l’algorithme de calcul de la matrice de T2 sur Z[Xn]
3.3.4 Résultats obtenus
3.4 Applications
3.4.1 La codiagonalisation des matrices opérateurs Tp
3.4.2 Quelques vérifications de nos résultats
3.4.3 Congruences à la Harder
3.4.4 Une conjecture de Gan–Gross–Prasad
3.5 Tables de résultats
Bibliographie