Frottements et diffusion dans des champs fluctuants

Frottements et diffusion dans des champs fluctuants

Dynamique des fluctuations

Description probabiliste de la position

Afin de rendre la discussion qui va suivre plus concrète, prenons le cas simple d’une particule de position z ∈ R dans un potentiel V(z). La physique classique prévoit que cette particule stationnera sur un minimum local du potentiel. D’après la physique statistique, sa position subira des fluctuations thermiques et on ne peut donner que la probabilité de présence de la particule (un schéma de cette situation est donné FIG. 2.1). La probabilité de Boltzmann est

P(z) = Z⁻¹ e−V(z)/T , (2.1)

où T est la température, Z est une constante de normalisation de la probabilité et la constante de Boltzmann a été prise égale à 1 et le restera jusqu’à la fin de cette thèse. Dans la limite de température nulle, on retrouve le résultat classique où la particule séjourne au minimum. Pour les objets rencontrés dans la vie courante, comme une bille dans un bol, l’énergie caractéristique du potentiel est beaucoup plus grande que l’énergie thermique et le système se comporte comme s’il était à température nulle.

Équation du mouvement avec des fluctuations

Comme nous allons étudier des phénomènes dépendants du temps, nous allons avoir besoin de la dépendance temporelle de ces fluctuations. Le mouvement erratique des grains de poussière observé par Lucrèce, a été étudié plus précisément par le botaniste Robert BROWN en 1827 pour des particules à l’intérieur de grains de polen [Brown, 1828]. Il a ensuite été formalisé par Albert EINSTEIN et Paul LANGEVIN respectivement en 1905 et 1908 [Einstein, 1905, Langevin, 1908]. C’est leur formalisme que nous allons présenter dans notre cas simple.

Sans fluctuations, le mouvement de la particule est régit par le principe fondamental de la dynamique de Newton :

mz¨(t) = −λz˙(t) − V'(z(t)), (2.2)

où m est la masse de la particule, λ un coefficient de frottement et −V’ (z) est la force ressentie par la particule. Le frottement est introduit manuellement : sans fluctuations, il sert à stabiliser la particule en un minimum local du potentiel. Avec fluctuations, il jouera un rôle fondamental, comme nous le verrons. L’idée d’Einstein et Langevin, est d’y ajouter un terme de bruit. Physiquement, le bruit vient des chocs avec les particules environnantes, qui sont invisibles et ne nous intéressent pas ici. Il est modélisé par la composante aléatoire la plus simple (et la plus facile à traiter) que l’on peut imaginer : un bruit blanc gaussien. Comme il est gaussien, il suffit de connaître sa fonction de corrélation à deux points, et blanc signifie que cette fonction de corrélation prise à des temps différents est nulle ; il est évidemment de moyenne nulle. On note ce bruit η(t) et il est entièrement déterminé par

 η(t)η(u) = 2Bδ(t − u), (2.3)

Questions posées pas un environnement dynamique

Reprenons l’exemple de l’interaction gravitationnelle : la découverte de l’espace-temps comme médiateur de cette interaction, puis de la dynamique de l’espace-temps, a permis de déterminer la vitesse de propagation de cette interaction. La théorie de la relativité générale a aussi mis au jour le phénomène d’ondes gravitationnelles, où la rotation des astres dissipe de l’énergie. Nous présentons ici quelques phénomènes étudiés où la dynamique de l’environnement joue un rôle crucial.

Effet Casimir hors équilibre

Il y a plusieurs façons de tirer le système utilisé pour l’effet Casimir hors de l’équilibre, chacune d’elle faisant apparaître de nouveaux phénomènes. On peut étudier l’analogue de la vitesse de propagation de l’interaction de Casimir, par exemple en « allumant » les fluctuations du champ à l’instant t = 0, et en étudiant la dépendance temporelle de la pression p(t) avant qu’elle ne converge vers sa valeur d’équilibre [Dean et Gopinathan, 2009]. Cela revient à prendre une température dépendante du temps T(t), telle que T(t < 0) = 0 et T(t ≥ 0) = T0 . Une autre façon consiste à considérer une distribution hétérogène de température [Rosenkrans et al., 1968, Antezza et al., 2008]. Dans ce cas, la force ne dépend pas du temps mais son équation d’évolution est nécessaire pour déterminer la solution stationnaire, qui n’est pas une configuration d’équilibre. À ce propos, notons l’évolution du rôle de la température entre la distribution d’équilibre de Boltzmann (2.1) et l’équation de Langevin (2.13) : dans le premier cas, elle est globale et vaut pour tout le système ; dans le deuxième, elle est « locale », c’est à dire qu’elle peut dépendre du temps ou de la position de la particule. Suivant cela, il est facile d’écrire une équation de Langevin pour le champ où la température n’est pas uniforme.

