Généralisation de puissances

Généralisation de puissances

Dans cette section, on introduira une définition permettant de généraliser les puissances du type (x – xol qui composent, entre autres, les séries de Taylor réelles.

Ces puissances formelles seront à la base de toute la théorie développée dans ce mémoire. On s’intéresse à une généralisation des puissances formelles. Cette généralisation apparaît pour la première fois en 2008, soit dans l’article [12]. Afin de les introduire, on considère une fonction f E C2 (a, b) n Cl [a, b] à valeur complexe pour laquelle f(x) =J 0 sur l’intervalle [a, b] .
La définition qui va suivre est basée sur le fait que les puissances (x – xot peuvent être définies récursivement comme.
Il existe une certaine symétrie entre les deux fonctions x (n) et x (n) . En effet, si on substitue la fonction / (resp. / -1) par la fonction / -1 (resp. f), alors les puissances de x (n) (resp. x (n)) sont remplacées par celles de x (n) (resp. x(n)). De plus, on constate aussi que la fonction P possède un exposant négatif ou positif suivant la parité de n, c’est-à-dire s’il est pair ou impair.

À partir des fonctions établies dans la définit ion 2.1, nous allons en écrire de nouvelles qui nous sembleront plus naturelles à utiliser dans la suite de ce mémoire.
Nous pouvons trouver encore davantage de résultats pour chacune des généralisations de puissances. Cependant, on remarque que pour obtenir des expressions analytiques d’ordre n, il faut d’abord obtenir l’expression d’ordre n – 1 puisque ces puissances formelles sont récursives. Comme cette méthode peut être ardue à mettre en oeuvre, on développera une alternative pour faciliter ces calculs lorsque n est grand plus loin dans ce mémoire.

Comparons les couples de puissances généralisées obtenues à partir de la fonction f = e~x avec la puissance formelle classique qui lui serait asociée. Dans les graphiques présentés aux figures 2.1 , 2.2, 2.3 et 2.4 la courbes continue en vert représente la fonction de puissance selon le graphique, ainsi cette fonction prend les valeurs p( x) = Xk pour k = 1, 2, 3,4, puisqu’on a toujours la condition initiale Xo = O. En rouge ligné, on a les fonctions trouvées dans l’exemple précédent pour les X(k) , k prenant les valeurs de 1 à 4. Enfin, les courbes bleues pointillées proviennet des fonctions X(k) où k = 1, 2, 3,4 selon le graphique.
En plus d’avoir un comparatif avec les puissances standards, on remarque aussi la symétrie qui existe entre les deux généralisations.

Nous montrerons que ces suites de fonctions sont complètes dans l’espace L2 (a, b).
On parle ici de la complétude de suites de fonctions , dont la définition générale a été présentée dans le chapitre précédent avec la définition 1.3.
L’espace vectoriel L2′ dans lequel nous prouverons la complétude, est un espace bien particuler qu’on définit plus en détails dans l’annexe B.
Les suites {fn}~=l et {gn}~=l ne sont pas construites de façon aléatoire, en fait elles sont liées aux solutions de l’équation de Sturm-Liouville. Le théorème qui suit
permet de faire ce lien si précieux et est présenté dans [15]. Il apporte aussi la solution générale à une équation de Sturm-Liouville de grande importance en utilisant la généralisation des puissances formelles.

Soit .Àn pour n = 1,2, … , les valeurs propres qui satisfont à l’équation (2.3) et aux condions limites séparables, alors les fonctions propres associées à ces valeurs propres coïncident avec la solution U2 présentée en (2.2) où on pose .À = .Àn . Ainsi, les fonctions propres peuvent toutes être écrites à partir du système de fonctions gn’.
Cette relation permettra de voir une convergence uniforme avec le développement en série du système de fonctions gn’
Si la multiplicité d’un .Àn est supérieure à l , alors on obtient ce qu’on appelle les fonctions propres généralisées grâce à la différentiation des fonctions propres correspondantes au paramètre spectral .Àn .

Puisque toutes les fonctions propres correspondent à la fonction U2 dans (2.2), on conclut que les fonctions en question sont toutes des séries qui font intervenir les différents termes de la suite des fonctions (gn). C’est aussi le cas pour les dérivées des fonctions propres, elles sont toutes une série des gn. Par conséquent, on a que toutes les fonctions propres et les fonctions propres généralisées peuvent être représentées par des séries uniformément convergente en terme de {gn}~= l.

