Généralités et rappels sur les processus stochastiques

Description et décomposition d’une série chronologique 9 

GÉNÉRALITÉS ET RAPPELS SUR LES PROCESSUS STOCHASTIQUES

Avant de définir la modélisation aléatoire des séries temporelles, il convient de faire un certain nombre de rappels succincts. Les rappels proposés dans le cadre de cette section portent avant tout sur les probabilités et les statistiques usuelles.

Espace 

On donne ici brièvement quelques éléments importants sur l’espace L On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les v.a. de carré intégrables. sont facilitées par la propriété d’Hilbert de cet espace. Rappelons d’abord la définition d’un sous espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert (écrite dans le cas où l’espace de Hilbert est L.

Définition

Le théorème de projection qui suit est très connu et sera utilisé en prévision des séries temporelles. Soit X une v.a. de l’espace L (Ω, A, P) et H un sous espace vectoriel fermé de cet espace L La v.a. Xˆ correspond à la projection orthogonale de X sur l’espace H telle que :

Théorème 

L’existence dans 

d’une notion d’orthogonalité et d’une notion de convergence permet d’introduire la notion de projection orthogonale. On rappelle également la définition de convergence dans L . Nous l’utiliserons ici pour justifier la convergence de sommes d’un nombre infini de v.a. dans L Soient .

Définition 

La proposition suivante nous sera très utile dans la suite pour autoriser l’inversion entre les signe somme et le signe intégral (l’espérance mathématique). Si la série Xn.

Proposition 10

L’extension aux séries bidimensionnelles reste vraie ici aussi. Enfin, il découle des deux précédentes proposition, le corollaire suivant. Si les séries Xn.

La régression affine

Considérons maintenant une famille (Xi)i∈I (I étant fini ou dénombrable) de v.a.r. de carré intégrable. Soit L((Xi)i∈I ) le plus petit sous-espace vectoriel fermé de L2 contenant toutes les combinaisons affines des variables Xi(et donc leurs limites au sens L 2 ). On appelle régression affine de Y sur (Xi , i ∈ I) la projection orthogonale de Y sur L((Xi)i∈I ) notée Y Etant donnée la variable Y de carré intégrable, la variable Y t la meilleure approximation de Y au sens de L
2 par un élément de L((Xi)i∈I ) puisqu’elle vérifie :

Définition 

Soit X = (X1, …, Xn). Si (X,Y) est un vecteur gaussien, la régression affine de Y sur (X1, …, Xn) coïncide avec la projection orthogonale de Y sur L.

Proposition 

cette propriété montre le lien entre espérance conditionnelle et la régression affine. L.SEDDATI Page 37 Séries Chronologiques.

Notions de Convergence

Soit (XT )T =1,…,∞ une séquence de variables aléatoires scalaires. Cette séquence converge en probabilité vers c

Définition 

Exprimée autrement, cette définition signifie que pour un échantillon de taille infinie, la probabilité que la réalisation de la variable XT diffère de la valeur c de plus ou moins δ (δ étant aussi petit que l’on veut) est inférieure à toute valeur ε aussi petite soit-elle. Slutsky Soit (XT )T =1,…,∞ une suite de (n, 1) vecteurs admettant une limite en probabilité définie par c, et soit g() une fonction continue

Théorème 

L’idée est la suivante. Si la fonction g(,) est continue, la quantité g(XT ) se situera au voisinage de g(c), dès lors que XT se situe au voisinage de c. En choisissant une valeur de T suffisamment grande, la probabilité que la réalisation de XT se situe au voisinage de c peut être définie aussi proche de l’unité que l’on le désire.

Convergence en moyenne quadratique

Une forme de convergence plus restrictive que la convergence en probabilité est la convergence en moyenne quadratique (m.s. pour mean square convergence). Une suite de suite de v.a.r. (XT )T =1,…,∞ converge en moyenne quadratique vers.

Définition 

La notion de convergence en m.q. nous permet alors d’introduire l’inégalité de Chebyshev. L.SEDDATI Page 38 Séries Chronologiques Inégalité de Chebyshev Soit X une v.a.r. telle que la quantité E(|X| r ) .

Proposition 

Le résultat selon lequel la convergence en moyenne quadratique implique la convergence en probabilité peut être démontré à partir de l’inégalité de Chebyshev. Une autre application possible de la notion de convergence en m.q. consiste à démontrer la loi faible des grands nombres.

Convergence en loi

Le troisième type de convergence que nous utiliserons est la convergence en loi ou convergence en distribution. Théorème de Paul Levy soit (XT ) une suite de v.a.r. et soit FXT (x) la fonction de répartition cumulative de XT . Si (XT ) converge en loi vers une v.a.r. X admettant FX(x) pour fonction de répartition, alors :

processus stochastique

Une série temporelle, quand elle n’est pas déterministe, comme ce sera le cas dans toutes les situations que nous rencontrerons, est vue comme une réalisation d’un processus stochastique. L.SEDDATI Page 39 Séries Chronologiques On appelle processus stochastique toute famille de variables aléatoires (v.a.) (Xt)t∈T d’un espace probabilisé (Ω, A, P) vers un espace probabilisable (E, ε). L’ensemble T est appelé espace des temps et E espace des états. Chacun de ces espaces peut être discret ou continu. [14]

