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Physique des instruments de musique à vent à anche simple : généralités
Les instruments à vent appartiennent à la famille des instruments pour lesquels une surpression statique imposée par l’ instrumentiste (ou par une technique mécanique) génère un régime d’ oscillations auto-entretenu. Ces instruments sont en général présentés en deux parties couplées : le résonateur et le système excitateur (cf. Figure I-1). Le résonateur, constitué du tuyau sonore (le corps de l’ instrument), est un système passif, dont les propriétés acoustiques résultent de sa géométrie et des caractéristiques mécaniques et thermodynamiques du gaz qui l’emplit. L’ excitateur est composé, pour les instruments à vent à anche simple, du système bec et anche. Pour tous les instruments à vent sauf les flûtes, le système excitateur se comporte comme une source de débit modulé par un effet valve assuré par l’ anche dans le cas des instruments à anche (par les lèvres de l’ instrumentiste dans le cas des cuivres). En réponse à ce débit, le résonateur est le siège d’ une pression contrôlant l’ ouverture de cette valve dont la position peut être instable et l’ instabilité de nature oscillante. Dans ce cas le couplage entre résonateur et excitateur peut aboutir à l’établissement d’oscillations périodiques stables (ou autres régimes d’ oscillation, quasipériodiques, par exemple) caractérisées par leur fréquence fondamentale et leur spectre en régime permanent. La famille des instruments à vent est constituée des instruments à anche au sens large que sont les instruments à anche simple (clarinette, saxophone, bourdon d’orgues, accordéon, …), à anche double (hautbois, basson), à anche lippale (cuivres) et des instruments à embouchure de flûte (flûte, tuyau d’orgue). Cependant, pour chacune de ces familles, les caractéristiques de l’excitateur sont différentes et déterminent le mode de fonctionnement de l’ instrument. Par exemple, le fonctionnement des tuyaux d’ orgue à anche simple (bourdon) n’ est pas identique à celui d’ instruments tels que la clarinette ou le saxophone. Pour ce type d’ instrument, la fréquence fondamentale du signal généré par l’auto-oscillation est proche de la première fréquence de résonance de l’ anche (régime « in tempo » selon la terminologie de Bouasse, 1929). Les cuivres possèdent la propriété de produire un signal acoustique dont la fréquence fondamentale est à la fois contrôlée par les caractéristiques du tuyau et par la fréquence de résonance des lèvres de l’instrumentiste. Celles-ci peuvent d’ ailleurs auto-osciller sans réaction acoustique du résonateur (technique du « buzz » bien connue des musiciens) à la façon des cordes vocales pour lesquelles l’ effet du conduit vocal (résonateur assimilé à un filtre excité en oscillations forcées) est négligeable dans l’ entretien de leurs oscillations. Enfin, pour les instruments à anche simple, la fréquence fondamentale des auto-oscillations se « cale » approximativement sur une des fréquences de résonance du tuyau, inférieure à la fréquence de résonance de l’anche (régime « résonateur » selon la terminologie de Bouasse (1929)).
Non-linéarités dans un guide d’ ondes
Lors du fonctionnement « normal » d’ un instrument tel que la clarinette, les niveaux acoustiques dans le bec atteignent des valeurs de l’ ordre de 160 dB, laissant penser que l’approximation de l’ acoustique linéaire dans le résonateur n’ est plus valide. Certaines expériences mettent en évidence des problèmes, pouvant être liés aux phénomènes de propagation non-linéaire et autres non-linéarités localisées telles que celles existant au niveau d’orifices percés dans un tuyau (cf. Ingard et Ising, 1967) : Nederveen (1969) et Keefe (1983) montrent que deux résonateurs d’ impédances d’ entrée supposées identiques, différents simplement par la hauteur des trous latéraux, ne se comportent absolument pas de façon similaire s’ ils sont utilisés en « régime clarinette ». Pour l’ un des deux, dont la hauteur des trous latéraux est très faible, l’émission d’un son est très difficile. Pour l’ autre, le fonctionnement est proche de celui de la clarinette. Hirschberg et coll. (1991) discute des effets de vortex induits au niveau de la terminaison et des trous latéraux d’un résonateur en présence d’ un écoulement moyen dans les termes de la théorie aéroacoustique de Howe (1975). Pour les résonateurs de type cuivres, des ondes de choc dues à la non-linéarité de propagation apparaissent (Hirschberg et coll., 1994a). A partir de confrontations entre pressions internes et externes pour les cuivres, Beauchamp (1980) a également évoqué ces phénomènes. Ceci est apparemment moins spectaculaire sur les signaux de pression acoustique de la clarinette. Néanmoins, pour faire évoluer le modèle physique et prendre en compte les effets de phénomènes subtils tels que ceux décrits au paragraphe précèdent, il faudra étudier en détail les différentes caractéristiques non linéaires décrites ici. Malgré tout, le choix d’ un modèle global reposant sur l’ hypothèse d’ une non linéarité localisée et d’un résonateur au comportement linéaire est déjà perceptivement intéressant pour des simulations dédiées à l’ obtention d’ une synthèse sonore réaliste (Ducasse, 1990).
