Soutenance mémoire
Calcul des propriétés radiatives
Formulations du problème de diffusion onde-particule
La résolution du problème de diffusion d’une onde par une particule est une difficulté dans de nombreuses situations. En effet, ce problème ne possède pas de solutions analytiques simples, excepté peut-être pour une particule sphérique , et il est difficile à résoudre numériquement. Pour pallier cette difficulté, il y a une forte activité de recherche pour développer des méthodes numériques qui ont chacune leurs avantages et inconvénients [Kahnert, 2003]. À chacune de ces méthodes est associée la résolution d’une formulation mathématique du problème de diffusion. Dans la littérature, il existe des formulations basées sur des équations aux dérivées partielles qui résolvent directement les équations de Maxwell . Elles sont notamment utilisées pour les méthodes FEM [Volakis et al., 1998; Zhu and Cangellaris, 2006; Jin, 2014], FDTD [Yee, 1966; Taflove and Hagness, 2005], la méthode MMFE [Kaissar Abboud, 2016] ou encore la méthode de séparation des variables . D’autres formulations sont basées sur des intégrales de volume ou de surface [Kahnert et al., 2003; Peterson, 2006; Costabel et al., 2010; Ylä-Oijala et al., 2014; Markkanen and Ylä-Oijala, 2016; Chen et al., 2016]. En particulier, les méthodes DDA [Yurkin and Hoekstra, 2007] et MOM [Harrington, 1993] utilisent des formulations intégrales en volume, tandis que les méthodes T-Matrix [Mishchenko et al., 2000, 2002] ou NFM [Doicu et al., 2006; Eremin et al., 2011] exploitent plutôt des formulations intégrales en surface. Il existe même des formulations qui combinent à la fois des formulations en intégrales de volume et de surface [Gomez et al., 2015].
Méthodes numériques disponibles pour la résolution du problème de la diffusion onde-particule
Le calcul des propriétés radiatives nécessite de résoudre les équations de Maxwell et plus particulièrement le problème de diffusion d’une onde électromagnétique par une particule présenté dans Sec. I.2. Pour y parvenir, de nombreuses méthodes numériques sont disponibles comme le montre Fig. II.1. Ces méthodes permettent de résoudre de façon rigoureuse, c’est-à-dire sans introduire d’approximations (hormis pour certaines méthodes l’approximation de discrétisation de la particule), les équations de Maxwell. Le choix d’une méthode est très liée au problème que l’on considère. Par exemple, Fig. II.1 propose une classification selon la complexité de la forme de la particule à étudier. Plus précisément, si l’on considère des formes géométriques simples telles que la sphère, le cylindre ou le sphéroïde, la méthode de séparation des variables peut éventuellement convenir. Pour des particules axi symétriques, la méthode T-Matrix peut-être envisagée. Cependant, ces deux méthodes peuvent être écartées dès lors qu’il s’agit de traiter des particules avec des géométries quelconques. Il est alors nécessaire de s’orienter vers d’autres types de méthodes numériques que nous avons choisi de classifier en trois branches (voir Fig. II.1). D’une part, des méthodes basées sur une formulation en équations différentielles et d’autre part, des méthodes basées sur une formulation intégrale volumique ou surfacique. L’objet de cette section est de présenter quelques unes de ces méthodes numériques qui sont couramment utilisées. En particulier nous aborderons la méthode de séparation des variables (voir Sec. II.1.2.1), la méthode T Matrix (voir Sec. II.1.2.2), la méthode DDA (Discrete Dipole Approximation) (voir Sec. II.1.2.3) et la méthode FDTD (Finite Difference Time Domain) (voir Sec. II.1.2.4). Nous présenterons brièvement le principe de chacune de ces méthodes, leurs avantages et limites, ainsi que leurs domaines d’applications.
Méthode de séparation des variables et approche de Lorenz-Mie
Particules sphériques – Approche de Lorenz-Mie. En Annexe A, nous proposons de donner, dans les grandes lignes, l’application de cette méthode à une particule sphérique, plus connue sous le nom d’approche de Lorenz-Mie ou de théorie de Mie [Mie, 1908]. Cette approche permet de résoudre de manière exacte les équations de Maxwell pour une particule sphérique. Elle est très bien documentée et détaillée dans de nombreux ouvrages [Stratton, 1941; Van de Hulst, 1957; Kerker, 1969; Bohren and Huffman, 1983; Tsang et al., 2000].