Premiers exemples de séries temporelles

Bruits Blancs

On appelle bruit blanc faible, toute suite de v.a.r. (Xt)t∈Z, centrées, non corrélées et de variance σ 2 . On note

Définition 

Un bruit blanc fort est une suite de variables (Xt)t∈Z centrées, indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et de variance σ Par définition (18) il n’y a donc aucune dépendance entre les observations. Ainsi, par exemple, la connaissance de X1, …, Xn, n’informe en rien sur la valeur (future) de Xn+h. Le processus binaire est un exemple de bruit blanc fort où la loi pour tout t est donnée par : P(Xt = 1) = p On appelle bruit blanc gaussien, tout bruit blanc fort pour lequel la loi commune des v.a.r.(Xt)t∈Z est une N (0, σ2 ). [14] L.SEDDATI Page 40 Séries Chronologiques

Marche aléatoire

Une marche aléatoire (St)t∈N est obtenue en écrivant St = X1 + … + Xt pour tout t dans N où (Xt)t∈N est un bruit blanc fort. Si ce dernier est un processus binaire, alors la marche aléatoire (St)t∈N est dite symétrique simple.

Processus gaussie

Un processus gaussien à temps discret (Xt)t∈Z est une série temporelle telle que la loi de n’importe quel vecteur extrait est gaussien, i.e. ) est un vecteur gaussien. Un bruit blanc gaussien est une série temporelle gaussienne.

Processus stationnaire du second ordre

Dans toute la suite on considérera  et on supposer Dans de très nombreux cas, on ne peut pas renouveler la suite de mesures dans des conditions parfaitement identiques (météo, économie…). Alors pour que le modèle déduit à partir d’une suite d’observations ait un sens, il faut que toute portion de trajectoire observée fournisse des informations sur la loi de X et que des portions différentes mais de même longueur fournissent les mêmes indications. C’est ce qui nous amène à définir la notion de stationnarité.

Table des matières

Un peu d’histoire  
0.2 Définition d’une série chronologique
0.3 Objectifs principaux d’étudier les séries chronologiques
0.4 Domaines d’application des séries chronologiques
1 Description et décomposition d’une série chronologique 9 
1.1 Description d’une série chronologique
1.1.1 Correction des données
1.1.2 Observation de la série
1.1.3 Modélisation
1.1.4 Analyse de la série à partir de ses composantes
1.1.5 Diagnostic du modèle – ajustement au modèle
1.1.6 Prédiction
1.2 Modélisation d’une série chronologique
1.2.1 Modèle additif
1.2.2 Modèle multiplicatif
1.2.3 Modèle mixte
1.2.4 Choix du modèle
2 Étude de la partie déterministe 
2.1 Analyse de la tendance
2.1.1 Ajustement tendanciel linéaire par la méthode des moindres carrés
2.1.2 Ajustement tendanciel linéaire par points médians
2.1.4 Élimination de la tendance par différenciation
2.2 Les moyennes mobiles
2.2.1 Définitions des moyennes mobiles
2.2.2 Propriétés d’un lissage par moyenne mobile
2.3 Prévision par lissage exponentiel
2.3.1 Lissage exponentiel simple(LES)
2.3.2 Lissage exponentiel double(LED)
2.4 L’étude d’une série chronologique
2.4.1 Application d’une moyenne mobile d’ordre judicieusement choisi
2.4.2 Estimation de la saisonnalité
2.4.3 Estimation de la tendance
2.4.4 Itération éventuelle de la procédure
2.4.5 Prévision des valeurs futures
2.4.6 Analyse des résidus
2.5 Application sous le logiciel R
3 Généralités et Rappels sur les processus stochastiques  
3.1 Espace
3.2 La régression affine
3.3 Notions de Convergence
3.3.1 Convergence en moyenne quadratique
3.3.2 Convergence en loi
3.4 processus stochastique
3.4.1 Premiers exemples de séries temporelles
3.5 Processus stationnaire du second ordre
3.5.1 Fonctions d’autocovariance et d’autocorrélation
4 Processus aléatoires stationnaires  
4.1 Théorème de Wold
4.1.1 Conditions sur les pondérations
4.1.2 Prévisions à partir de la décomposition de Wold
4.2 Processus auto-régressifs d’ordre p
4.2.1 Définition et représentation canonique
4.2.2 Prédiction d’un AR(p)
4.2.3 Intervalle de confiance pour la prévision
4.2.4 Exemple sous le logiciel R
4.3 Processus moyennes mobiles d’ordre q
4.3.1 Définition et représentation canonique
4.3.2 Prédiction d’un MA(q)/Intervalle de confiance pour la prévision
4.3.3 Exemple sous le logiciel R
4.4 Les processus mixtes ARMA
4.4.1 Définition d’un ARMA(p,q)
4.4.2 Écritures MA(∞) et AR(∞)
4.4.3 Exemple sous le logiciel R
5 Processus non stationnaires 
5.1 Les processus TS
5.2 Les processus DS
5.2.1 Processus ARIMA
5.2.2 Processus SARIMA
5.3 Construction d’un système de prévision
5.3.1 Identification du modèle
5.3.2 Estimation du modèle
5.3.3 Le critère d’information d’akaike (AIC)
5.3.4 Diagnostic du modèle/ Validation du modèle
5.4 Simulation sous le logiciel R

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