Fréquence de seuil et fréquence de résonance
De nombreux auteurs ont étudié le seuil linéaire théoriquement et expérimentalement à partir d’un modèle physique identique ou proche du modèle élémentaire utilisé dans ce document. Das (1931) et Backus (1963) sont sans doute les premiers à avoir proposé une analyse théorique et expérimentale du seuil linéaire de la clarinette. Wilson et Beavers (1974) vérifient que la fréquence de seuil de la clarinette est toujours inférieure à la fréquence propre de l’ anche ; ils montrent théoriquement et vérifient expérimentalement que l’ amortissement de l’anche est le paramètre critique qui fixe le type de fonctionnement de l’ensemble excitateur à anche simple et résonateur cylindrique couplés. A un faible amortissement correspond un régime « in tempo » selon la terminologie de Bouasse (1929) : la fréquence de seuil est proche de la première fréquence propre de l’ anche (cas des tuyaux d’ orgue à anche) ; à un fort amortissement correspond un régime « résonateur », la fréquence de seuil est proche d’ une fréquence de résonance du résonateur (cas de la clarinette et du saxophone pour lesquels il faut ajouter à l’ amortissement intrinsèque de l’ anche, l’ amortissement apporté par la lèvre inférieure du musicien). Ajoutons qu’ une note de clarinette en régime « in tempo » est un « canard » ! Fletcher (1979), Saneyoshi et coll. (1987) ont analysé en détail le seuil linéaire en fonction de la nature du système excitateur reprenant en cela les travaux de Bouasse (1929) : ils font la distinction entre les instruments à vent avec excitateur dont les anches se déplacent vers l’ intérieur pour un saut de pression ∆p positif, pour lequel la fréquence de seuil est inférieure à la fréquence propre de l’ anche (cas du tuyau d’ orgue à anche simple, de la clarinette, du saxophone, du hautbois, du basson) et ceux avec excitateur dont les anches se déplacent vers l’ extérieur pour un saut de pression ∆p positif, pour lesquels la fréquence de seuil est supérieure à la fréquence propre de l’ anche. Ces auteurs rangent les cuivres dans cette dernière catégorie. Plitnick et Yoshikawa (1994) comparent fréquences propres de lèvres et fréquences fondamentales, leurs conclusions ne sont pas tranchées. Plus généralement, à notre avis c’ est l’hypothèse même d’ un « modèle d’ excitateur à une masse » qu’ il faudrait remettre en cause ici. Les lèvres d’ un instrumentiste constituent vraisemblablement un système mécanique possédant plus d’ un degré de liberté. Un modèle d’ excitateur à deux masses semblerait à notre avis plus adapté.
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
PARTIE A
I . Physique des instruments de musique à vent à anche simple : généralités
II. Modélisation physique : d’ une description détaillée à un modèle élémentaire
II.1. Le système excitateur
II.1.1. L’ anche
II.1.2. L’ hydrodynamique de l’ écoulement à l’ entrée du b
II.2. Le résonateur
II.2.1. Un guide d’ ondes dans le cadre de l’ acoustique linéaire.
II.2.3. Non-linéarités dans un guide d’ ondes
II.3. Un modèle physique élémentaire
III. Méthodes de résolution et régimes d’ oscillation
III.1. Position d’ équilibre et « seuil linéaire »
III.2. Fréquence de seuil et fréquence de résonance
III.3. Petites oscillations
III.4. Oscillations finies
III.4.1. Recherche de solutions en régime permanent
III.4.2. Méthodes de discrétisation par différences finies
IV. Instruments à anche simple en situation de jeu : résultats expérimentaux
PARTIE B
I. Introduction
II. Simulation analytique et simulation numérique
II.1. Principe de la résolution analytique dans le domaine temporel
II.2. Détermination des solutions pression, débit, position de l’ anche : quels sont les outils mathématiques nécessaires?
