Soutenance mémoire
Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). Les signaux, considérés dans cet article, sont des grandeurs électriques variant en fonction du temps s(t) obtenues à l’aide de capteurs. En général, les signaux peuvent être distingués en deux grandes catégories : les signaux déterministes et les signaux aléatoires ; et en deux types : signaux analogiques ou continus et les signaux numériques ou discrets. Pour chaque signal, on peut le représenter sous deux formes : la représentation simple et la représentation spectrale .
Le traitement du signal est donc la discipline technique qui, s’appuyant sur les ressources de l’électronique, de l’informatique et de la physique appliquée, a pour objet l’élaboration ou l’interprétation des signaux. Son champ d’application se situe alors dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission ou l’exploitation des informations véhiculées par ces signaux. Il est un outil très vaste et développé.
Généralités sur l’échantillonnage
Définition 1.1. L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, le plus souvent équidistants, les valeurs instantanées d’un signal. Le signal analogique s(t), continu dans le temps, est alors représenté par un ensemble de valeurs discrètes :
se(t) = s(t) si t = nTe
= 0 sinon
avec n : entier
et Te : période d’échantillonnage .
Définitions 1.2.
– Période d’échantillonnage Te
C’est l’instant infiniment bref de répètition d’un phénomène identique infiniment bref. Elle est donc exprimée souvent en seconde (s)
– Fréquence d’échantillonnage Fe
C’est l’inverse de la période d’échantillonnage Te. Elle correspond au nombre de reproduction d’un même phénomène pendant une unité de temps. Elle est mesurée en Hertz (Hz)
– Taille d’échantillonnage N
La Taille d’échantillonnage est l’ensemble des points obtenus lors de la durée d’échantillonnage τ
– Durée d’échantillonnage τ
On appelle durée d’échantillonnage τ , la durée d’observation pendant laquelle est fait l’échanillonnage. Elle est donc le produit de la taille d’échantillonnage N et la Période d’échantillonnage Te.
Echantillonnage d’un signal
De façon idéale, échantillonner un signal continu à temps continu consiste à générer un nouveau signal se(t) toujours à temps continu, formé d’une succession des valeurs prises par s(t) en des instants particuliers, dits instants d’échantillonnage (en général l’inverse de la période d’échantillonnage fe = 1/Te est alors appelé fréquence d’échantillonnage.
D’une façon très schématique, le dispositif d’échantillonnage peut être considéré comme un contact se fermant périodiquement (périodicité Te) pendant un temps infiniment bref. Cette opération n’offre d’intérêt que si elle est réversible, c’est-à-dire que si, disposant du signal échantillonné, il est possible de reconstituer le signal d’origine sans perte d’information. L’objectif de ce chapitre est de donner une modélisation mathématique de cette opération, tant dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel et d’en déduire les conditions que doivent respecter le signal et la fréquence d’échantillonnage pour que cette opération soit réversible. Pour cela, nous considèrerons dans un premier temps l’échantillonnage comme idéal (durée de chaque échantillon supposée infiniment brève), puis nous étudierons les cas plus pratiques où chaque échantillon a une durée θ non négligeable, et enfin nous terminerons sur les différentes représentations fréquentielles .
Les différentes représentations fréquentielles
Définition 2.1.
– La fréquence temporelle désigne le nombre de fois où un phénomène périodique se reproduit par unité de temps.
– La période temporelle est la durée nécessaire pour que le phénomène se reproduise de façon identique à lui-même.
– la représentation temporelle du phénomène qui se reproduit est appelée généralement le motif du signal périodique.
Définition 2.2. La représentation fréquentielle ou le spectre en fréquence S(f) du signal s(t) est constituée de la composante continue à la fréquence 0 , du fondamental à la fréquence F0 (ou harmonique d’ordre 1) et des différents harmoniques aux fréquences f = n .F0 . Il est important de remarquer que le spectre d’une fonction périodique, de période T0(= 1/F0), est discontinu et composé de raies dont l’écart minimum est, sur l’axe des fréquences, F0.
Proprièté 2.3. la représentation fréquentielle possède des propriétés particulières :
1. Elle peut être continue ou discrète
2. Elle est périodique ou non périodique .
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Table des matières
Introduction
1 Echantillonnages et Représentations fréquentielles
1 Généralités sur l’échantillonnage
1.1 Echantillonnage d’un signal
1.2 Les différents types d’échantillonnage
2 Les différentes représentations fréquentielles
2 Transformée de Fourier Intégrale et Discrète
1 Transformée de Fourier Intégrale
1.1 Les Séries de Fourier
1.2 Méthode ou principe
1.3 Transformée de Fourier Intégrale
1.4 Transformée de Fourier Inverse
2 Transformée de Fourier Discrète
2.1 Transformée de Fourier Discrète Inverse
2.2 Transformée de Fourier et TFD
3 Transformée de Fourier Rapide
1 Transformée de Fourier Rapide
1.1 Algorithme de la transformée de Fourier rapide
1.2 Comparaison TFD et TFR
1.3 Exemple
1.4 Organigramme de la TFR
2 Evolution de la TFR du Colley-Tuckey
2.1 Organigramme général
2.2 Simulation avec le logiciel MAPLE
Conclusion
Bibliographie