Particules non-sphériques. Outre la géométrie sphérique, nous verrons également que la méthode SVM peut être utilisée pour des particules cylindriques et sphéroïdales. Elle a été utilisée pour résoudre les équations de Maxwell pour un cylindre long avec une incidence normale [Rayleigh, 1918] et pour une incidence oblique [Wait, 1955], pour un cylindre elliptique suite aux travaux de SIEGER et AICHI (1908) [Van de Hulst, 1957], pour un cylindre parabolique par EPSTEIN (1914). OGUCHI [Oguchi, 1973] et ASANO [Asano and Yamamoto, 1975; Asano, 1979; Asano and Sato, 1980] ont utilisé la méthode SVM pour une particule sphéroïdale en utilisant une décomposition en harmoniques sphéroïdales vectorielles. L’application de SVM à des particules sphéroïdales est également passée en revue dans la référence [Ciric and Cooray, 2000]. Avantages et limites de la méthode de séparation des variables Le principal avantage de la méthode de séparation des variables SVM est qu’elle fournit une solution exacte du problème de diffusion d’une onde par une particule, et ceci sans utiliser de maillage pour représenter la particule. Cependant elle est restreinte à un petit nombre de particules possédant des formes simples notamment sphère, sphéroïde et cylindre. En pratique, SVM ne permet pas de prendre en compte la moyenne sur les orientations. Ceci devient possible dès lors que SVM est reformulée de sorte à pouvoir calculer une matrice T [Schulz et al., 1998].
Codes disponibles. Des codes implémentant les précédentes expressions sont disponibles librement en ligne. Dans ce manuscrit, nous utiliserons le code développé par Bohren et Huffman [Bohren and Huffman, 1983] .
Méthode T-Matrix
La méthode T-Matrix est également désignée (entre autres) par les termes EBCM (Extended Boundary Condition Method) ou NFM (Null Field Method). Initialement introduite par WATERMAN dans le domaine de la diffusion acoustique [Waterman, 1965], puis celui de la diffusion électromagnétique [Waterman, 1971], la méthode T-Matrix a ouvert de nombreuses perspectives dans la communauté traitant de la diffusion de la lumière par une particule ou un ensemble de particules et est aujourd’hui très largement utilisée.
Avantages et limites. Dès que les particules deviennent non-sphériques où que le modèle de la sphère équivalente ne suffit pas, la méthode T-Matrix est considérée comme l’une des méthodes les plus rapides et précises pour résoudre de manière exacte le problème de la diffusion d’une onde électromagnétique par une particule ou un ensemble de particules [Mishchenko et al., 2002; Kahnert, 2003, 2016]. La matrice T à l’avantage d’être indépendante de la direction de propagation et de l’état de polarisation du champ incident ainsi que du champ diffusé. Une fois la matrice calculée, elle peut-être utilisée pour évaluer les propriétés de diffusion et d’absorption de la particule pour n’importe quel état de polarisation et n’importe quelle orientation de la particule par rapport au champ incident. Ceci présente un avantage significatif par rapport à d’autres méthodes numériques qui nécessitent de refaire le calcul à chaque nouveau champ incident. La méthode T-Matrix est donc particulièrement avantageuse pour la prise en compte des moyennes sur la distribution des orientations des particules au sein d’une suspension [Mishchenko, 1991].