Frottements

Un autre moyen de mettre le système hors de l’équilibre est de faire dépendre la position des plaques du temps. En fait, un effet peu apparaître avec une seule plaque. Ici encore, l’effet peut être dû au champ moyen ou aux fluctuations du champ. Dans le premier cas, il s’agit de l’analogue de la force d’Abraham-Lorentz Dirac ressentie par une particule chargée accélérée [Dirac, 1938]. Dans le second, il est véritablement question de « frottement de Casimir » ; les fluctuations quantiques du champ électromagnétique peuvent par exemple exercer une force sur un miroir en mouvement [Fulling et Davies, 1976, Kardar et Golestanian, 1999]. De la même manière, un objet neutre polarisable en mouvement par rapport à un gaz de photons subit une force de frottement [Mkrtchian et al., 2003]. Dans cette partie, nous étudions ces deux phénomènes pour une classe très générale de champs subissant des fluctuations thermiques.

Diffusion 

On peut aussi étudier comment un objet diffuse dans un champ fluctuant autour d’elle. Comme le champ « diffuse » lui aussi (i.e. il suit une dynamique stochastique, contenant une part aléatoire), il s’agit finalement d’une diffusion couplée entre l’objet et son environnement. Un système pour lequel cette question a été posée est la diffusion de protéines incluses dans des membranes. Les protéines peuvent être couplées à divers paramètres de la membranes, comme sa hauteur (via la courbure), son épaisseur, sa composition, etc. [Gambin et al., 2006, Reister et Seifert, 2005, Naji et al., 2007]. La question est de savoir si le couplage à la membrane accélère ou ralenti la diffusion de la protéine.

Diffusion dans le cas d’un couplage linéaire 

Après avoir étudié les frottements subis par une particule tirée à vitesse constante, nous nous proposons d’étudier la diffusion d’une particule libre. En premier lieu parce que ces régimes sont souvent reliés par la « relation d’Einstein naïve » : le coefficient de frottement est plus facile à calculer, le coefficient de diffusion est plus facile à mesurer (voir [Saffman et Delbrück, 1975, Gambin et al., 2006] pour les protéines membranaires). Cependant, nous avons vu que la relation d’Einstein naïve n’est a priori pas valable : il faudrait mesurer la vitesse moyenne à force appliquée constante. Le calcul du coefficient de diffusion permettrait d’éclaircir cette question. D’un autre côté, la diffusion dans un potentiel aléatoire gelé est étudiée depuis longtemps [Sinai, 1982, King, 1987, Dean et al., 2007]. Le cas d’un potentiel évoluant dans le temps est une généralisation logique de ces travaux. Revenons brièvement au frottement : une particule tirée à vitesse constante dans un potentiel gelé borné ressent une force moyenne nulle, ce qui est en contradiction avec la relation d’Einstein naïve (avec le mauvais coefficient de frottement). De plus, nous allons voir qu’il est possible de faire varier la vitesse d’évolution d’un champ, et ainsi passer de façon continue du cas gelé au cas fluctuant. Enfin, cette généralisation en suggère une autre : nous avons jusqu’ici étudié une particule affectant son environnement, mais nous envisagerons aussi le cas d’une particule ne l’affectant pas. Dans la limite de potentiel gelé, ces deux cas se rejoignent.

Calcul perturbatif par l’intégrale de chemin

Il est bien sûr intéressant d’aller au-delà de la limite adiabatique, notamment pour faire le lien avec la diffusion dans les potentiels gelés, qui correspondent à la limite κφ → 0. Le cas passif soulève en effet une interrogation : dans la limite adiabatique, la particule est accélérée, alors qu’elle est ralentie dans un potentiel gelé.

Table des matières

1 Introduction générale
I Frottements et diffusion dans des champs fluctuants
2 Introduction : problèmes dynamiques
3 Frottement dans le cas d’un couplage linéaire
4 Frottement dans le cas d’un couplage quadratique
5 Diffusion dans le cas d’un couplage linéaire
II Systèmes d’ions aux interfaces
6 Introduction : premiers modèles d’ions aux interfaces
7 Modèle unidimensionnel de liquide ionique
8 Ions polarisables aux interfaces
9 Conclusion
A Publications
Bibliographie
Table des matières

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