Généralités sur les anneaux et les modules

Soit X un ensemble non vide. On dit que X vérifie la propriété (I) si toute application injective f: X→ X est bijective. Dans la catégorie Ens des ensembles, la propriété (I) caractérise les ensembles finis. Dans la catégorie VectK des espaces vectoriels sur un corps K, la propriété (I) caractérise les K-espaces vectoriels de dimension finie. Un A-module M vérifie la propriété (I) si tout A-endomorphisme injectif sur M est un automorphisme.

L’étude des A-modules vérifiant la propriété (I) a fait l’objet de plusieurs publications. Ainsi en 1945, Beaumont [ 8 ], a montré que tout groupe abélien de torsion, de type fini vérifie la propriété (I). Kaplansky [ 15 ], a donné la même année, une condition nécessaire et suffisante pour qu’un module de type fini vérifie la propriété (I). En 1976 Vasconscelos [ 26 ], a donné une caractérisation des anneaux commutatifs pour lesquels tout module de type fini vérifie la propriété (I). En 1978 Armendariz et Fisher-Snider [ 2 ], étudient les anneaux non nécessairement commutatifs pour lesquels tout module de type fini vérifie la propriété (I). En 1992 Varadarajan [ 22 ], a étendu ces notions à des catégories plus générales. Il a montré qu’un anneau peut vérifier la propriété (I) dans la catégorie des A-modules à gauche AMod sans l’être dans la catégorie des A-modules à droite ModA..

On a aussi étudié d’autres problèmes relatifs à la propriété (I) parmi lesquels :
1. La caractérisation des anneaux sur lesquels tout module vérifiant la propriété
(I) est artinien appelés I-anneaux.
2. La caractérisation des anneaux sur lesquels tout module vérifiant la propriété
(I) est de type fini appelés FGI-anneaux.

ANNEAU LOCAL- ANNEAU SEMI-LOCAL

Définition 1.1.24
Un anneau A est dit local s’il admet un seul idéal maximal M. Le corps A/M est appelé corps résiduel. Un anneau A est dit semi- local s’il admet un nombre fini d’idéaux maximaux.

Proposition 1.1.25
Les conditions suivantes sont équivalentes pour un anneau A.
i) A est local.
ii) Les éléments non inversibles de A forment un idéal bilatère.
iii) J (A) est un idéal à droite maximal, et donc le plus grand idéal à droite propre de A.
iv) J (A) est un idéal à gauche maximal, et donc le plus grand idéal à gauche propre de A.

Dans ce cas, J (A) est l’idéal bilatère formé des éléments non inversibles de A.

Proposition 1.1.26
Pour un anneau A les conditions suivantes sont équivalentes :
i) A est semi-local.
ii) Le quotient de A par son radical de Jacobson est un produit fini de corps.

MODULE VERIFIANT LA PROPRIÉTÉ (I )

GENERALITES SUR LA PROPRIÉTÉ (I )

ANNEAU VERIFIANT LA PROPRIÉTÉ (I )

Définition 2.1.1
Un A-module M vérifie la propriété (I) si tout endomorphisme injectif sur M est un automorphisme. Un A-module M vérifiant la propriété (I) est aussi appelé module co-Hopfien.

Définition 2.1.2
La définition d’un anneau vérifiant la propriété (I) est catégorique :
• Un anneau A vérifie la propriété (I) dans la catégorie des A-modules à gauche AMod si le A-module à gauche AA vérifie la propriété (I).
• Un anneau A vérifie la propriété (I) dans la catégorie des A-modules à droite ModA si le A-module à droite AA vérifie la propriété (I).
• Dans la catégorie des anneaux, un anneau A vérifie la propriété (I) si tout homomorphisme injectif d’anneaux f : A → A est un automorphisme.

Remarque 2.1.6
• Un anneau intègre A (non nécessairement commutatif) vérifie la propriété (I) dans AMod si et seulement si A est un anneau de division si et seulement si A vérifie la propriété (I) dans ModA.
• Un anneau commutatif A vérifie la propriété (I) comme A-module si et seulement si A est égal à son anneau total des fractions.

EXEMPLES :
• Tout anneau fini vérifie la propriété (I) comme anneau aussi bien que comme objet des catégories AMod et ModA.
• ℤ vérifie la propriété (I) comme anneau car le seul endomorphisme de l’anneau ℤ est l’identité. Mais ℤ pris comme ℤ – module ne vérifie pas la propriété (I) car l’endomorphisme : a→ 2a du ℤ – module ℤℤ est injectif mais n’est pas surjectif.

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Table des matières

INTRODUCTION
1. Généralités sur les anneaux et les modules
1.1 Généralités sur les anneaux
1.1.1 Anneaux, sous-anneaux, idéaux et homomorphisme d’anneaux
1.1.2 Idéal premier, radical premier
1.1.3 Idéal maximal, radical de Jacobson
1.1.4 Idéaux étrangers et théorème chinois
1.1.5 Anneau local, anneau semi-local
1.2 Généralités sur les modules
1.2.1 modules, sous-modules et homomorphisme de modules
1.2.2 Somme et produit directs de modules
1.2.3 Modules artiniens
1.3 Anneaux et modules des fractions
1.3.1 Anneaux des fractions, idéal d’un anneau de fraction, idéal fractionnaire
1.3.2 Modules des fractions
1.4 Anneaux et modules semi-simples
1.4.1 Modules simples
1.4.2 Modules semi-simples
1.4.3 Idempotents
1.5 Modules injectifs, Enveloppe injective d’un module et module quasi-injectif
1.5.1 Modules injectifs
1.5.2 Enveloppe injective
1.5.3 Modules quasi-injectifs
1.6 Module indécomposable et sous-module irréductible
2. Module vérifiant la propriété (I)
2.1 Généralités sur la propriété (I)
2.1.1 Anneaux vérifiant la propriété (I)
2.1.2 Exemples de modules vérifiant la propriété (I)
2.1.3 Sous-modules et quotients
2.1.4 Somme et produit directs
2.1.5 Anneaux des matrices
2.2 Anneaux sur lesquels tout module de type fini vérifie la propriété (I)
2.2.1 Théorème de Vasconscelos
2.2.2 Théorème de Dischinger
2.2.3 Modules de Fitting
3. Quelques propriétés sur les FGI-anneaux
4. Théorème de caractérisation des FGI-anneaux commutatifs
4.1 Exemple d’un A-module vérifiant la propriété (I) et qui n’est pas de type fini
4.2 Caractérisation des FGI-anneaux commutatifs
CONCLUSION
Biographie