L’ensemble des solutions, c’est-à-dire les fonctions propres et les fonctions propres généralisées, d’un problème de Sturm-Liouville est complet sur l’espace correspondant, ici L2 (a, b).

Donc {gn}~= l est complet dans le système formé par les fonctions propres et les fonctions propres généralisées de ce problème. Du théorème de Lauricella, on peut conclure que {gn}~=l est complet dans L2(a, b) lorsque Xo = a.
De façon semblable, il est possible de démontrer la complétude de la suite {fn} ~= l en modifiant les conditions limites pour.

Dans ce cas, on a une correspondance avec la solution Ul de (2 .2) et les fonctions propres qui sont des solutions de l’équation de Sturm-Liouville. De plus, les fonctions propres généralisées sont obtenues de la même manière, c’est-à-dire en dérivant les fonctions propres associé à un Àn dont la multiplicité est plus grande que 1. On a aussi que le système des fonctions propres et des fonctions propres généralisées peut entièrement être représenté par les {fn} ~=l. Enfin, on applique une fois de plus le théorème de Lauricella pour conclure à la complétude du système {fn} ~=l dans L2 (a, b) lorsque Xo = a. D

Par contre, la complétude n’a été montrée que pour un Xo associé à une des bornes. Si ce n’est pas le cas, alors chacune des suites n ‘est pas complète à moins de les combiner, c’est-à-dire qu’on va montrer que {fn}~=l U {gn}~=l forme un système complet dans L2 (a, b).

Généralisation des séries de Taylor

Dans cette section, nous nous intéressons aux séries de Taylor réelles. Par conséquent, nous allons considérer une fonction f réelle dans cette section.

D’ailleurs, dans un développement en série de Taylor, on voit apparaître une suite de puissances (x – xot, ainsi que les dérivées successives en Xo. On a déjà généralisé les puissances formelles avec x(n) et x(n). Par conséquent, il est naturel de généraliser une dérivée en lien avec les fonctions de puissances avant d’envisager la généralisation des séries de Taylor. Donc, posons la dérivée généralisée de la façon suivante:

Cette définition et celle des séries de Taylor classique sont toutes deux des représentations d’une fonction h autour d’un point xo, il est donc nécessaire de les comparer. Les coefficients qui apparaissent dans cette forme généralisée sont différents de ceux qu’on voit dans la forme classique de la série de Taylor, ainsi on peut se demander s’il existe un lien entre les coefficients des deux séries. C’est le cas. En effet, on développe dans ce qui suit une relation entre les coefficients des deux séries sous forme de matrice.

Dans notre définition des séries de Taylor, on a utilisé 7jJCk) , mais la fonction <pCk) aurait tout aussi bien pu jouer ce rôle. En faisant des calculs symétriques à ceux présentés, on peut obtenir un nouveau développement en série de Taylor. Cette seconde généralisation a les mêmes propriétés que la première. C’est seulement grâce au concept de symétrie entourant la fonction f qu’il est possible d’obtenir deux généralisations aussi valable l’une que l’autre. On verra plus loin dans ce mémoire que la dérivée généralisée n’échappe pas à ce principe de symétrie.

Rappelons que le but de ce chapitre est d’établir des relations pour la solution spectrale de Sturm-Liouville. Cela a déjà permis de généraliser quelques concepts intéressants, le dernier en date étant le développement en série de Taylor. D’ailleurs, afin de boucler le sujet, utilisons les séries de Taylor généralisées sur les solutions Ul et U2 présentées en (2.2).

Table des matières

Introduction
1 Problèmes de Sturm-Liouville
1.1 Int roduction à l’équation de Sturm-Liouville
1. 2 Un exemple commun d’équation de Sturm-Liouville
1.3 Complétude d’un système de fonctions propres
2 Généralisation de puissances et solutions de l’équation de SturmLiouville
2. 1 Généralisation de puissances
2.2 Complétude de suites liées à la généralisation de puissances.
2.3 Généralisation des séries de Taylor
3 Propriétés des dérivées, antidérivées et puissances généralisées
3. 1 Dérivées généralisées
3.2 Antidérivées généralisées
3.3 Application de la dérivée et de l’anti-dérivée généralisées
3.4 Généralisation de fonctions analytiques par les puissances formelles
Conclusion 
Bibliographie 
A Fonctions propres 
B Espace Lp

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