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Table des matières
I Introduction
I.1 Contexte et organisation du manuscrit
I.2 Diffusion d’une onde par une particule
I.2.1 Positionnement du problème physique
I.2.2 Approximation du champ lointain
I.2.3 Paramètres du problème
I.2.4 Caractérisation de l’interaction onde-particule : notions de propriétés radiatives
I.2.4.1 Matrice amplitude de diffusion S¯¯
I.2.4.2 Paramètres et matrice de Stokes
I.2.4.3 Propriétés radiatives
I.2.5 Ensemble de particules : hypothèse de diffusion indépendante
II État de l’art
II.1 Calcul des propriétés radiatives
II.1.1 Formulations du problème de diffusion onde-particule
II.1.2 Méthodes numériques disponibles pour la résolution du problème de la diffusion onde-particule
II.1.2.1 Méthode de séparation des variables et approche de LorenzMie
II.1.2.2 Méthode T-Matrix
II.1.2.3 Méthode DDA (Discrete Dipole Approximation)
II.1.2.4 Méthode FDTD (Finite Difference Time Domain)
II.1.2.5 Synthèse
II.1.3 Approximations
II.1.3.1 Approximation de Rayleigh-Gans-Debye
II.1.3.2 Approximation de Born
II.1.3.3 Approximation de la diffraction anomale
II.1.3.4 Approximation de Schiff
II.1.3.5 Synthèse
II.2 Méthode de Monte Carlo
II.2.1 Principe du calcul d’une intégrale
II.2.2 Avantages au niveau informatique : gestion des géométries complexes et parallélisation
II.2.3 Formulation intégrale, analyse de sensibilité, gestion des non-linéarités et principe de zéro-variance
II.2.3.1 Intégrales multiples et domaine d’intégration à dimension élevée
II.2.3.2 Analyse de sensibilité
II.2.3.3 Monte Carlo et non linéarités
II.2.3.4 Optimisation des algorithmes par application du principe de zéro variance
II.3 Conclusion
III Établissement de formulations intégrales d’électromagnétisme étudiées dans ce manuscrit
III.1 Équations de Maxwell
III.1.1 Bref historique de la naissance de l’électromagnétisme
III.1.2 Équations de Maxwell dans le domaine temporel
III.1.3 Équations de Maxwell dans le domaine fréquentiel
III.2 Équation d’onde du problème de diffusion
III.3 Formulation intégrale du champ diffusé
III.3.1 Équation différentielle vérifiée par le champ diffusé
III.3.2 Fonction de Green scalaire
III.3.3 Formulation intégrale du champ électrique diffusé pour une position d’observation extérieure à la particule
III.4 Établissement des formulations intégrales dans le cadre de l’approximation de Born
III.4.1 Formulation intégrale du champ diffusé
III.4.2 Formulation intégrale de la matrice amplitude de diffusion
III.4.3 Formulations intégrales des propriétés radiatives d’une particule isolée
III.5 Établissement de l’équation intégrale de Fredholm à la base du développement en série de Born
III.5.1 Formulations intégrales du champ électrique diffusé et gestion de la singularité
III.5.2 Formulation intégrale du champ électrique diffusé ~Esca(~r) négligeant un petit volume d’exclusion
III.5.3 Formulation intégrale de la matrice amplitude de diffusion S¯¯
III.5.4 Formulations intégrales des propriétés radiatives d’une particule isolée
III.6 Établissement des formulations intégrales dans le cadre de l’approximation de Schiff
III.6.1 Formulation intégrale du champ électrique
III.6.2 Formulation intégrale de l’amplitude de diffusion
III.6.3 Formulations intégrales des propriétés radiatives d’une particule isolée
III.7 Conclusion
IV Approximation de Schiff
IV.1 Conception des algorithmes par formulation intégrale
IV.1.1 Sections efficaces
IV.1.1.1 Section efficace d’extinction : construction détaillée d’un premier algorithme
IV.1.1.2 Un algorithme évaluant simultanément les sections efficaces d’extinction, d’absorption et de diffusion
IV.1.2 Amplitude de diffusion aux petits angles de diffusion : un premier algorithme évaluant une grandeur complexe
IV.1.3 Section efficace différentielle de diffusion : traitement des non-linéarités
IV.1.4 Optimisation d’un algorithme par réduction du domaine d’intégration
IV.1.5 Fonction cumulée de la section efficace différentielle de diffusion
IV.1.6 Calcul systématique de sensibilités
IV.1.6.1 Calcul de sensibilités des sections efficaces
IV.1.6.2 Calcul des sensibilités n eme ` des sections efficaces
IV.1.6.3 Calcul des sensibilités de la section efficace différentielle de diffusion Wsca
IV.1.6.4 Calcul des sensibilités de la section efficace différentielle de diffusion Wˆ sca dans le cas d’une particule de taille et d’orientation fixées
IV.1.7 Construction d’un algorithme évaluant simultanément toutes les propriétés radiatives d’une suspension de particules et leurs sensibilités
V Conclusion
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