III. Le calcul de la fonction de réflexion discrète à partir de l’ impédance d’ entrée
III.1. Technique d’ évaluation classique : un problème d’ oscillations parasites, le « ripple »
III.2. Simulation numérique du résonateur : minimisation des erreurs « numériques » sur la fonction de réflexion
III.3. Le suréchantillonnage
III.4 L’ application d’ un fenêtrage sur l’ impédance d’ entrée
III.5. Influence du nombre de points de la FFT inverse
III.6. Illustration des diverses techniques d’ obtention de la fonction de réflexion discrète
III.7. Exemple d’ application : le sol grave du saxophone alto
IV. La dynamique de l’ anche dans le domaine discret
IV.1. La modélisation de l’ anche vue comme un système d’ équations différentielles
IV.1.1. Méthode de Runge-Kutta d’ ordre 4
IV.1.2. Méthode d’ Adams à l’ ordre
IV.2. La modélisation de l’ anche vue comme un filtre linéaire
IV.3. Stabilité des diverses méthodes numériques
IV.3.1. Stabilité des méthodes de résolution des équations différentielles
IV.3.2. Stabilité de la transformation bilinéaire
IV.4. Réponses en fréquences des diverses techniques numériques stables
IV.4.1. Evaluation des fonctions de transfert discrètes
IV.4.2. Comparaison des diverses réponses en fréquence
IV.5. Effet de la transformation bilinéaire et de la transformation bilinéaire corrigée sur la réponse fréquentielle de l’ anche discrète
IV.5.1. La transformation bilinéaire
IV.5.2. La transformation bilinéaire corrigée
V. Résolution du système complet
V.1. Evaluation de l’ équation intégrale dans le domaine discret
V.2. Résolution de l’ équation non-linéaire
VI. Simulations numériques : comparaison des régimes permanents périodiques entre les méthodes temporelle et fréquentielle
VI.1. Evaluation des caractéristiques du signal de synthèse obtenu par méthode temporelle
VI.2. Le calcul de la fonction de réflexion. Application au modèle d’ oscillation basses fréquences
VI.2.1. Simulation basses fréquences à partir d’ un tube sans pertes
VI.2.2. Simulation basses fréquences à partir d’ un tube avec pertes visco-thermiques
VI.3. Comparaison des résultats de simulations pour les méthodes fréquentielles et temporelles. Utilisation des diverses anches discrètes
VII. Méthodes de simulation
VII.1. Méthode choisie
VII.2. Une méthode inadaptée
VIII. Application
IX. Conclusion
PARTIE C
I. Avant-propos
II. Analyse de la justesse
II.1. Comparaison entre les fréquences de jeu et les fréquences de résonance pour la clarinette et le saxophone alto
II.2. L’ effet du trou de registre
II.3. Doigtés usuels, doigtés factices : exemple de la clarinette
II.4. Doigtés de suraigu : application à la clarinette
II.5. Comparaison expérience, simulation numérique : application aux doigtés de gorge de la clarinette
III. Exemples d’ analyses du timbre et de la facilité d’ émission appliquées à la clarinette
III.1. Comparaison expérience, simulation numérique : application aux doigtés de gorge de la clarinette
III.2. L’ inharmonicité
III.2.1. Quelques considérations
III.2.2. Comparaison de deux clarinettes
IV. Conclusion et perspectives
CONCLUSION GENERALE
ANNEXE A
A.I. Introduction
A.II. Modélisation mécanique usuelle du système anche-bec-musicien
A.II.1. Modèle élémentaire: rappels des paramètres équivalents
A.II.2. Principe de détermination des paramètres équivalents.
A.II.3. Application à une poutre encastrée, d’ épaisseur constante et isotrope
A.III. Enroulement d’ une poutre encastrée sur un profil connu : étude théorique
A.III.1. Détermination de la non linéarité d’ enroulement : principe général
A.III.2. Enroulement d’ une poutre à section constante sur un profil circulaire
A.III.2.1. Détermination de la non linéarité statique d’ enroulement
A.III.2.3. Détermination de l’ oscillateur harmonique équivalent en situation d’ enroulement
A.III.2.4. Validité de l’ oscillateur harmonique équivalent
A.III.3. Enroulement d’ une poutre à section variable sur un profil quelconque
A.III.3.1. Conditions d’ enroulement
A.III.3.2. Poutre à section variant linéairement
A.IV. Application aux Simulations numériques dans un cas simple : la poutre a section constante s’ enroulant sur un profil circulaire
A.IV.1. Modèle basses fréquences
A.IV.2. Simulations numériques : utilisation du modèle d’ enroulement quasi statique
ANNEXE B
B.I. Introduction
B.II. Quelques techniques classiques de filtrage numérique
B.II.1. Principe général
B.II.2. Stabilité
B.II.2. Réponse en fréquences des anches numériques équivalentes
B.III. Influence de la technique retenue sur les caractéristiques de la pression calculée
B.IV. Équations aux différences finies pour les diverses techniques numériques présentées
ANNEXE C
Annexe C1. Le pont d’ impédance
C-1
Annexe C2. La bouche artificielle
Annexe C3. Tablatures de la clarinette et du saxophone
C-9
LISTE DES SYMBOLES
BIBLIOGRAPHIE
RESUME
ABSTRACT
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