Généralités et classification des EDP

Généralités et classification des EDP

Méthodes de résolution numériqued’une EDP elliptique

Pour passer d’un problème exact continu régit par une EDP au problème approché discret, il existe trois grandes familles de méthodes :

La méthode des Différences Finies

L’idée générale est d’approcher les dérivées apparaissant dans le problème continu par des différences divisées ou combinaison de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre fini de points discrets ou nœud du maillage 1 grâce aux développement de Taylor.

Différences Finies en 1D

on prend le problème suivant avec conditions de Dirichlet : où f est une fonction continue. On va étudier la résolution numérique de ce problème en supposant la solution u régulière (autrement dit
([0, 1])). On admettra que le problème est bien posé ( qu’on va voir au suivant chapitre ). discrétisation spatiale d’un milieu continu, ou aussi, une modélisation géométrique d’un domaine par des éléments proportionnés finis et bien définis.

La méthode des Différences Finies

Remarque 6. Pour que la solution u du problème (3.1.1) soit régulière, il est nécessaire que f soit continue. Dans ce cas, il est alors assez simple de déterminer u. L’intérêt de développer une méthode numérique pour résoudre l’équation (3.1.1) réside dans le fait que cette méthode s’adapte ensuite à tout problème elliptique et s’écrit simplement dans le cas de l’équation (3.1.1).

Étapes de la méthode

On décrit cette méthodes en 3 étapes :

re étape : choix de la discrétisation, maillage Remarque 7. Toutes les méthodes numériques présupposent la discrétisation du domaine géométrique afin de passer d’un problème continu à une infinité d’inconnues à un problème discret ne comptant qu’un nombre fini d’inconnues. Pour simplifier, on se limitera à un pas constant : La première étape de la méthode consiste à remplacer le problème (3.2.1) par e étape : Construction d’un schéma numérique On rappel le théorème de Taylor sous la forme de Young : Théorème 3. Soit f une une fonction de classe Cn+1 au voisinage d’un point Cette formule est appelée formule de Taylor d’ordre k. On suppose 2 est une approximation de u »(xi). Avec ce choix d’approximation , on peut approcher le problème (3.1.1’) par le problème discret suivant :

La méthode des Différences Finies

e étape : Passage au problème matriciel Il est très pratique d’utiliser une formulation matricielle en faisant apparaître le vecteur des inconnues discrètes : Autrement dit, le vecteur Uh est solution du système matriciel : AhUh = bh Bilan 1. Ainsi, on a la méthode suivante pour obtenir une approximation numérique de la solution u de (3.1.1) m On choisit un pas de maillage h > 0 petit (détermine la subdivision (xi)i=0,…,N+1. m On détermine une approximation de u »(xi) par les développements de Taylor, m On en déduit un système matriciel AhUh = bh dont la solutionUh = (u(x1),…,u(xN ))t approche le vecteur (u(x1),…,u(xN ))t m On résout le système AhUh = bh Remarque 8. Le choix du pas de maillage h détermine le nombre N +2 de points de discrétisation. Ainsi, si h est très petit, le nombre N +2 de points considérés est très grand et l’approximation Uh est une meilleure représentation de la solution u. Dans la pratique, un pas de maillage h trop petit peut entraîner un coût de calcul prohibitif et il est donc nécessaire de déterminer un pas de maillage suffisamment petit pour obtenir une bonne approximation sans que le temps de calcul soit trop long.

Différences Finies en 2D

Le principe est exactement le même que celui de la dimension 1, la seule différence réside dans l’écriture. On cherche à résoudre le problème Un schéma numérique possible est alors de l’approximation suivante de ∆u

La méthode des Différences Finies

Exemple 1. Soit u(x, y) := −x(x−1)y(y−1)exp(x y) et f = −∆u, de sorte que u est solution de (3.1.2). Sur la figure ci-dessous, s’est tracé les isovaleurs de l’approximation de u donnée par (3.1.3) pour un pas d’espace h = 0.02 que l’on compare à la solution exacte u.

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Table des matières

SOMMAIRE
REMERCIEMENTS
DÉDICACE
Introduction
1 Espaces de Sobolev
1.1 Notions de distributions
1.1.1 Définitions
1.2 Espace de Sobolev
2 Généralités et classification des EDP
2.1 EDP du premier ordre
2.2 EDP linéaires du second ordre
2.3 Conditions aux limites
2.4 Classification des EDP linéaires du second ordre
3 Méthodes de résolution numérique d’une EDP elliptique
3.1 La méthode des Différences Finies
3.1.1 Différences Finies en 1D
3.1.2 Différences Finies en 2D
3.2 La méthode des Volumes Finis
3.2.1 Volumes Finis en 1D
3.2.2 Volumes Finis en 2D
3.3 La méthode des Éléments Finis
3.3.1 Éléments Finis en 1D
3.3.2 Éléments Finis en 2D
3.4 Les propriétés d’un schéma numérique
3.4.1 Le principe du maximum discret
3.4.2 problème bien posé
3.4.3 Conditionnement
3.4.4 Stabilité
3.4.5 La consistance
3.4.6 La convergence
4 Application numérique des méthodes
Conclusion
Bibliographie